2012年广州市水平测试模拟卷
提供学校：47中学 满分150分
一 、：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1．设P=｛x?x<4｝,Q=｛x? <4｝，则
A． B． C． D．
2.下列四组函数中，表示同一函数的是
A． B．
C． D．
3. 已知平面向量 ， ，且 ，则
A．－3 B．－1 C．1 D．3
4. 为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：c）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），
那么在这100株树木中，底部周长小于110c
的株数是
A．30 B．60
C．70 D．80
5. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式是
A．an=n2-(n-1) B．an=n2-1 C．an= D．an=
6. 如下图，在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是边
AB,AC,CD,BD的中点，且AD=BC，那么四边形EFGH是
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D. 正方形
7. 经过点（1，1）且在两轴上截距相等的直线是
A．x+y=2 B．x+y=1
C．x=1或y=1 D．x+y=2或x=y
8. 要得到函数 的图象，只要将函数 的图象
A.向左平行移动 个单位 B.向左平行移动 个单位
C.向右平行移动 个单位 D.向右平行移动 个单位
9. 有五条线段长度分别为 ，从这 条线段中任取 条，则所取 条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A B C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系 中， ，映
射 将 平面上的点 对应到另一个平面直角坐标系
上的点 ，则当点 沿着折线
运动时，在映射 的作用下，动点 的轨迹是
A B C. D.
二、题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
11. 过点(0，1)，且与直线 垂直的直线方程是
12. 在等差数列 中，已知 ，那么 等于
13. 为圆 上的动点，则 的最大值等于
14. 已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 的面积为_______________
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出 字说明、证明过程和演算步骤。
15. （本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）求 的值；
（2）设 求 的值．
16. （本小题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量70110140160200220
频率
（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
17.（本小题满分14分）
求经过点A(－2，－4)且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程.
18. （本小题满分14分）
已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比
19. （本小题满分14分）
已知数列 满足 ，且 。
（1）求数列 的通项公式；
(2) 证明 ；
（3）数列 是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。
20.（本小题满分14分）
已知二次函数 （ 为常数，且 ）满足条件： 且方程 有等根．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数，n（<n），使f(x)的定义域和值域分别为[，n]和[4，4n]，如果存在，求出，n的值；如果不存在，说明理由．
2012年广州市水平测试模拟卷参考答案
1． B 2.D 3. C 4. D 5. C [ 6. C 7. D 8. D 9. B 10. A
11. x－2y＋2＝0 12. 4 13. －3 + 2 14.
15. 解：（1） …………3分
……8分
16. 解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量70110140160200220
频率
……6分
（II）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为 ．……12分
17. 解 设所求圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由条件－2D－4E＋F＝－20 ①8D＋6E＋F＝－100 ②……4分
又圆心为(－D2，－E2)
∴6＋E28＋D2• (－13)＝－1 ，……8分
即3D－E＝－36. ③
由①②③联立解得：D＝－11E＝3F＝－30……12分
∴所求圆方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0. ……14分
18. 解：(1）∵PC⊥底面ABC，BD 平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA 平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．……5分
（2）由BD⊥平面PAC，DE 平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．……10分
又 DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,
故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1…14分
19. 解：（1）由 得 ……2分
由一元二次方程求根公式得 ……4分
∵ ∴ ……6分
(2) ∵
∴
＝ ……8分
∵ ……10分
∴ ……12分
（3） 单调递减，故当 时， 最大为 …12分
20.解：(1)∵方程ax2＋bx－2x＝0有等根，∴△＝(b－2)2＝0，得b＝2．
由 知此函数图像的对称轴方程为x＝－ ＝1，得a＝－1，
故f(x)＝－x2＋2x．……6分
(2)∵f(x)＝－(x－1)2＋1≤1，∴4n≤1，即n≤ ．
而抛物线y＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，∴当n≤ 时，f(x)在[，n]上为增函数．
若满足题设条件的，n存在，则 ……10分
即 又<n≤ ．
∴＝－2，n＝0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]．
由以上知满足条件的，n存在，＝－2，n＝0．……14分
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