2013届高考数学圆的方程复习课件和试题(新人教B版)

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2013年高考数学总复习 8-2 圆的方程但因为测试 新人教B版

1.()(2011•四川,3)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(  )
A.(2,3)     B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
[答案] D
[解析] 将一般式化为标准式(x-2)2+(y+3)2=13.
∴圆心坐标为(2,-3).
(理)(2011•深圳调研)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为(  )
A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
[答案] D
[解析] 将⊙C化为标准方程得,
(x+a)2+(y-2a)2=4,
∴圆心C(-a,2a),半径r=2,
由条件知,-a>2,2a>2,-a<0,2a>0,∴a>2.
2.()(2011•广东,8)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C的圆心轨迹为(  )
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
[答案] A
[解析] 动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y=-1的距离相等,符合抛物线的定义,故选A.
(理)(2011•广州模拟)动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是(  )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.(x+32)2+y2=12
[答案] C
[解析] 设中点(x,y),则点A(2x-3,2y),
∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,
即(2x-3)2+4y2=1,故选C.
3.()(2011•广州检测)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(  )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
[答案] A
[解析] 设圆心坐标为(0,b),则由题意知
0-12+b-22=1,解得b=2,
故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
(理)(2011•济南调研)已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是(  )
A.x2+y2-4x=0 B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2-2x-3=0 D.x2+y2+2x-3=0
[答案] A
[解析] 设圆心为C(,0)(>0),因为所求圆与直线3x+4y+4=0相切,所以3+4×0+432+42=2,整理得:
3+4=10,解得=2或=-143(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=22,即x2+y2-4x=0,故选A.
4.()(2011•青岛市教学质量统一检测)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是(  )
A.2 B.1+2
C.2+22 D.1+22
[答案] B
[解析] 圆的方程化为标准形式:(x-1)2+(y-1)2=1,
圆心(1,1)到直线x-y-2=0的距离d=1-1-22=2,
所求距离的最大值为2+1,故选B.
(理)(2011•华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x2+y2 -2x-2y+1=0上的点到直线3x+4y+5=0的距离最大值是a,最小值是b,则a+b=(  )
A.125 B. 245
C.65 D.5
[答案] B
[解析] 圆心C(1,1)到直线3x+4y+5=0距离d=125,∴a+b=125+r+125-r=245(r为圆的半径).
5.(2011•江南十校联考)若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦N的中点,则弦N所在直线方程为(  )
A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0
[答案] D
[解析] 圆心C(3,0),kCP=-12,由kCP•kN=-1,得kN=2,所以N所在直线方程是2x-y-1=0,故选D.
6.()(2011•日照模拟、河南省濮阳调研)圆心在曲线y=3x(x>0 )上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为(  )
A.(x-1)2+(y-3)2=(185)2
B.(x-3)2+(y-1)2=(165)2
C.(x-2)2+(y-32)2=9
D.(x-3)2+(y-3)2=9
[答案] C
[解析] 设圆心坐标为(a,3a)(a>0),
则圆心到直线3x+4y+3=0的距离d=3a+12a+35=35(a+4a+1)≥35(4+1)=3,等号当且仅当a=2时成立.
此时圆心坐标为(2,32),半径为3,故所求圆的方程为
(x-2)2+(y-32)2=9.
(理)(2011•西安模拟)若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则1a+2b的最小值为(  )
A.1 B.5
C.42 D.3+22
[答案] D
[解析] 由条件知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2= 0上,∴a+b=1,
∴1a+2b=(1a+2b)(a+b)
=3+ba+2ab≥3+22,
等号在ba=2ab,即b=2-2,a=2-1时成立.
7.(2011•西安二检)已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.
[答案] 254
[解析] ∵点A(1,2)在⊙O:x2+y2=5上,
∴过A的切线方程为x+2y=5,
令x=0得,y=52,令y=0得,x=5,
∴三角形面积为S=12×52×5=254.
8.(2011•南京模拟)已知点(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点的最短弦所在直线的方程是________.
[答案] x+y-1=0
[解析] 过点的最短的弦与C垂直,圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),
∵kC=1-02-1=1,∴最短 弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.
9.()(2010•广东)已知圆心在x轴上,半径为2的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是________.
[答案] (x+2) 2+y2=2
[解析] 设圆的方程为(x-a)2+y2=2(a<0),由条件得2=a2,∴a=2,又a<0,∴a=-2.
(理)(2011•长春市调研)若圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交所得的弦长为22,则圆的方程是________.
[答案] (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
[解析] 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x+2y=0上,即有a+2b=0,根据题意可得
a+2b=0,2-a2+3-b2=r2,r2-a-b+122=2.
解得a=6,b=-3,r2=52.或a=14,b=-7,r2=244.
所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
10.()(2010•广东华南师大附中)已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5),求:
(1)过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连结OA,OC,求△AOC的面积S.
[解析] (1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.
当切线的斜率不存在时,过点A的直线方程为x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件.
当k存在时,设直线方程为y-5=k(x-3),
即kx-y+5-3k=0,由直线与圆相切得,
-k+2k2+1=1,∴k=34.
∴直线方程为x=3或y=34x+114.
(2)AO=9+25=34,
直线OA:5x-3y=0,
点C到直线OA的距离d=134,
S=12•d•AO=12.
(理)(2011•兰州一诊)已知圆过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心在x+y-2=0上.
(1)求圆的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆的两条切线,A、B为切点,求四边形PAB面积的最小值.
[解析] (1)设圆的方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
根据题意,得1-a2+-1-b2=r2-1-a2+1-b2=r2a+b-2=0,
解得a=b=1,r=2,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)因为四边形PAB的面积
S=S△PA+S△PB
=12A•PA+12B• PB,
又A=B=2,PA=PB,
所以S=2PA,
而PA=P2-A2=P2-4,
即S=2P2-4.
因此要求S的最小值,只需求P的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,
使得P的值最小,
所以Pin=3×1+4×1+832+42=3,
所以四边形PAB面积的最小值为
S=2P2-4=232-4=25.

11.(2011•西安模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD,则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面 积为(  )
A.106 B.206
C.306 D.406
[答案] B
[解析] 圆的方程:(x-3)2+(y-4)2=25,
∴半径r=5,
圆心到最短弦BD的距离d=1,
∴最短弦长BD=46,
又最长弦长AC=2r=10,
∴四边形的面积S=12×A C×BD=206.
12.(2011•成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线x216-y29=1的两渐近线都相切的圆的方程为(  )
A.x2+y2-20x+64=0
B.x2+y2-20x+36=0
C.x2+y2-10x+16=0
D.x2+y2-10x+9=0
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0),双曲线的渐近线方程是3x±4y=0,
点(5,0)到直线3x±4y=0的距离d=3即为所求圆的半径.故所求圆的方程为(x-5)2+y2=9,
即x2+y2-10x+16=0,故选C.
13.(2010•浙江杭州市质检)已知A、B是圆O:x2+y2=16上的两点,且AB=6,若以AB为直径的圆恰好经过点C(1,-1),则圆心的轨迹方程是________.
[答案] (x-1)2+(y+1)2=9
[解析] ∵是以AB为直径的圆的圆心,AB=6,
∴半径为3,
又⊙经过点C,∴C=12AB=3,
∴点的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=9.
14.()(2010•天津,14)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为__________.
[答案] (x+1)2+y2=2
[解析] 在直线方程x-y+1=0中,令y=0得,x=-1,∴圆心坐标为(-1,0),
由点到直线的距离公式得圆的半径
R=-1+0+32=2,
∴圆的标准方程为(x+1)+y2=2.
(理)(2010•金华十校)圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于A、B,AB=3,则该圆的标准方程是________.
[答案] (x-1)2+y-122=1
[解析] 如下图设圆心C(a,b),由条件知a=1,取弦AB中点D,则CD=AC2-AD2=12-322=12,即b=12,∴圆方程为(x-1)2+y-122=1.

15.()(2011•青岛模拟)已知以点Ct,2t(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点、N,若O=ON,求圆C的方程.
[解析] (1)证明:∵圆C过原点O,∴OC2=t2+4t2.
设圆C的方程是(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,
令x=0,得y1=0,y2=4t;
令y=0,得x1=0,x2=2t,
∴S△OAB=12OA•OB=12×4t×2t=4,
即△OAB的面积为定值.
(2)∵O=ON,C=CN,
∴OC垂直平分线段N.
∵kN=-2,∴kOC=12.
∴直线OC的方程是y=12x.
∴2t=12t,解得t=2或t=-2.
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=5,
此时C到直线y=-2x+4的距离d=15<5,
圆C与直线y=-2x+4相交于两点.
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=5,
此时C到直线y=-2x+4的距离d=95>5.
圆C与直线y=-2x+4不相交,
∴t=-2不符合题意,舍去.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(理)(2011•北京模拟)已知点A(-3,0),B(3,0).动点P满足PA=2PB.
(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只 有一个公共点,求Q的最小值.
[解析] (1)设P(x,y),∵PA=2PB,
∴(x+3)2+y2=4[(x-3)2+y2]
整理得(x-5)2+y2=16.
(2)由条件知Q与圆C相切,
则问题转化为在直线l1上求一点Q,过点Q作⊙C的切线,求切线长的最小值.
由于⊙C的半径为定值4,欲使切线长最小,只须QC最小,而点C(5,0)为定点,因此,当CQ⊥l1时取得最小值,∵C到l1的距离d=42,
∴Qin=d2-42=4.

1.双曲线x2a2-y2b2=1( a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°,直线ax+by-a+1=0平分圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,则点P(a,b)与圆C的位置关系是(  )
A.P在⊙C内 B.P在⊙C上
C.P在⊙C外 D.无法确定
[答案] C
[解析]  由条件得,ba=tan60°2a+3b-a+1=0,
解之得a=-14b=-34,
∵(-14-2)2+(-34-3)2>1,∴点P在⊙C外.
2.(2011•临沂模拟)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是(  )
A.(-∞,14] B.(0,14]
C.(-14,0) D.(-∞,14)
[答案] A
[解析] 由题可知直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2),故可得a+b=1,∴ab≤(a+b2)2=14.
3.(2010•延边州质检)已知圆(x+1)2+(y-1)2=1上一点P到直线3x-4y-3=0距离为d,则d的最小值为(  )
A.1 B.45
C.25 D.2
[答案] A
[解析] ∵圆心C(-1,1)到直线3x-4y-3=0距离为2,∴din=2-1=1.
4.(2011•东北育才中学期末)圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是(  )
A.(-∞,4) B.(-∞,0)
C.(-4,+∞) D.(4,+∞)
[答案] A
[解析] 圆(x-1)2+(y+3)2=10-5a,由条件知,圆心C(1,-3)在直线y=x+2b上,∴b=-2,又10-5a>0,∴a<2,∴a-b<4.
5.一条线段AB长为2,两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹是(  )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.圆 D.半圆
[答案] C
[解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得AB的中点到原点的距离总等于1,
∴AB的中点轨迹是圆,故选C.
6.(2011•浙江宁波八校联考)点(a,b)为第一象限内的点,且在圆(x+1)2+(y+1)2=8上,ab的最大值为________.
[答案] 1
[解析] 由条件知a>0,b>0,(a+1)2+(b+1)2=8,∴a2+b2+2a+2b=6,∴2ab+4ab≤6,
∵ab>0,∴0<ab≤1,等号在a=b=1时成立.
[点评] 作出如下图形可见,点(a,b)为⊙C在第一象限的一段弧,由对称性可知,当点(a,b)为直线y=x与⊙C的交点(1,1)时,ab取最大值1.

7.(2010•瑞安中学)已知圆x2+y2=r2在曲线x+y=4的内部(含边界),则半径r的范围是________.
[答案] (0,22]
[解析] 如下图,曲线C:x+y =4为正方形ABCD,

∵圆x2+y2=r2在曲线C的内部(含边界)
∴0<r≤O=22.





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