北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（理工类） 2013.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．，．若，则实数的值是 A． C．或 D．或或2.命题：对任意，的否定是A．：对任意， B．：不存在, C．：存在, D．：存在, 3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为 A．91B．55 C．54 D．304.若， 则A． B．C． D．5.由直线，，与曲线所围成的图形的面积等于 A．．．．，，，则下列结论中错误的是A．与向量共线B．（，），则，C．，都存在实数，，使得D．在向量方向上的投影为7. 若函数的图象与函数的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是 . .A. B. C. D. 8.同时满足以下4个条件的集合记作：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列．那么中元素的个数是A． B． C． D．．中，，，则数列的前三项和 ．10．的最小值是 ．11．在点，处的切线经过点，，则12．与的夹角为，，，则 ；若平行四边形满足，，则平行四边形的面积为 ．13． 若，则实数的取值范围是 ． 14．（），数列满足，，.则与中，较大的是 ；，，的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若，且，求的值．16. （本小题满分13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若，求的最大值. 17.（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值和的表达式.18. （本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若的图象与轴无交点，求的取值范围；若在上存在零点，求 的取值范围；，.当时，若对任意的，总存在，使，求的取值范围．已知函数.（Ⅰ）函数的单调； （Ⅱ），，，为函数的图象上任意不同两点，， 两点的直线的斜率恒大于，求的取值范围.20. （本小题满分13分）如果项数均为的两个数列，满足且集合，则称数列是一对 “项相关数列”.（Ⅰ）设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项相关数列” ；（Ⅱ）是否存在 “项相关数列” ？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷答案（理工类） 2013.11选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CCBDACDB二、填空题： 题号91011121314答案（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解： ． （Ⅰ）函数的最小正周期为， 函数的最小值为． ………6分得． 所以． 又因为，所以， 所以或． 所以或． ………13分分，所以.当且仅当时等号成立. 所以的最大值为 ………13分的公差为，则解得，，，则，. ………5分时， ，当时，.则时，；时，.即. ………13分解：若的图象与轴无交点，则方程 的判别式，即，解得. ………3分的对称轴是，在上是减函数，在上存在零点，则必有：，即，解得：，故实数 的取值范围为；分若对任意的，总存在，使，只需函数的值域为函数值域的子集当时，的对称轴是的值域为下面求，的值域，时，，不合题意，舍②当时，的值域，只需要，解得③当时，的值域，只需要，解得综上：实数的取值范围 ………14分解（Ⅰ） 的定义域为，，当时，，为增函数.(?)若,恒成立，故当时，为增函数.（?）若,当时，为增函数；当时，，为增函数. (?)若,当时，为增函数；当时，，为增函数.综上所述，当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,. ………6分（Ⅱ）两点的直线的斜率恒大于，则有，当时，，即；当时，，即.设函数，若对于两个不相等的正数，恒成立，则函数在恒为增函数，即在上，恒成立.解法一：(1)当时，当，，说明此时不恒成立；或，说明此时不恒成立；(2)当时，在上恒成立；(3)当时，若恒成立，而当时，，（ 当且仅当时取等号）即成立，即，解得，即，显然符合题意.综上所述，时，过两点的直线的斜率恒大于.解法二：在上，恒成立，等价于，在成立，即在成立.（?）当时，上式显然满足；（?）当时，上式等价于，设，此时为减函数，，只需；（?）当时，上式等价于，设，则 ，当时，（当且仅当时等号成立）.则此时.在上，当时，成立. 过两点的直线的斜率恒大于. 解法三：在上，恒成立，等价于在恒成立，则有（1）时，即，所以 或（2）时，需且，即显然不成立.综上所述，. ………………14分，相加得，，又，则，.“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）………3分4项相关数列”共6对： ：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3 或：8，4，6，5；：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假设存在 “15项相关数列”，则，相加，得又由已知，由此，显然不可能，所以假设不成立。从而不存在 “15项相关数列” ………7分（Ⅲ）对于确定的，任取一对 “项相关数列”，令，，先证也必为 “项相关数列” ．因为又因为，很显然有，所以也必为 “项相关数列”．再证数列与是不同的数列．假设与相同，则的第二项，又，则，即，显然矛盾．从而，符合条件的 “项相关数列”有偶数对． ┅┅┅┅┅┅ 13分是否T=0,i=1开 始T=T+i2i=i+1输出Ti>5？结束缚北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试数学（理）试题及答案
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