2014届高三模拟题（理）
一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2.．已知等差数列 中， ， ，若 ，则数列 的前5项和等于 （ ）
A．30B．45C．90D．186
3.设等比数列 的公比q=2，前n项和为Sn，则 = （ ）
A． B． C． D．
4.已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝ （ ）
A．8 B．－8 C．±8 D．98
5.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1>0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6.已知数列{an}的通项公式an＝log2n+1n+2(n∈N＋)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的正整数n （ ）
A．有最小值63 B．有最大值63
C．有最小值31 D．有最大值31
7.设数列{an}是公比为a(a≠1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N＋ ，点(Sn ，Sn+1)在 （ ）
A．直线y＝ax－b上 B．直线y＝bx＋a上
C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax＋b上
8.数列{an}中，a1＝1，Sn是前n项和，当n≥2 时，an＝3Sn，则 的值是（ ）
A．－2 B．－45 C．－13 D．1
9.北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数(参考数据1.14＝1.46，1.15＝1.61) （ ）
A．10% B．16．5% C．16．8% D．20%
10.若数列 是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为a，则 的值是 （ ）
A．1B．2C． D．
二、题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.已知 ．我们把使乘积a1•a2•a3•…•an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为 ．
12.已知 为等差数列， ， ，则 ．
13. 在数列 在中， ， ， ,其中 为常数，则 ．
14.设数列 中， ，
则通项 ___________．
15.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n行（ ）从左向右的第3个数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式．
（2）设数列{cn}对任意正整数n，均有 ，求c1＋c2＋c3＋…＋c2004的值．
17.已知f(x＋1)＝x2－4，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－32 ，a3＝f(x)．求：
（1）x的值；
（2）数列{an}的通项公式an；
（3）a2＋a5＋a8＋…＋a26．
18.正数数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an+1．
（1）试求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝1an•an+1，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<12．
19.设数列 满足 其中 为实数，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式
（Ⅱ）设 ， ,求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）若 对任意 成立，证明
20.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且x1>0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（1）求xn＋1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（3）设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn>0，n∈N＊，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．
21.数列 满足 ， （ ）， 是常数．
（Ⅰ）当 时，求 及 的值；
（Ⅱ）数列 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅲ）求 的取值范围，使得存在正整数 ，当 时总有 ．
答案解析
一、
22.A
23.C
24.C
25.B ∵
26.B
27.A
28.D ∵ ∴
故点 在直线y＝ax＋b上，选D．
29.C
30.B设现在总台数为b，2003年更新a台，则：b＝a＋a(1＋10%)＋……＋a(1＋10%)4．
∴ 选B．
31.B
二、题
32.∵ n＋2＝2k，由n＝2k－2∈(1，2004)有2≤k≤10(k∈Z)．故所有劣数的和为（22＋23＋……＋210）－2×9＝ －18＝2026．
33.15；
34.－1；
35. ；
36.
三、解答题
37.⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵ ∴ 故
38.⑴∵f(x＋1)＝(x＋)，∴f(x)＝(x－1)
∴a1＝f(x－1)＝(x－2)，a3＝(x－1)．
又a1＋a3＝2a2，∴x＝0，或x＝3．
（2）由（1）知a1，a2，a3分别是0，－32 ，－3或－3，－32 ，0．
∴
（3）当 时，
当 时，
39.（1）∵an>0， ，∴ ，则当n≥2时，
即 ，而an>0，∴
又
（2）
40.解 (1) 方法一：
当 时， 是首项为 ，公比为 的等比数列。
，即 。当 时， 仍满足上式。
数列 的通项公式为 。
方法二
由题设得：当 时，
时， 也满足上式。
数列 的通项公式为 。
(2)由（1）得
（3）由（1）知
若 ，则
由 对任意 成立，知 。下面证 ，用反证法
方法一：假设 ，由函数 的函数图象知，当 趋于无穷大时， 趋于无穷大
不能对 恒成立，导致矛盾。 。
方法二：假设 ， ，
即 恒成立 （＊）
为常数， （＊）式对 不能恒成立，导致矛盾，
41.解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以 由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk¬)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．
42.解：（Ⅰ）由于 ，且 ．
所以当 时，得 ，
故 ．
从而 ．
（Ⅱ）数列 不可能为等差数列，证明如下：
由 ， 得
， ， ．
若存在 ，使 为等差数列，则 ，即 ，
解得 ．
于是 ， ．
这与 为等差数列矛盾．所以，对任意 ， 都不可能是等差数列．
（Ⅲ）记 ，根据题意可知， 且 ，即 且 ，这时总存在 ，满足：当 时， ；当 时， ．
所以由 及 可知，若 为偶数，则 ，从而当 时， ；若 为奇数，则 ，从而当 时 ．
因此“存在 ，当 时总有 ”的充分必要条件是： 为偶数，
记 ，则 满足
．
故 的取值范围是 ．
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