一. 教学内容：平面向量、平面向量的基本运算

二. 本周教学目标：

要求：

1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2. 掌握向量的加法和减法。

3. 掌握实数与向量的积 理解两个向量共线的充要条件。

三. 本周要点：

知识点归纳：

1. 向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用 ……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： ， 。向量的大小即向量的模（长度），记作 即向量的大小，记作｜ ，其方向是任意的， ＝ ｜＝0。由于 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量 ｜＝1。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。方向相同或相反的向量，称为平行向量。记作 相等向量经过平移后总可以重合，记为 。

2. 向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设 ＋ ＝ ＝ ；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

长度相等、方向相反的向量，叫做 ＝ ＋（ ）＝（ ）＋ ；

（iii）若 、 是互为相反向量，则 ， ＝ ， 。

②向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，

记作： 求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

③作图法： 的终点的向量（ 、 有共同起点）。

4. 实数与向量的积：

①实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ） ；

（Ⅱ）当 的方向与 的方向相同；当 的方向与 的方向相反；当 时， 共线 有且只有一个实数 ，使得 ＝ ，有且只有一对实数 其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

7. 特别注意：

（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

【典型例题

例1. 给出下列命题：

①若 ，则 ；

②若B，C，ABCD为平行四边形的充要条件；

③若 ， ，则 ，

④ 的充要条件是 且 ；

⑤若 ，<0" style=' > //<1" style=' > ，则<2" style=' > //<3" style=' > ，

其中正确的序号是 。

解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。

②正确．∵ ，∴ 且 ，

又B，C，ABCD为平行四边形；反之，若四边形 且 ，

因此， 。

③正确．∵ ，∴ 的长度相等且方向相同；

又 ，∴ 的长度相等且方向相同，

∴ 的长度相等且方向相同，故 。

④不正确．当 且方向相反时，即使 ，也不能得到 ，故 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件。

⑤ 不正确．考虑 这种特殊情况．

综上所述，正确命题的序号是②③．

点评：本例主要向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与中、生活中的模型进行类比和联想．

例2. 如图所示，已知正六边形O是它的中心，若 ＝ ＝ ， ， ， 分析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量 来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可．

解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心A，B，ABCO，

所以 ，

所以 ＋ ＝ ＋A，O，ABOF，

所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋BCDO中， ＝ ＋（ ）＝ ， －A，C，E，F及 ， ， ，例3. 设B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

①

解：①原式＝

③原式＝ 例4. 设 、 为已知向量，解方程2 ＋3 -3 ＝0。

－3 ＋ ＝ ＋ 。

例5. 设非零向量 ＝k ＋k （kÎR），若 ∥

∴由向量共线的充要条件得： ＋ ＝λ（ ＋（1-λk） ＝ 、 不共线

∴由平面向量的基本定理

例6. 如图：已知在平行四边形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝ BC，设 ， 、 分别表示 、

解：∵平行四边形ABCD中，BF＋MC＝ BC，

∴FM＝ BC＝ AD＝AH ∴FM SHAPE \* MERGEFORMAT AH

∴四边形AHMF也是平行四边形，∴AF＝HM

又 ，而 ＝ ＝ - - ） ＝ ＋

例7. 求证：起点相同的三个非零向量 ，3 的终点在同一条直线上。

O， ＝ ＝ ＝3 ，

则 ＝2（ ）， ＝ ， ，

∵A，因此，B， ， －2 中，设 （ ）

A. C.

2. 化简： A. B. D. 3. 在平行四边形 中，A. B. D. 4. 给出下列3个向量等式，其中正确的个数为（ ）

（1）

（2）（3）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 若向量A. B.

C. D.

6. 下列命题中，正确的命题是（ ）

A. 且

B. 或

C. 若 则

D. 若

7. 已知 是平行四边形，O为平面上任意一点，设A. C. D.

8. 向量A. 向量 ＋ 与B. 向量 ＋ 与 的方向相同；

C. 向量 则向量 同向；

D. 向量 则向量 同向

9. 下列说法中错误的是（ ）

A. 零向量没有方向 B. 零向量与任何向量平行

C. 零向量的长度为零 D. 零向量的方向是任意的

10. 下列命题正确的是（ ）

A. 向量B. 若 ，则A、B、C、D四点构成平行四边形

C. 若 ＝

D. 两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

11. 在平行四边形ABCD中， ＋ 等于（ ）

A. C. ?ぜ/p>

12. 下列命题正确的是（ ）

A. 向量 与 平行 且 平行 ，则 。

13. 在平行四边形 中，若 。

15. 化简： 、 满足条件 ， ，则 的最大值是 ；最小值是 。

17. 等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB的中点，设 ，试用 、 。

18. 一架飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行。已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A、C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离（要求画出向量图形）。

【答案

1、B 2、C 3、B 4、C 5、C 6、D

7、B 8、D 9、A 10、A 11、A 12、A

13、矩形 14、 16、

17、 。

18、距离为 ；方向是东偏南15°（或南偏东75°）。

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