汕头市金山中学第一学期期中考试
高三文科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.设 , 那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3.设数列 的前n项和 ，则 的值为 ( )
A． 15 B． 16 C． 49 D．64
4.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若 , , ,则 B．若 , , ,则
C．若 , , ,则 D．若 , , ,则
5.下列命题中正确的是（ ）
A. 的最小值是2B. 的最小值是2
C. 的最大值是
D. 的最小值是
6.经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D．
7.已知 ,则 的大小为 ( )
A. B. C. D.
8.设函 ，则满足 的 的取值范围是 ( )
A． ，2] B．[0，2] C． D．
9.奇函数 在 上为减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． （3， ）
10.设函数 ( , 为自然对数的底数).若存在 使 成立,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
11． 函数 的定义域为___________
12．若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围为 .
13．经过原点且与函数 （ 为自然对数的底数）的图象相切的直线方程为
14.定义“正对数”: ,现有四个命题:①若 ,则 ;②若 ,则 ③若 ,则 ④若 ,则
其中的真命题有____________ (写出所有真命题的序号)
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）已知集合 ， .
（Ⅰ）求集合 和集合 ；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围。
16． （本小题满分14分）如图，四棱锥 的底面 是边长为2的菱形， .已知 .
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若 为 的中点，求三菱锥 的体积.
17. （本小题满分14分）已知函数 在 、 处分别取得极大值和极小值，记点 .
⑴求 的值；
⑵证明：线段 与曲线 存在异于 、 的公共点；
18．（本小题满分14分）
已知直线l： ( R)和椭圆C： , 椭圆C的离心率为 ，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2 .
⑴求椭圆C的方程；
⑵直线l/与椭圆C有两个不同的交点，求实数 的取值范围；
⑶当 时，设直线l与y轴的交点为P，为椭圆C上的动点，求线段P长度的最大值。
19. （本小题满分14分）某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：
（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.
20．（本小题满分14分）
已知函数
（1）试讨论函数 的单调性；
（2）若函数 在 是单调减函数，求实数 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当 时，证明：
（其中（e≈2.718……即自然对数的底数）
汕头市金山中学第一学期期中考试
高三文科数学 参考答案
AAA DCCA CBA
11． 12． 13． 14.①③④
15．解：（Ⅰ）集合 = 2分
集合 = 4分
（Ⅱ）由 得 (6 分) 7分
或者 （9分） 10分
综上所述， 的取值范围为 或 12分
16．（1）证明：连接 交于 点 1分
2分
又 是菱形 3分
而 4分 ⊥面 5分
（2）由（1） ⊥面
设AC与BD交于点O
由余弦定理 AC= 7分
三角形ABD与三角形PBD全等 8分 故AO=PO= ， 9分
由勾股定理，PO AC 10分 = =3 11分
14分
17. 解法一：∵ ，依题意，
∴ ，（2分）
由 ，得 （3分）
令 ， 的单调增区间为 和 ，（5分）
，单调减区间为 （7分）
所以函数 在 处取得极值。 故 （9分）
所以直线 的方程为 （10分）
由 得 （11分）
令 ，易得 ，（13分）
而 的图像在 内是一条连续不断的曲线，故 在 内存在零点 ，这表明线段 与曲线 有异于 的公共点。（14分）
解法二：同解法一，可得直线 的方程为 （10分）
由 得 （11分）
解得 （13分）
所以线段 与曲线 有异于 的公共点 。 （14分）
18．解：⑴由离心率 ，得
又因为 ，所以 ，
即椭圆标准方程为 . ---------4分
⑵ 由 消 得： ．
所以 ， 可化为
解得 ． --------8分
⑶由l： ,设x=0, 则y=2, 所以P(0, 2). --------9分
设(x, y)满足 ,
则P2 =x2 +(y ?2)2 =2?2y2 +(y ? 2 )2 = ?y2 ?4y +6
= ?(y +2)2 +10，
因为 ?1 y 1, 所以 --------11分
当y=-1时，P取最大值3 --------14分
19. 解：（1）据题意的
（2）由（1）得：当 时，
当 时， ， 为增函数
当 时， 为减函数
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
综上知：当 时，总利润最大，最大值为195
20．
解:(1) 定义域为 ...................................................................1分
.......................................................................2分
当 时, 递增,
当 时, 递减,......................................................3分
的单调增区间为 的单调减区间为 ................4分
的极大值为 无极小值.........................................5分
(2) 函数 在 是单调减函数， ...7分
.................................
................8分
..............................................................................9分
(3)
...................................................................10分
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