一、知识梳理：
1、基本初等函数的值域：
（1）一次函数 的值域：R
（2）反比例函数 的值域：
（3）二次函数 的值域：
时， ； 时， ；
二次函数 在给定区间 上的值域：
由图象考虑取：
（4）指数函数 的值域：
（5）对数函数 的值域：R
（6）幂函数 的值域： 时，值域为 或 ， 时，值域为 ， 时，值域为 或
（7）三角函数 的值域分别为：
2、求函数值域的方法：
（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；
（2）二次函数法：形如 的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；
（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。
（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；
（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；
（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；
（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；
（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；
（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；
（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
二、典例讨论：
题型一。初等函数的复合函数：
例1、求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）
（4） 呢？
（5）已知 ，求函数 的值域。
解： 的定义域为 ，由此可得值域为[0，3]；
题型二。其它函数
例2、求下列函数的值域：
（1）分子常数化法：
点评：适用一次分式函数 型
（2）反表示法：
点评：类似地：
（3） 法：求函数y= 值域 先因式分解，能约先约。
解：∵ ，∴函数的定义域R，原式可化为 ,整理得 ，若y=1,即2x=0,则x=0；若y 1,∵ R，即有 0，∴ ,解得 且 y 1.
综上：函数是值域是{y }.
点评：适用二次分式函数 型，先因式分解，能约先约。
（4）特殊地：基本不等式法，求导法：
（5）配方法：
解： ，
（6）换元法： 换元法：
三角换元法：
（7）函数单调性法： 用 的单调性：
点评：可用导数法求之
（8）分段函数图象法：求 y=x+1+x-2的值域.
解：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{yy 3}.
（9）几何意义法、数形结合：
解： 构造点
得：
点评：亦可用合一法解之。
题型三。给定函数值域,求参数的取值范围
例3、已知函数 的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。
解： ， ，因为值域为[0，2]，设 ，其 ， ，
所以， ，验证：得
四、课后作业：
1． 求下列函数的最值与值域：?
（1）y=2x- ;?
(2)y=x+ ;(4)y= .?
解 （1）方法一 令 =t(t≥0),则x= .∴y=1-t2-t=-（t+ 2+ .?
∵二次函数对称轴为t=- ,∴在［0，+∞）上y=-(t+ 2+ 是减函数，?
故ymax=-(0+ 2+ =1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.?
方法二 ∵y=2x与y=- 均为定义域上的增函数，∴y=2x- 是定义域为{xx≤ }上的增函数，
故ymax=2× =1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.?
(2)方法一 函数y=x+ 是定义域为{xx≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.?
∴当x＞0时,y=x+ ≥2 =4，等号当且仅当x=2时取得.
当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.
综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.?
方法二 任取x1,x2,且x1＜x2,?
因为f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ )= ?
所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.?
故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,?
所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.?
（3）将函数式变形为?
y= ,?
可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.?
ymin=AB= ，可求得x= 时，ymin= .?
显然无最大值.故值域为［ ，+∞）.?
2．若函数 的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值
本文来自：逍遥右脑记忆 http://www.jiyifa.com/gaosan/71226.html
相关阅读：2012届高考数学第一轮导学案复习：二次函数
闂備胶绮〃鍛存偋婵犲倴缂氶柛顐ゅ枔閻濆爼鏌ｅΔ鈧悧濠囷綖閺嶎厽鐓ユ繛鎴炵懅椤ｅ弶绻濋埀顒佸閺夋垶顥濋梺鎼炲劀閸愨晜娈介梺璇叉捣閹虫挸锕㈤柆宥呮瀬閺夊牄鍔庨々鏌ユ煙閻戞ɑ纾荤紒顔芥尵缁辨捇宕橀埡浣轰患闂佽桨闄嶉崐婵嬬嵁鐎ｎ喗鍋い鏍ㄧ椤斿洭姊洪崨濠勬噭闁搞劏鍋愬☉鐢稿焵椤掑嫭鐓熸慨妯煎帶濞呮瑧绱掓潏銊х畼闁归濞€婵＄兘鏁傞悾灞稿亾椤曗偓閹嘲鈻庤箛鎾亾婵犳艾纾婚柨婵嗘椤╃兘鏌涘☉鍗炲闁轰讲鏅犻幃璺衡槈閺嵮冾瀱缂傚倸绉靛Λ鍐箠閹捐宸濇い鏃囧Г鐎氳櫕绻涚€涙ḿ鐭嬪ù婊€绮欓崺鈧い鎺嗗亾闁稿﹦鎳撻敃銏ゅ箥椤旀儳宕ュ┑鐐叉濞寸兘鎯屽畝鍕厵缂備焦锚婵啰绱掔捄铏逛粵缂佸矂浜堕崺鍕礃瑜忕粈鈧梺璇插缁嬫帡鏁嬮梺绋款儏缁夊墎鍒掑顑炴椽顢旈崪鍐惞闂備礁鎼悧鍡欑矓鐎涙ɑ鍙忛柣鏂垮悑閺咁剟鎮橀悙璺轰汗闁荤喐绻堥弻鐔煎几椤愩垹濮曞┑鐘亾濞撴埃鍋撴鐐茬Ч閸┾偓妞ゆ帒瀚€氬顭跨捄渚剱缂傚秮鍋撻梻浣瑰缁嬫垶绺介弮鍌滅當濠㈣埖鍔曠粻銉╂煙缁嬪潡顎楁い搴㈡崌閺岋綁鍩￠崗锕€缍婂畷锝堫槻闁崇粯妫冨鎾倷閸忓摜鐭楅梺鑽ゅУ閸斞呭緤婵傜ǹ绠查柕蹇嬪€曡繚闂佺ǹ鏈崙鐟懊洪妶澶嬬厱婵炲棙鍔曢悘鈺傤殽閻愬弶鍠樼€殿喚鏁婚、妤呭磼濠婂啳顔夐梻浣告惈閻楀棝藝閹殿喚鐭撻柛锔诲幐閸嬫挸顫濋浣规嫳婵犲痉銈勫惈闁诡噮鍣ｉ、妯衡攽鐎ｎ偅鐣堕梻浣告惈椤р偓闁瑰嚖鎷�/闂佸搫顦弲婊呮崲閸愵亝鍏滈柤绋跨仛娴溿倖绻濋棃娑掔湅婵炲吋鍔欓弻锝夊Ω閵夈儺浠奸梺鍝ュ仜椤曨參鍩€椤掆偓濠€鍗炩枍閵忋垺顫曟繝闈涚墛鐎氭氨鈧懓瀚妯煎緤濞差亝鈷戞い鎰剁磿缁愭棃鏌涚€ｎ偆澧紒鍌涘浮楠炲棝寮堕幐搴晭 bjb@jiyifa.com 濠电偞鍨堕幐楣冨磻閹惧瓨鍙忛柕鍫濐槹閺咁剟鎮橀悙璺轰汗妞ゅ繗浜槐鎾存媴閸濄儳顔夐梺缁樻惈缁辨洟鍩€椤掆偓濠€閬嶅磿閹寸姵顫曟繝闈涱儏鐎氬銇勯幒鎴濃偓鏄忋亹閺屻儲鍊堕煫鍥ㄦ尰椤ョ娀鏌ｅ┑鍥╂创鐎规洘姘ㄩ幏鐘诲箵閹烘柧鎮ｉ梻鍌氬€哥€氥劑宕愰幋锕€鐒垫い鎺戯攻鐎氾拷
