§3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定定理.
旧知提示（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）
复习1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.
判别式 = .
当 0，方程有两根，为 ；当 0，方程有一根，为 ；当 0，方程无实根.
复习2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c (a 0)的图象之间有什么关系？
判别式一元二次方程二次函数图象


合作探究
探究1：① 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
② 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
③ 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
根据以上结论，可以得到：
一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 . 你能将结论进一步推广到 吗？
新知：函数零点与方程的根的关系

反思：函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：（1）函数 的零点为 ；（2）函数 的零点为 .
小结：方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点.
探究2：① 作出 的图象，求 的值，观察 和 的符号

② 观察下面函数 的图象，
在区间 上 零点； 0；
在区间 上 零点； 0；
在区间 上 零点； 0.
新知：零点存在性定理

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形分析.

典型例题
例1求函数 的零点的个数.

小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程 的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起，并利用函数的性质找出零点．
堂小结
①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理
知识拓展
图象连续的函数的零点的性质：
（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
推论：函数在区间 上的图象是连续的，且 ，那么函数 在区间 上至少有一个零点.
（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.
学习评价
1. 函数 的零点个数为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函数 在 上连续，且有 ．则函数 在 上（ ）.
A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定
3. 函数 的零点所在区间为（ ）.
A. B. C. D.
4. 函数 的零点为 ， 的零点为 ， 的零点为 .
5. 若函数 为定义域是R的奇函数，且 在 上有一个零点．则 的零点个数为 .
6. 已知二次方程 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2)，求 的取值范围.

外作业
1．下列函数中在区间 [1,2]上有零点的是(　　)
A．f(x)＝3x2－4x＋5　　　B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
2．函数f(x)＝lgx－9x的零点所在的大致区间是(　　)
A．(6,7) B．(7,8) C．(8,9) D．(9,10)
3．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0,2 B．0，12 C．0，－12 D．2，－12
4．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．二次函数 中， ，则函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
6．有下列四个结论：
①函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定义域是(1，＋∞)
②若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数
③函数y＝5x的值域是(0，＋∞)
④函数f(x)＝x＋2x在(－1,0)有且只有一个零点．
其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知关于x的不等式ax－1x＋1<0的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞.则a＝________.
8. 二次函数 有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数 的取值范围是 .
9. 已知函数 .
（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求 值.

10．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点是－2和3，当x∈(－2,3)时，f(x)<0，且f(－6)＝36，求二次函数的解析式．

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