函 数
一．映射 : A B的概念。在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：
（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是　A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象　　C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 　D、 是 中所在元素的象的集合
（答：A）；
（2）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点________
（答：（2，－1））；
（3）若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到 的函数有 个
（答：81,64,81）；
（4）设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有____个
（答：12）；
（5）设 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则 一定是_____
（答： 或{1}）.
二．函数 : A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：
（1）已知函数 ， ，那么集合 中所含元素的个数有 个
（答： 0或1）；
（2）若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 ＝
（答：2）
三．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如
若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为 ，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个
（答：9）
四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 中 且 ，三角形中 , 最大角 ，最小角 等。如
（1）函数 的定义域是____
(答： )；
（2）若函数 的定义域为R，则 _______
(答： )；
（3）函数 的定义域是 ， ，则函数 的定义域是__________
(答： )；
（4）设函数 ，①若 的定义域是R，求实数 的取值范围；②若 的值域是R，求实数 的取值范围
（答：① ；② ）
2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。
3．复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，相当于当 时，求 的值域（即 的定义域）。如
（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________
（答： ）；
（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________
（答：[1,5]）．
五．求函数值域（最值）的方法：
1．配方法??二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如
（1）求函数 的值域
（答：[4,8]）；
（2）当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是___
（答： ）；
（3）已知 的图象过点（2,1），则 的值域为______
（答：[2, 5]）
2．换元法??通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如
（1） 的值域为_____
（答： ）；
（2） 的值域为_____
（答： ）
（3） 的值域为____
（答： ）；
（4） 的值域为____
（答： ）；
3．函数有界性法??直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如
求函数 ， ， 的值域
（答： 、（0,1）、 ）；
4．单调性法??利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如
求 ， ， 的值域
（答： 、 、 ）；
5．数形结合法??函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如
（1）已知点 在圆 上，求 及 的取值范围
（答： 、 ）；
（2）求函数 的值域
（答： ）；
（3）求函数 及 的值域
（答： 、 ）
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。
6．判别式法??对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
① 型，可直接用不等式性质，如
求 的值域
（答： ）
② 型，先化简，再用均值不等式，如
（1）求 的值域
（答： ）；
（2）求函数 的值域
（答： ）
③ 型，通常用判别式法；如
已知函数 的定义域为R，值域为[0，2]，求常数 的值
（答： ）
④ 型，可用判别式法或均值不等式法，如
求 的值域
（答： ）
7．不等式法??利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如
设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是__.
（答： ）。
8．导数法??一般适用于高次多项式函数，如
求函数 ， 的最小值。
（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？
（2）函数的最值与值域之间有何关系？
六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要判断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如
（1）设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围是__
（答： ）；
（2）已知 ，则不等式 的解集_____
（答： ）
七．求函数解析式的常用方法：
1．待定系数法??已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： ；顶点式： ；零点式： ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如
已知 为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2 ,求 的解析式 。
（答： ）
2．代换（配凑）法??已知形如 的表达式，求 的表达式。如
（1）已知 求 的解析式
（答： ）；
（2）若 ，则函数 =_____
（答： ）；
（3）若函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =________
（答： ）.
这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定义域应是 的值域。
3．方程的思想??已知条件是含有 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如
（1）已知 ，求 的解析式
（答： ）；
（2）已知 是奇函数， 是偶函数，且 + = ,则 = _
（答： ）。
八．反函数：
1．存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有 有反函数；周期函数一定不存在反函数。如
函数 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A、 　B、 　　C、 　　D、
　（答：D）
2．求反函数的步骤：①反求 ；②互换 、 ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数 的反函数不是 ，而是 。如
设 .求 的反函数
（答： ）．
3．反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如
单调递增函数 满足条件 = x ，其中 ≠ 0 ，若 的反函数 的定义域为 ，则 的定义域是____________
（答：[4,7]）.
②函数 的图象与其反函数 的图象关于直线 对称，注意函数 的图象与 的图象相同。如
（1）已知函数 的图象过点(1,1),那么 的反函数的图象一定经过点_
（答：（1,3））；
（2）已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，求 的值
（答： ）；
③ 。如
（1）已知函数 ，则方程 的解 ______
（答：1）；
（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数 ，f (4)＝0，则 ＝　
（答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如
已知 是 上的增函数，点 在它的图象上， 是它的反函数，那么不等式 的解集为________
（答：（2,8））；
⑤设 的定义域为A，值域为B，则有 ，
，但 。
九．函数的奇偶性。
1．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如
若函数 ， 为奇函数，其中 ，则 的值是
（答：0）；
2．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数 的奇偶性____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ ）。如
判断 的奇偶性___.（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。
3．函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若 为偶函数，则 .如
若定义在R上的偶函数 在 上是减函数，且 =2，则不等式 的解集为______.
（答： ）
④若奇函数 定义域中含有0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充分也不必要条件。如
若 为奇函数，则实数 ＝____（答：1）.
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如
设 是定义域为R的任一函数， ， 。①判断 与 的奇偶性； ②若将函数 ，表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，则 ＝____
（答：① 为偶函数， 为奇函数；② ＝ ）
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
十．函数的单调性。
1．确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值??作差??变形??定号）、导数法（在区间 内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则 ，请注意两者的区别所在。如
已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是____
(答： ）)；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意
型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为 .如
（1）若函数 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数 的取值范围是______
(答： ）)；
（2）已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_____
（答： ）；
（3）若函数 的值域为R，则实数 的取值范围是______
(答： 且 ）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如
函数 的单调递增区间是________
(答：（1,2）)。
2．特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围（答： ）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
3．你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。（答： ）
十一．常见的图象变换
1．函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到的。如
设 的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像向右平移1个单位得到，则 为__________
(答： )
2．函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。如
（1）若 ，则函数 的最小值为____
(答：2)；
（2）要得到 的图像，只需作 关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到
(答： ；右)；
（3）函数 的图象与 轴的交点个数有____个
(答：2)
3．函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得到的；
4．函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得到的；如
将函数 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么


　　(答：C)
5．函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如
（1）将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将此图像沿 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____
(答： )；
（2）如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是_______
(答： )．
6．函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的.
十二．函数的对称性。
1．满足条件 的函数的图象关于直线 对称。如
已知二次函数 满足条件 且方程 有等根，则 ＝_____
(答： )；
2．点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
3．点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
4．点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为 ；
5．点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。特别地，点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为
；点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。如
己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是___________
（答： ）；
6．曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。如
若函数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则 ＝______
（答： ）
7．形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)，对称中心是点 。如
已知函数图象 与 关于直线 对称，且图象 关于点（2，－3）对称，则a的值为______
（答：2）
8． 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。如
（1）作出函数 及 的图象；
（2）若函数 是定义在R上的奇函数，则函数 的图象关于____对称
（答： 轴）　　
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像 与 的对称性，需证两方面：①证明 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上；②证明 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上。如
（1）已知函数 。求证：函数 的图像关于点 成中心对称图形；
（2）设曲线C的方程是 ,将C沿 轴, 轴正方向分别平行移动 单位长度后得曲线 。①写出曲线 的方程
（答： ）；②证明曲线C与 关于点 对称。
十三．函数的周期性。
1．类比“三角函数图像”得：
①若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ；
②若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周期为 ；
③如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数 必是周期函数，且一周期为 ；
如已知定义在 上的函数 是以2为周期的奇函数，则方程 在 上至少有__________个实数根（答：5）
2．由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为 的周期函数”得：
①函数 满足 ，则 是周期为2 的周期函数；
②若 恒成立，则 ；
③若 恒成立，则 .
如(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于_____
(答： )；
(2)定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为________
_(答： )；
（3）已知 是偶函数，且 =993， = 是奇函数，求 的值
(答：993)；
（4）设 是定义域为R的函数，且 ，又 ，则 =
(答： )
十四．指数式、对数式：
， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 。如
（1） 的值为________
(答：8)；
（2） 的值为________
(答： )
十五．指数、对数值的大小比较：
（1）化同底后利用函数的单调性；
（2）作差或作商法；
（3）利用中间量（0或1）；
（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
十六．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题??认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模??通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模??求解所得的数学问题；④回归??将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立 型。
十七．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型： --------------- ；
②幂函数型： -------------- ， ；
③指数函数型： ------------ ， ；
④对数函数型： ----- ， ；
⑤三角函数型： ----- 。如已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 ____（答：0）
2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数 表示 除以3的余数，则对任意的 ，都有
A、 B、
C、 D、
（答：A）；
（2）设 是定义在实数集R上的函数，且满足 ，如果 ， ，求
（答：1）；
（3）如设 是定义在 上的奇函数，且 ，证明：直线 是函数 图象的一条对称轴；
（4）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 单调递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是____
（答：负数）
3．利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如
（1）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______
（答：偶函数）；
（3）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如右图所示，那么不等式 的解集是_____________
（答： ）；

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