2018-2019学年湖北省宜昌市东部八年级（下）期中数学试卷
　
一、选择题（每题3分，共45分）
1．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥0
2．（3分）下列二次根式中，不能与 合并的是（　　）
A．  B．  C．  D．
3．（3分）下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A．  B．  C．  D．
4．（3分）若 ，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
5．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　）
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
6．（3分）下列命题的逆命题是正确的是（　　）
A．若a=b，则a2=b2 B．若a＞0，b＞0，则ab＞0
C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应边相等
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=（　　）
 
A．4 B．  C．  D．
8．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（　　）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
 
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
10．（3分）八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（　　）
 
A．48盆 B．49盆 C．50盆 D．.51盆
11．（3分）若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（　　）
A．13 B．  C．13或  D．13或
12．（3分）平行四边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC=2，则连接四边形ABCD四边中点所成的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
13．（3分）如图是我国古代数学家在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，给出“弦图”这位数学家是（　　）
 
A．毕达哥拉斯 B．祖冲之 C．赵爽 D．华罗庚
14．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B 1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的（　　）
 
A．  B．  C．  D．
15．（3分）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4；②如果S4＞S2，则S3＞S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1?S2=S3?S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的有（　　）
 
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
　
二、解答题（共9题，共75分）
16．（6分）计算：
（1）4 + ?                    
（2） × ÷
17．（6分）计算：
（1）（3+ ）（3? ）                 
（2）（?3）?2+ ?|1?2 |?（ ?3）0
18．（7分）先化简，再求值：（1? ）÷（a? ），其中，a=2+ ．
19．（7分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：  OE=OF．
 
20．（8分）如图，菱形ABCD的较短对角线BD为4，∠ADB=60°，E、F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°．
（1）求证：△ABE≌△DBF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
 
21．（8分）在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100 米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73，计算结果保留两位小数）
 
22．（10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　   　．
 
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm ，E是AD的中点．动点P从A点出发，沿A?B?C路线以1cm/秒的速度运动，运动的时间为t秒．将△APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M．
 
（1）如图（1），当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；
（2）如图（2），当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；
（3）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值　   　．
24．（12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
 
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC?CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
　
2018-2019学年湖北省宜昌市东部八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每题3分，共45分）
1．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥0
【解答】解：由题意得：x?2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
　
2．（3分）下列二次根式中，不能与 合并的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、 ，故A能与 合并；
B、 ，故B能与 合并；
C、 ，故C不能与 合并；
D、 ，故D能与 合并；
故选：C．
　
3．（3分）下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：因为B、 = ；
C、 =2 ；
D、 = ；
所以，这三个选项都不是最简二次根式．故选A．
　
4．（3分）若 ，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【解答】解：∵ ，
∴3?b≥0，解得b≤3．故选D．
　
5．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　）
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5
【解答】解：A、∵62+72=36+49=85；82=64，
∴62+72≠82，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
B、∵52+62=25+36=61；72=49，
∴52+62≠72，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
C、∵42+52=16+25=41；62=36，
∴42+52≠62，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
D、∵32+42=9+16=85；52=25，
∴32+42=52，
则此选项线段长能组成直角三角形；
故选：D．
　
6．（3分）下列命题的逆命题是正确的是（　　）
A．若a=b，则a2=b2 B．若a＞0，b＞0，则ab＞0
C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应边相等
【解答】解：A、逆命题为若a2=b2，则a=b，此逆命题为假命题；
B、逆命题为ab＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题；
C、逆命题为锐角三角形是等边三角形，此逆命题为假命题；
D、逆命题为对应边相等的三角形为全等三角形，此逆命题为真命题．
故选：D．
　
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=（　　）
 
A．4 B．  C．  D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，
∴BC= AB
∴AB=2BC=2×2=4，
故选：A．
　
8．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（　　）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
【解答】解：两组对角分别相等的四边形是 平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
　
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
 
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
　
10．（3分）八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（　　）
 
A．48盆 B．49盆 C．50盆 D．.51盆
【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点，49?1=48，
∴还需 要从花房运来红花48盆；
故选：A．
　
11．（3分）若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（　　）
A．13 B．  C．13或  D．13或
【解答】解：由题意得：
当所求的边是斜边时，则有  =13；
当所求的边是直角边时，则有  = ．
故选：D．
　
12．（3分）平行四边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC=2，则连接四边形ABCD四边中点所成的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=1，BC= ，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴连接矩形ABCD的四边中点所成的四边形是菱形，
故选：B．
　
13．（3分）如图是我国古代数学家在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，给出“弦图”这位数学家是（　　）
 
A．毕达哥拉斯 B．祖冲之 C．赵爽 D．华罗庚
【解答】解：我国古 代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．
故选：C．
　
14．（3分）如图， 正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部 分的面积，总等于一个正方形面积的（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：（1）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到其边OA1，OC1分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然S两个正方形重叠部分= S正方形ABCD，
（2）当正方形绕点OA1B1C1O绕点O转动到如图位置时．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四边形 A′B′C′O为正方形，
∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，
又S△AOE=S△BOF，
∴S两个正方形重叠部分=S△ABO= S正方形ABCD．
综上所知，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 ．
故选：C．
　
15．（3分）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4；②如果S4＞S2，则S3＞S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1?S2=S3?S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的有（　　）
 
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
则S1= ABh1，S2= BCh2，S3= CDh3，S4= ADh4，
∵ ABh1+ CDh3= AB•hAB，
 BCh2+ ADh4= BC•hBC，
又∵S平行四边形ABCD=AB•hAB=BC•hBC
∴S2+S4=S1+S3，故①正确；
根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能 得出S3＞S1，∴②错误；
根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；
∵S1?S2=S3?S4，
∴S1+S4=22+S3= S平行四边形ABCD，
如图所示：
 
此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC= S平行四边形ABCD，
即P点一定在对角线BD上，∴④正确；
故选：D．
　
二、解答题（共9题，共75分）
16．（6分）计算：
（1）4 + ?                    
（2） × ÷
【解答】解：（1）原式=4 +3 ?2
=5 ；
（2）原式=
=15．
　
17．（6分）计算：
（1）（3+ ）（3? ）                 
（2）（?3）?2+ ?|1?2 |?（ ?3）0
【解答】解：（1）原式=9?5
=4；
（2）原式= +2 +1?2 ?1
= ．
　
18．（7分）先化简，再求值：（1? ）÷（a? ），其中，a=2+ ．
【解答】解：原式= ÷
= ×
= ，
当a=2+ 时，原式= = ．
　
19．（7分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE=OF．
 
【解答】证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中

∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
　
20．（8分）如图，菱形ABCD的较短对角线BD为4，∠ADB=60°，E、F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°．
（1）求证：△ABE≌△DBF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
 
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠ADB=60°，
∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠A=∠BDC=60°，
∵∠ABD=∠EBF=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
 ，
∴△ABE≌△DBF．

（2）解：结论：△BEF是等边三角形．
理由：∵△ABE≌△DBF，
∴BE=BF，∵∠EBF=60°，
∴△EBF是等边三角形．
 
　
21．（8分） 在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动．具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100 米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向．已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒，请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73，计算结果保留两位小数）
 
【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°，AC=100 ，
∴CD=AC•cos∠ACD= AC=100，
∴AD=CD=100．
∵在Rt△CDB中，∠BCD=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD= CD=100 ．
∴AB=AD+BD=100+100 =100（ +1）≈273．
又∵小轿车经过AB路段用时13秒，
∴小轿车的速度为 =21米/秒．…………（5分）
而该路段限速为60千米/时≈16.67米/秒，
∵21＞16.67，
∴这辆小轿车超速了．
 
　
22．（10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　24　．
 
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，
∴EO=FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：
由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴AC= = =5，
△ACE的面积= AE×EC= ×3×4=6，
∵122+52=132，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的面积= AB•AC= ×12×5=30，
∴凹四边形ABCE的面积=△ABC的面积?△ACE的面积=30?6=24；
故答案为：24．
　
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中点．动点P从A点出发，沿A?B?C路线以1cm/秒的速度运动，运动的时间为t秒．将△APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M．
 
（1）如图（1），当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；
（2）如图（2），当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；
（3）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值　2 ?10　．
【解答】解：（1）如图1，作EF⊥BC于F，
AP=t，则PB=8?t，PM=t，EF=AB=8，
∵∠B=∠PME=∠EFM=90°，
∴△PBM∽△MFE，
∴ = ，
BM= t，
在Rt△PBM中，PB2+BM2=PM2，
（8?t）2+（ t）2=t2，
解得：t=5；
（2）由题意可知，
∠APE=∠MPE，∠AEP=∠MEP，
∵BC∥AD，
∴∠MPE=∠AEP，
∴四边形APME为菱形，
∴AP=AE=10，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=PA2，
即82+（t?8）2=102，
解得：t1=2（不合题意），t2=14；
（3）如图2，当点M在线段BE上时，BM最小，
∵AB=8，AE=10，
由勾股定理，BE=2 ，
BM=2 ?10．
 
 
　
24．（12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
 
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC?CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的 延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=9 0°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中， ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC?CD，
∴CF=BC?CD；

（2）与（1）同理可得BD=CF，
所以，CF=BC+CD；

（3）①与（1）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD?BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠A CB=45°，
则∠ABD=180°?45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中， ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=180°?45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF?∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC= DF，
∵在正方形ADEF中，OA= AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．

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