数 学 (文科) 2013.5
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合 , ,则
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 的大小关系为
A. B. C. D.
3.如图,在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子,
若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ,则图形 面积的估计值为
A. B. C. D.
4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
5.下列函数中,为偶函数且有最小值的是
A. B.
C. D.
6.在四边形 中,“ , ”是“四边形 为平行四边
形”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.双曲线 的左右焦点分别为 ,且 恰为抛物线 的焦点,设双曲线 与该抛物线的一个交点为 ,若 是以 为底边的等腰三角形,则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
8.若数列 满足:存在正整数 ,对于任意正整数 都有 成立,则称数列 为周期数列,周期为 . 已知数列 满足 ,
则下列结论中错误的是
A.若 ,则
B.若 ,则 可以取3个不同的值
C.若 ,则数列 是周期为 的数列
D. 且 ,使得数列 是周期数列
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 复数
10.甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图,
则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.
11.已知数列 是等比数列,且 , ,则 的值为____.
12.直线 被圆 所截得的弦长为____.
13.已知函数 的图象经过点 ,则 _____,
在区间 上的单调递增区间为_____.
14.设变量 , 满足约束条件 其中 .
(I)当 时, 的最大值为______;
(II)若 的最大值为 ,则实数 的取值范围是_____.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知等差数列 的前 项和为 .
(I) 若 ,求 的通项公式;
(Ⅱ)若 ,解关于 的不等式 .
16.(本小题满分13分)
已知点 为 的边 上一点,且 , , .
(I) 求 的长;
(II)求 的面积.
17.(本小题满分14分)
如图1,在直角梯形 中, , , . 把 沿 折起到 的位置,使得 点在平面 上的正投影 恰好落在线段 上, 如图2所示. 点 分别为棱 的中点.
(I) 求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)求证: 平面 ;
(Ⅲ) 在棱 上是否存在一点 ,使得 到点 四点距离相等?请说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数 .
(I)当 时, 若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行,求实数 的值;
(II)若 ,都有 ,求实数 的取值范围.
19. (本小题满分14分)
已知椭圆 的四个顶点恰好是边长为2,一内角为 的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆 的方程;
(II)若直线 交椭圆 于 两点,且在直线 上存在点 ,使得 为等边三角形,求 的值.
20.(本小题满分13分)
设 是由 个整数组成的 行 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
123
101
(Ⅰ) 数表 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可); 表1
(Ⅱ) 数表 如表2所示,若经过任意一次“操作”以后,便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数 的值;
表2
(Ⅲ) 对由 个整数组成的 行 列的任意一个数表 ,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学 (文科)
参考答案及评分标准 2013.5
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.
一、(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号12345678
答案BACB D C B D
9.
10.乙 11. 或
12.
13.
14.
二、题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,
共30分)
注:11题少写一个,扣两分,错写不给分
13题开闭区间都对
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:(I)设 的公差为
因为 , ……………………2分
所以 ……………………4分
所以
所以 ……………………6分
(II)因为
当 时,
所以 , ……………………9分
又 时,
所以 ……………………10分
所以
所以 ,即
所以 或 ,
所以 , ……………………13分
16. 解:(I)因为 ,所以
在 中, ,
根据正弦定理有 ……………………4分
所以 ……………………6分
(II)所以 ……………………7分
又在 中,
, ……………………9分
所以 ……………………12分
所以 ……………………13分
同理,根据根据正弦定理有
而 ……………………8分
所以 ……………………10分
又 , ……………………11分
所以 ……………………13分
17.解:(I)因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上
所以 平面 ,所以 …………………2分
因为 ,
所以 是 中点, …………………3分
所以 …………………4分
同理
又
所以平面 平面 …………………6分
(II)因为 ,
所以 …………………7分
又 平面 , 平面
所以 …………………8分
又
所以 平面 …………………10分
(III)存在,事实上记点 为 即可 …………………11分
因为 平面 , 平面
所以
又 为 中点,所以 …………………12分
同理,在直角三角形 中, , …………………13分
所以点 到四个点 的距离相等 …………………14分
18.解:(I)当因为 , …………………2分
若函数 在点 处的切线与函数 在点
处的切线平行,
所以 ,解得
此时 在点 处的切线为
在点 处的切线为
所以 …………………4分
(II)若 ,都有
记 ,
只要 在 上的最小值大于等于0
…………………6分
则 随 的变化情况如下表:
极大值
…………………8分
当 时,函数 在 上单调递减, 为最小值
所以 ,得
所以 …………………10分
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增 ,
为最小值,所以 ,得
所以 ………………12分
综上, ………………13分
19.解:(I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为2,
一内角为 的菱形的四个顶点,
所以 ,椭圆 的方程为 ………………4分
(II)设 则
当直线 的斜率为 时, 的垂直平分线就是 轴,
轴与直线 的交点为 ,
又因为 ,所以 ,
所以 是等边三角形,所以直线 的方程为 ………………6分
当直线 的斜率存在且不为 时,设 的方程为
所以 ,化简得
所以 ,则 ………………8分
设 的垂直平分线为 ,它与直线 的交点记为
所以 ,解得 ,
则 ………………10分
因为 为等边三角形, 所以应有
代入得到 ,解得 (舍), ……………13分
此时直线 的方程为
综上,直线 的方程为 或 ………………14分
20.解:(I)
法1:
法2:
(写出一种即可) …………………3分
(II) 每一列所有数之和分别为2,0, ,0,每一行所有数之和分别为 ,1;
①如果操作第三列,则
则第一行之和为 ,第二行之和为 ,
,解得 . …………………6分
② 如果操作第一行
则每一列之和分别为 , , ,
解得 …………………9分
综上 …………………10分
(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和)
由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得
数阵中 个数之和增加,且增加的幅度大于等于 ,但是每次操作都只
是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中
个数之和必然小于等于 ,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
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