数 学 试 卷（文科）
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
（1） 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（2）已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
（3）已知命题 ， ，那么下列结论正确的是
A. 命题 B．命题
C．命题 D．命题
（4） 执行如图所示的程序框图，输出的 值为
A．102 B．81 C．39 D．21
（5）在区间 上随机取一个数 ，则事件“ ”
发生的概率为
A. B. C. D.
（6）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 %，经过 年，绿化面积与原绿化面积之比为 ，则 的图像大致为
（7）已知四棱锥 的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是
A.
B.
C.
D.
(8)定义一种新运算： 已知函数 ，若函数 恰有两个零点，则 的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
一、题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）在△ABC中，若 ，则 的大小为_________.
（10）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 .
(11) 某高校在 年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知 ＝ ；若要从成绩在 ， ， 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 人参加面试，则成绩在 内的学生中，学生甲被选取的概率为 .
（12）设 与抛物线 的准线围成的三角形区域（包含边界）为 ， 为 内的一个动点，则目标函数 的最大值为 _
（13）如图，在边长为 的菱形 中， ，
为 的中点，则 的值为
（14）对于三次函数 ，给出定义：
设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 为函数 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 ，请你根据上面探究结果，解答以下问题：
①函数 的对称中心坐标为 _ ；
②计算 = __ .
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）（本小题满分13分）
已知 为等差数列 的前 项和，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列 满足 ，求 的前 项和公式.
（16）（本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的最小正周期及单调递增区间.
（17）（本小题满分14分）
如图,在四棱锥 中,底面 是正方形,
侧面 底面 ，且 ,
、 分别为 、 的中点．
(Ⅰ) 求证： 平面 ；
(Ⅱ) 求三棱锥 的体积；
(Ⅲ) 在线段 上是否存在点 使得 ？说明理由.
（18）（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若 在 处的切线与直线 平行，求 的单调区间；
（Ⅱ）求 在区间 上的最小值.
（19）（本小题满分13分）
已知椭圆 的离心率为 且过点 ．
（I）求此椭圆的方程；
（II）已知定点 ，直线 与此椭圆交于 、 两点．是否存在实数 ，使得以线段 为直径的圆过 点．如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
（20）（本小题满分14分）
如果函数 的定义域为 ，对于定义域内的任意 ，存在实数 使得 成立，则称此函数具有“ 性质”．
（I）判断函数 是否具有“ 性质”，若具有“ 性质”，求出所有 的值；若不具有“ 性质”，请说明理由;
（II）设函数 具有“ 性质”，且当 时， ．若 与 交点个数为2013个，求 的值．
昌平区2014－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测
数 学 试卷 参考答案（文科）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题 号 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案 A C B A C D D B
二、题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（9） （10）
（11）0.040 ； （12）
（13） （14） ;2014
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 .
因为 ，
所以 解得 ............................................................4分
所以 ....................................................................................6分
（II）设等比数列 的公比为
因为
所以
所以 的前 项和公式为 ...........................................13分
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
………………………………………………………………………………………..4分
…………………………………….6分
（Ⅱ） 的最小正周期 ，…………………………8分
又由 可得
函数 的单调递增区间为 .………13分
（17）（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：连结 ，
为正方形， 为 中点，
为 中点.
∴在 中, // ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且 平面 ， 平面 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(Ⅱ)解：如图,取 的中点 , 连结 .
∵ , ∴ .
∵侧面 底面 ,
,
∴ .
又 所以 是等腰直角三角形，
且
在正方形 中，
……………………………………………..9分
(III)存在点 满足条件，理由如下：设点 为 中点，连接
由 为 的中点，所以 // ，
由（I）得 // ，且
所以 .
∵侧面 底面 , ,
所以， .
所以， 的中点 为满足条件的点.……………………………………14分
（18）（本小题满分13分）
解：（I） 的定义域为
由 在 处的切线与直线 平行，则 ….4分
此时 令
与 的情况如下：
（ ）
1
?0+
?
?
所以， 的单调递减区间是（ ），单调递增区间是 ………………………7分
(II)由
由 及定义域为 ，令
①若 在 上， ， 在 上单调递增， ；
②若 在 上， ， 单调递减；在 上， ， 单调递增，因此在 上， ；
③若 在 上， ， 在 上单调递减，
综上，当 时， 当 时， 当 时， …………………………………………………………………..13分
（19）（本小题满分13分）
解：（1）根据题意，
所以椭圆方程为 .5分
（II）将 代入椭圆方程，得 ，由直线与椭圆有两个交点，所以 ，解得 .
设 、 ，则 ， ，若以 为直径的圆过 点，则 ，即 ，
而 = ，所以
，解得 ,满足 .
所以存在 使得以线段 为直径的圆过 点．13分
（20）（本小题满分14分）
解：（I）由 得 ，根据诱导公式得 ． 具有“ 性质”，其中 ．
………………4分
（II） 具有“ 性质”， ， ，
，从而得到 是以2为周期的函数．又设 ，则 ，
．
再设 ，
当 （ ）， ，则 ，
；
当 ， 则 ， ；
对于 （ ），都有 ，而 ， ， 是周期为1的函数．
①当 时，要使得 与 有2013个交点，只要 与 在 有2014个交点，而在 有一个交点． 过 ，从而得
②当 时，同理可得
③当 时，不合题意．
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