牛顿第二定律实验—改“控制变量法”为“补偿法”
江苏省特级教师 戴儒京
著名的也是最重要的“牛顿第二定律实验”，以课程标准为指导而编写的教科书与以前的教科书比较， 把教师演示实验变为学生探索性实验。多年以来，都是教师演示实验，由老师做、老师讲，教科书不把实验的设计展示给学生，而课标教科书则详细写出了实验程序和设计过程。在实验修订本中，关于牛顿第二定律的实验的叙述只用了半页400多字，而在课标教科书中，用了单独的一节即第四章第2节：实验：探究加速度与力、质量的关系，洋洋洒洒3页半，约2000多字, 是原来的5倍多。
实验修订本中，有下列内容（2项）：
?实验装置
?实验方法
课标教科书中，有下列内容（7项）：
?加速度与力的关系
?加速度与质量的关系
?制定实验方案时的两个问题
?怎样测量或比较物体的加速度
?怎样提供和测量物体所受的恒力
?参考案例
?怎样由实验结果得出结论
通过比较可以知道：实验修订本中的内容只是课标教科书中“怎样测量或比较物体的加速度”和“参考案例”两项内容，也就是说：课标教科书比实验修订本增加了实验设计方法的内容：加速度与力的关系和加速度与质量的关系，即控制变量法。以前是老师补充的，现在写在教科书中，使学生不仅知道怎样做实验，还明白为什么这样做实验，即知其然知其所以然。
除文字不同外，插图也不同。实验修订本中，只有一幅图即图3-5 研究牛顿第二定律的实验装置图（第50页），而在课标教科书中除实验装置图（第78页图4.2-4及图4.2-5）外还有图4.2-2加速度与质量的关系图（a-m图）和图4.2-4加速度与质量的倒数的关系图（a- 图）（第76页），为学生作图做了示范。
笔者经过仔细、认真的研究，认为“牛顿第二定律实验”还有改进的空间，且有改进的必要。那就是把“控制变量法”改为“补赏法”。
一、“控制变量法”实验
1．实验装置
图1为俯视图，图2为侧视图。
2．实验过程
(1)加速度跟力的关系
使用两个相同的小车，满足m1=m2；在连小车前的绳端分别挂一个钩码和两个钩码（设钩码质量为 ），使F1=2F2．将二小车拉至同一起点处，记下位置．放手后经一段时间使二小车同时停止，满足时间t相同．改变F重复实验，
读出二小车的位移，填入表1：
表1
根据 ，在 相等的情况下， 与 成正比。从表1可得：
比较可得，在误差允许的范围内，a∝F．
(2)加速度跟质量的关系
将小车1上加0.2kg砝码，使m1=2m2；二小车前面绳端都挂一个钩码，使F1=F2．将二小车拉至同一起点处放开经一段时间使其同时停止，读出各小车位移记入表2：
表2
3．定律导出
（1）由上述实验结果 ， ，可得出物体的加速度跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，即牛顿第二定律的基本关系，写成数学表达式为
(2)上式可写为等式F=kma，式中k为比例常数．如果公式中的物理量选择合适的单位，就可以使k=1，则公式更为简单．
在国际单位制中，力的单位是牛顿．牛顿这个单位就是根据牛顿第二定律来定义的：使质量是1kg的物体产生1m/s2的加速度的力为1N，即1N=1kg?m/s2．
可见，如果都用国际单位制中的单位，就可以使k=1，那么公式则简化为F=ma，这就是牛顿第二定律的公式．
(3)当物体受到几个力的作用时，牛顿第二定律也是正确的，不过这时F代表的是物体所受外力的合力．牛顿第二定律更一般的表述是：
物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同．
公式是：
F合=ma．
二、系统误差分析
1．用数字计算法分析误差
在实验中，小车（质量为 ）受的拉力实际上不等于钩码的重力（ ），设为 ，则有
，解得
从结果可以看出，小车受的拉力 实际上小于钩码的重力（ ），而钩码的重力（ ）是产生小车和钩码二者的加速度的力，而不是产生小车的加速度的力。
在第（1）步中的第1次实验中，小车受的拉力 ，但在实验中认为小车受的拉力等于钩码的重力 ，则相对误差为 。
在第（1）步中的第2次实验中，小车受的拉力 ，但在实验中认为小车受的拉力等于钩码的重力 ，则相对误差为 。
可见，在小车的质量相等的条件下，钩码的质量越小，相对误差越小。
但是，实验中认为第1次实验小车受的拉力（两个钩码）是第2次实验小车受的拉力（一个钩码）的2倍，但实际是不是2倍，是 倍，相对误差为 。
在第（2）步中的第1次实验中，小车受的拉力 ，但在实验中认为小车受的拉力等于钩码的重力 ，则相对误差为 。
在第（2）步中的第2次实验中，小车受的拉力 ，但在实验中认为小车受的拉力等于钩码的重力 ，则相对误差为 。
可见，在钩码的质量相等的条件下，小车的质量越大，相对误差越小。
但是，实验中认为两次实验小车受的拉力相等（都是两个钩码），但实际是不相等的，其中第1次是0.18N，第2次是0.19N，相对误差为 。
2．用公式法分析误差
根据公式 ，得相对误差为 ，也就是说，小车质量 比钩码质量 大得越多，相对误差越小，即实验条件是：只有当 >> 时，才能认为小车受力等于钩码的重力。
但无论如何，高达 的误差，是不能令人信服的。也就是说，上述实验是不可取的，只能把钩码的质量降到 及以下，因为一般认为，所谓在误差范围内，是指误差在 左右或以下。
这样做实验的主要问题还不在误差上，主要问题在：实验给同学造成一个错觉，一个严重的错觉，那就是学生觉得，小车受的拉力等于钩码的重力，这个错觉的来源还在于：初中他们学静止和匀速运动时，小车受的拉力确实等于钩码的重力。这个错觉很难纠正，以至于在很多题中体现出来。
三、实验的改进——把“控制变量法”改为“补偿法”
所谓“补赏法”，是这样做实验：
第1次，仍然是小车的质量为 ，钩码的质量为 ，而第二次改为：把挂着的两个钩码其中的1个移到小车上，则小车的质量为 ，钩码的质量为 。这样，小车受的拉力，原来是 ，后来变为 。这样， （因为 ），比较接近2：1了。
而小车受力与质量的比值分别为：第1次， ，第2次， ，两次的比值为： ，用数字计算则为： = ， = ，我们可以理直气壮地说，小车的加速度与受力与质量的比值成正比。这样还可以毕其功于一役，不要分“加速度与力的关系”和“加速度与质量的关系”两步做实验了。最重要的还是，不要让学生认为：小车受的拉力等于钩码的重力。
1．（2010年高考江苏卷第11题）．（10分）为了探究受到空气阻力时，物体运动速度随时间的变化规律，某同学采用了“加速度与物体质量、物体受力关系”的实验装置（如图所示）。实验时，平衡小车与木板之间的摩擦力后，在小车上安装一薄板，以增大空气对小车运动的阻力。
（1）往砝码盘中加入一小砝码，在释放小车 ▲ （选填“之前”或“之后”）接通打点计时器的电源，在纸带上打出一系列的点。
（2）从纸带上选取若干计数点进行测量，得出各计数点的时间t与速度v的数据如下表：
请根据实验数据作出小车的v-t图像。
（3）通过对实验结果的分析，该同学认为：随着运动速度的增加，小车所受的空气阻力将变大，你是否同意他的观点？请根据v-t图象简要阐述理由。
【答案】（1）之前 （2）（见右图）
（3）同意 在v-t图象中，速度越大时，加速度越小，小车受到的合力越小，则小车受空气阻力越大。
2．（2010年高考山东卷第23题）（1）某同学设计了如图所示的装置来探究加速度与力的关系。弹簧秤固定在一合适的木板上，桌面的右边缘固定一支表面光滑的铅笔以代替定滑轮，细绳的两端分别与弹簧秤的挂钩和矿泉水瓶连接。在桌面上画出两条平行线MN、PQ，并测出间距 。开始时将木板置于MN处，现缓慢向瓶中加水，直到木板刚刚开始运动为止，记下弹簧秤的示数F0，以此表示滑动摩擦力的大小。再将木板放回原处并按住，继续向瓶中加水后，记下弹簧秤的示数F1，然后释放木板，并用秒表记下木板运动到PQ处的时间 。
①木板的加速度可以用 、 表示为 ＝ ；为了减小测量加速度的偶然误差可以采用的方法是（一种即可） 。
②改变瓶中水的质量重复实验，确定加速度 与弹簧秤示数F1的关系。下列图象能表示该同学实验结果的是 。
③用加水的方法改变拉力的大小与挂钩码的方法相比，它的优点是 。
a．可以改变滑动摩擦力的大小
b．可以更方便地获取多组实验数据
c．可以比较精确地测出摩擦力的大小
d．可以获得更大的加速度以提高实验精度
【解析】（1）① ②C 。③BC
3．2007江苏物理卷第１３题（１３分）
如题１３（a）图，质量为Ｍ的滑块Ａ放在气垫导轨Ｂ上，Ｃ为位移传感器，它能将滑块Ａ到传感器Ｃ的距离数据实时传送到计算机上，经计算机处理后在屏幕上显示滑块Ａ的位移－时间（s-t）图象和速率－时间（v-t）图象。整个装置置于高度可调节的斜面上，斜面的长度为了l、高度为h。（取重力加速度g=9.8m/s2，结果可保留一位有效数字）
（１）现给滑块Ａ一沿气垫导轨向上的初速度，Ａ的v-t图线如题１３(b)图所示。从图线可得滑块Ａ下滑时的加速度a= m/s2 ,摩擦力对滑块Ａ运动的影响 。（填“明显，不可忽略”或“不明显，可忽略”）
（２）此装置还可用来验证牛顿第二定律。实验时通过改变 ，可验证质量一定时，加速度与力成正比的关系；实验时通过改变 ，可验证力一定时，加速度与质量成反比的关系。
（３）将气垫导轨换成滑板，滑块Ａ换成滑块Ａ’，给滑块Ａ’一沿滑板向上的初速度，Ａ’的s-t图线如题１３（c）图。图线不对称是由于 造成的，通过图线可求得滑板的倾角θ＝ （用反三角函数表示），滑块与滑板间的动摩擦因数μ＝
【答案】（1）6 不明显，可忽略
（2）斜面高度ｈ 滑块Ａ的质量Ｍ及斜面高度ｈ，且使Ｍｈ不变
（３）滑动摩擦力 （ ～ 都算对
０．３（０．２～０．４都算对）
【解析】（1）下滑时，加速度为 ；上滑时，加速度为 摩擦力对滑块A运动的影响不明显，可忽略。
（2）改变斜面高度h, 则改变斜面的倾角，则改变产生加速度的力（ ），可验证质量一定时，加速度与力成正比的关系；改变滑块A的质量M及斜面的高度h，且使Mh不变，因为 ，使Mh不变，则F不变，可验证力一定时，加速度与质量成反比的关系。
（３）图线不对称是由于滑动摩擦力造成的，因为在滑块上滑时，加速度的大小为 ，在滑块下滑时，加速度的大小为 ，在滑动摩擦力不可忽略的情况下，二者不等， 图象不对称。从题13（b）图中得 ，又 ，所以 = 。（ 都对）。从题13（c）图中上滑阶段读出， ， ，根据 得 ，代入 = ，已知 ，则 ，解得 。
4．2007海南物理卷第14题．
现要验证“当质量一定时，物体运动的加速度与它所受的合外力成正比”这一物理规律。给定的器材如下：一倾角可以调节的长斜面（如图）、小车、计时器一个、米尺。
（１）填入适当的公式或文字，完善以下实验步骤（不考虑摩擦力的影响）：
① 小车自斜面上方一固定点Ａ1从静止开始下滑至斜面底端Ａ2，记下所用的时间
② 用米尺测量Ａ1与Ａ2之间的距离s，则小车的加速度 ____________。
③ 用米尺测量Ａ1相对于Ａ2的高h。设小车所受重力为mg，则小车所受的合外力Ｆ＝________。
④ 改变_________________，重复上述测量。
⑤ 以h为横坐标， 为纵坐标，根据实验数据作表作图。如能得到一条过原点的直线，则可以验证“当质量一定时，物体运动的加速度与它所受的合外力成正比”这一规律。
（２）在探究如何消除上述实验中摩擦阻力影响的过程中，某同学设计的方案是：
① 调节斜面倾角，使小车在斜面上匀速下滑。测量此时Ａ1点相对于斜面底端Ａ2的高度ho。
② 进行（1）中的各项操作。
③ 计算与作图时用（h－ho）代替h。
对此方案有以下几种评论意见：
Ａ. 方案正确可行
Ｂ. 方案的理论依据正确，但利用所给的器材无法确定小车在斜面上是否做匀速运动。
Ｃ. 方案的理论依据有问题，小车所受摩擦力与斜面倾角有关。
其中合理的意见是________。
【答案】（１） ② ③ ④斜面倾角（或填h的数值）
（２） Ｃ
【解析】要验证“当质量一定时，物体运动的加速度与它所受的合外力成正比”， ，即 = ，只要以h为横坐标， 为纵坐标，根据实验数据作表作图，如能得到一条过原点的直线，便可。
5 ．实验装置如图1所示；一木块放在水平长木板上，左侧拴有一细软线，跨过固定在木板边缘的滑轮与一重物相连，木块右侧与打点计时器的纸带相连，在重物牵引下，木块在木板上向左运动，重物落地后，木块继续向左做匀减速运动，图2给出了重物落地后，打点计时器在纸带上打出的一些点，试根据给出的数据，求木块与木板间的摩擦因数?。要求写出主要的运算过程，结果保留2位有效数字。（打点计时器所用交流电频率为50Hz，不计纸带与木块间的拉力。取重力加速度g＝10m/s2）
【答案】由给出的数据可知，重物落地后，木块在连续相等的时间T内的位移分别是：
以a 表示加速度，根据匀变速直线运动的规律，有
重物落地后木块只受摩擦力的作用，以 表示木块的质量，根据牛顿定律，有
6．江苏省2009高考题“探究加速度与物体质量、物体受力的关系”的实验装置如图甲所示.
（1）在平衡小车与桌面之间摩擦力的过程中，打出了一条纸袋如图乙所示。计时器大点的时间间隔为0.02s.从比较清晰的点起，每5个点取一个计数点，量出相邻计数点之间的距离。该小车的加速度a=______m/s2.（结果保留两位有效数字）
（2）平衡摩擦力后，将5个相同的砝码都放在小车上.挂上砝码盘，然后每次从小车上取一个砝码添加到砝码盘中，测量小车的加速度。小车的加速度a与砝码盘中砝码总重力F的实验数据如下表：
砝码盘中砝码总重力F(N)0.1960.3920.5880.7840.980
加速度a（m?s-2）0.691.181.662.182.70
请根据实验数据作出a-F的关系图像.
（3）根据提供的试验数据作出的 -F图线不通过原点，请说明主要原因。
【答案】11. (1) 0.16 (0.15也算对) （2）（见右图）
（3）未计入砝码盘的重力
7．（上海2009高考题） 如图为“用DIS（位移传感器、数据采集器、计算机）研究加速度和力的关系”的实验装置。
（1）在该实验中必须采用控制变量法，应保持___________不变，用钩码所受的重力作为___________，用DIS测小车的加速度。
（2）改变所挂钩码的数量，多次重复测量。在某次实验中根据测得的多组数据可画出a-F关系图线（如图所示）。
①分析此图线的OA段可得出的实验结论是_________________________________。
②（单选题）此图线的AB段明显偏离直线，造成此误差的主要原因是（）
（A）小车与轨道之间存在摩擦 （B）导轨保持了水平状态
（C）所挂钩码的总质量太大（D）所用小车的质量太大
答案：17．（1）小车的总质量，小车所受外力，（2）①在质量不变的条件下，加速度与外力成正比，②C
8．全国2009高考题
某同学为了探究物体在斜面上的运动时摩擦力与斜面倾角的关系，设计实验装置如图。长直平板一端放在水平桌面上，另一端架在一物块上。在平板上标出A、B两点，
B点处放置一光电门，用光电计时器记录滑块通过光电门时挡光的时间。
实验步骤如下：
①用游标卡尺测量滑块的挡光长度d，用天平测量滑块的质量m；
②用直尺测量AB之间的距离s，A点到水平桌面的垂直距离h1，B点到水平桌面的垂直距离h2；
③将滑块从A点静止释放，由光电计时器读出滑块的挡光
时间t1
④重复步骤③数次，并求挡光时间的平均值 ；
⑤利用所测数据求出摩擦力f和斜面倾角的余弦值 ；
⑥多次改变斜面的倾角，重复实验步骤②③④⑤，做出f- 关系曲线。
（1）用测量的物理量完成下列各式（重力加速度为g）：
①斜面倾角的余弦 = ；
②滑块通过光电门时的速度v= ；
③滑块运动时的加速度a= ；
④滑块运动时所受到的摩擦阻力f= ；
（2）测量滑块挡光长度的游标卡尺读数如图所示，
读得d= 。
【答案】（1）① ② ③ ④
（2）3.62cm
【解析】(1)物块在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动,受重力、支持力、滑动摩擦力,如图所示① 根据三角形关系可得到 ,②根据 ③根据运动学公式 ,有 ,即有
④根据牛顿第二定律 ,则有 .
(2) 在游标卡尺中，主尺上是3.6cm，在游标尺上恰好是第1条刻度线与主尺对齐，再考虑到卡尺是10分度，所以读数为3.6cm+0.1×1mm=3.61cm或者3.62cm也对.
9.（ 2008年宁夏第22.Ⅱ、题） 测量滑块与木板之间的动摩擦因数
物理小组在一次探究活动中测量滑块与木板之间的动摩擦因数．实验装置如图，一表面粗糙的木板固定在水平桌面上，一端装有定滑轮；木板上有一滑块，其一端与电磁打点计时器的纸带相连，另一端通过跨过定滑轮的细线与托盘连接．打点计时器使用的交流电源的频率为50 Hz．开始实验时，在托盘中放入适量砝码，滑块开始做匀加速运动，在纸带上打出一系列小点．
⑴上图给出的是实验中获取的一条纸带的一部分：0、1、2、3、4、5、6、7是计数点，每相邻两计数点间还有4个打点（图中未标出），计数点间的距离如图所示．根据图中数据计算的加速度a＝ （保留三位有效数字）．
⑵回答下列两个问题：
①为测量动摩擦因数，下列物理量中还应测量的有 ．（填入所选物理量前的字母）
A．木板的长度l B．木板的质量m1 C．滑块的质量m2
D．托盘和砝码的总质量m3 E．滑块运动的时间t
②测量①中所选定的物理量时需要的实验器材是 ．
⑶滑块与木板间的动摩擦因数μ＝ （用被测物理量的字母表示，重力加速度为g）．与真实值相比，测量的动摩擦因数 （填“偏大”或“偏小” ）．写出支持你的看法的一个论据：
．
解析: [1] ,其中 , ,
,代入数据得 .
[2] ① 先推出公式(见[3]) 知选CD ②天平
[3] 根据牛顿定律
解得
偏大,因为纸带与打点计时器也有摩擦力.
答案：22.Ⅱ、⑴0.495～0.497 m/s2； ⑵①CD； ②天平；
⑶ ,
10.（2010高考山东理综第23题）.（12分）
（1）某同学设计了如图所示的装置来探究加速度与力的关系。弹簧秤固定在一合适的木板上，桌面的右边缘固定一支表面光滑的铅笔以代替定滑轮，细绳的两端分别与弹簧秤的挂钩和矿泉水瓶连接。在桌面上画出两条平行线 、 ，并测出间距 开始时将木板置于 处，现缓慢向瓶中加水，直到木板刚刚开始运动为止，记下弹簧秤的示数 ,以此表示滑动摩擦力的大小。再将木板放回原处并按住，继续向瓶中加水后，记下弹簧秤的示数 ，然后释放木板，并用秒表记下木板运动到 处的时间 。
①木板的加速度可以用 、 表示为 = ；为了减小测量加速度的偶然误差可以采用的方法是（一种即可） 。
② 改变瓶中水的质量重复实验，确定加速度a与弹簧秤示数 的关系。下列图象能表示该同学实验结果的是 。
③ 用加水的方法改变拉力的大小与挂钩码的方法相比，它的优点是 。
a.可以改变滑动摩擦力的大小
b.可以更方便地获取多组实验数据
c.可以比较精确地测出摩擦力的大小
d.可以获得更大的加速度以提高实验精度
10． （23．（1））【解析】①
②C 。
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