命题：新田一中 廖信亮第I卷（选择题 共0分）本大题有小题，每小题分，共分.每小题都有四个选项，．1．，，则集合中共有 ( ) 个真子集 原创A. 7 B .4 C. 3 D. 82．已知复数，则的虚部为（ ） 原创A. B. C. D. 3. “”是“或”成立的( ) 原创A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 定积分的值为 ( ) 原创 A．． ．．的零点所在的大致区间是 ( ). 原创A. B. C. D. 6．已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 原创7．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为( ) 原创A . B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个“承托函数”现有如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②为函数的一个承托函数；③定义域和值域都是的函数不存在承托函数, 其中正确的命题是( ) A. ①② B. ② C. ①③ D. ②③改编自2015-2013金考卷45套16的8题第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题:（本大题有7小题，每小题5分，共35分）（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．，则该圆的圆心到直线的距离是 . 原创 10. 若，则的最小值为________. 原创11. 已知的两条直角边、的长分别为，以为直径的圆与交于点，则 . 原创（二）必做题12.已知数列是等差数列，且，则 _____.原创13.设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则 . 原创 14．在2015年高三第二次调研考试中，某学校有550名高三学生参加了考试，其数学成绩近似服从正态分布，已知,则可估计该学校数学成绩及格（成绩不低于90分为及格）的学生有 人. 原创 15.平行四边形的两条对角线相交于点,点是对角线上任意一点。若且。则的取值范围是 . 原创16 如果正整数各位数字之和等于6，那么称为“吉祥数”，将所有的“吉祥数”从小到大排成一列若，则 .原创三、解答题:（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17,18,19题每题12分，20,21,22每题13分）17.已知中，角的对边分别为, 原创 (1)求角的值； (2)求 的值.18．中，底面是矩形， ,, ,为的中点，为的中点（1）证明：直线；（2）求二面角的平面角的余弦值. 原创19. 2015年某省实施通过竞选选拔高校校长，省委组织部拟选拔4名校长，相关单位通过组织提名、领导干部个人提名、群众联合提名、自荐提名四种方式，确定初步人选为5名男竞选者和4名女竞选者，每名竞选者当选校长的机会是相等的. 选用2015-2013金考卷45套16的16题（1）记为男竞选者当选的人数，写出的分布列，并求的数学期望；（2）设至少有名女竞选者当选的概率为，试求满足时的最大值.20．数列中， 原创 （1）若，求证：数列是等差数列，并求通项；（2）若，问是否存在实数，使数列成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为点在椭圆上，且，的面积为3 （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于不同的两点（不同于点），探索直线的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由 选用2015-2013金考卷45套23的22题22.已知函数，其中为实数 （1）求函数的单调区间；（2）若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明： ,对于任意的正整数成立.选用2015-2015金考卷45套7的22题 新田一中2015届高三下期期中考试数学试题（理科）答案解析命题：新田一中 廖信亮3.选.本小题主要考查充分条件、必要条件以及命题真假的判断转化方法.解析：考虑命题：若且,则.显然该命题为真命题，其逆命题为假命题。那么它的逆否命题是：若,则或，一定为真。4.选B. 本小题主要考查定积分的几何意义.解析：定积分表示直线轴以及函数所围成的图形的面积。由于所围的图形是一个半圆，所以面积为.5.选B. 本小题主要考查函数的零点，零点存在性定理的正确使用.解析：因为由零点存在性定理知选B.8.选A.本小题主要考查新情景下新概念的阅读理解接受能力，函数的性质运用.解析：对于①，若，则就是函数的一个“承托函数”且有无数个；若，则没有一个“承托函数”，所以①对;对于②，记令得，易知是的最（极）小值点，所以，所以②对；对于③，若则是函数的一个“承托函数”，所以③错.9．.本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式.解析：分别把极坐标方程，化为直角坐标方程所以圆心到直线的距离.13 .4. 本小题主要考查二项式定理及其通项.解析：所以解得，-15（舍去）所以.14.462 .本小题主要考查正态分布的概念.解析：这里,即从而所以.故.15.. 本小题主要考查解析法，数量积的坐标表示，解三角形的相关知识.解析：由余弦定理知,以直线为轴，直线为轴建立直角坐标系，则设那么所以故的取值范围是.18. 本小题主要考查空间中平行问题的证明，二面角的探求，空间想象能力.解析（1）证明：取的中点,连接因为分别是的中点,所以又,所以所以四边形是平行四边形所以,又面，面所以直线. （6分）（2）取的中点,过作交于,连接，则面所以，所以是二面角的平面角在中，求得于是，即二面角的平面角的余弦值为.（12分）19. 本小题主要考查等可能事件的概率，概率的分布列，数学期望的求法.解析（1）依题意知的所有可能值为0,1,2,3,4，则 ， ， 故的分布列为0 1234 所以. （8分）（2）由（1）知，至少有4名女竞选者当选的概率为至少有3名女竞选者当选的概率为至少有2名女竞选者当选的概率为因此要使， 的最大值为2 . （12分）20. 本小题主要考查等差、等比数列的判断方法，待定系数法以及等价转化思想。解析（1）证明：，因为所以数列是等差数列，该等差数列的首项为，公差为所以， （6分）（2）假设存在实数满足条件则 化简得，那么必有，故存在实数，满足条件.（13分）（2）由（1）知，，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与椭圆的交点坐标为，此时直线的方程为，直线的方程为，将直线与直线的方程联立，消去得，，如果直线，的交点在一条垂直于轴的定直线上，则这条定直线的方程一定是， （7分）②当直线的斜率存在时，设直线的方程为代入椭圆的方程，整理得设直线与椭圆的交点为，则， （8分）直线的方程为，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点为， （10分）下面证明两点重合，即证明两点的纵坐标相等因为， 所以所以结论成立，即直线与直线的交点在直线上。综上可知，直线的交点能在一条垂直于轴的定直线上，这条定直线的方程是. (13分)22. 本小题主要考查函数的导数及其应用，分类讨论的数学思想，不等式的证明方法.解析(1)因为讨论如下：当时，令得；得此时，函数的增区间是，减区间是当时，令得或；得此时，函数的增区间是和，减区间是当时，对任意恒成立，此时，函数的增区间是，无减区间当时，令得或；得此时，函数的增区间是和，减区间是 （4分）（3）当时，（当且仅当时等号成立）则，当时，此不等式可以变形为，分别令，则所以 . （13分）湖南省新田一中2015届高三上学期期中检测（教师命题比赛）数学（理）试题
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