湖北省武汉市江岸区2012-2013学年八年级（下）期中数学试卷
一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在 、 、 、 、 中分式的个数有（　　）
　A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：分式的定义．.
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解：在 、 、 中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
在 、 分母中含有字母，因此是分式．
故选B．
点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．
　
2．（3分）下列关系式中，哪个等式表示y是x的反比例函数（　　）
　A． B． C． D．

考点：反比例函数的定义．.
分析：根据反比例函数定义，形如y= （k≠0），直接选取答案．
解答：解：根据反比例函数的定义， 是反比例函数．
故选D．
点评：本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义是解本题的关键．
　
3．（3分）人体中成熟红细胞的平均直径为0.0000077，用科学记数法表示为（　　）
　A．7.7×10?5B．77×10?6C．77×10_5D．7.7×10?6

考点：科学记数法—表示较小的数．.
专题：．
分析：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤a＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＜0，n=?6．
解答：解：0.000 007 7=7.7×10?6．
故选D．
点评：用科学记数法表示一个数的方法是
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
　
4．（3分）分式 有意义的条件是（　　）
　A．x≠0B．x≠2C．x≠?2且x≠0D．x≠?2

考点：分式有意义的条件．.
分析：分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
解答：解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠?2．
故选D．
点评：考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
　
5．（3分）若双曲线 过点（2，1），则其一定过下列点（　　）
　A．（1，3）B．（1，1）C．（4， ）D．（?1，2）

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：首先根据反比例函数所经过的点得到k?1的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特点确定答案．
解答：解：∵双曲线 过点（2，1），
∴k?1=2×1，
解得：k?1=2，
A、1×3=3，故图象不经过（1，3）点；
B、1×1=1，故图象不经过（1，1）点；
C、4× =2，图象一定经过（4， ）点；
D、?1×2=2，图象一不经过（?1，2）点；
故选：C．
点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
　
6．（3分）（2012•南充）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（　　）
　A． B． C． D．

考点：反比例函数的图象；反比例函数的应用．.
分析：根据矩形的面积得到y与x之间的函数关系式，根据x的范围以及函数类型即可作出判断．
解答：解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y= （x＞0）．
是反比例函数，且图象只在第一象限．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的图象，注意x的取值范围x＞0，容易出现的错误是忽视取值范围，选择B．
　
7．（3分）一旗杆离地面6处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8处，则旗杆折断前的高度为（　　）

　A．10B．12C．14D．16

考点：勾股定理的应用．.
分析：在Rt△ABC中由勾股定理可以求出AC的值，而旗杆的高度就等于AB+AC，求出其值即可．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，由勾股定理，得
AC= =10，
故旗杆的高度为：AC+AB=10+6=16．
故选D．

点评：本题考查了勾股定理在解实际问题中的运用，弄清勾股定理存在的条件是重点，解答时分析求出文字语言的含义是关键．
　
8．（3分）（2013•清远模拟）某工厂计划x天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，列方程为（　　）
　A． B． C． D．

考点：由实际问题抽象出分式方程．.
专题：．
分析：关键描述语为：“每天增加生产3件”；等量关系为：原计划的工效=实际的工效?3．
解答：解：原计划每天能生产零件 件，采用新技术后提前两天即（x?2）天完成，所以每天能生产 件，
根据相等关系可列出方程 ．故选D．
点评：找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
　
9．（3分）△ABC中，AB=13c，AC=15c，高AD=12，则BC的长为（　　）
　A．14B．4C．14或4D．以上都不对

考点：勾股定理．.
专题：分类讨论．
分析：分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD?BD．
解答：解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2?AD2=132?122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2?AD2=152?122=81，
则CD=9，
故BC的长为BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2?AD2=132?122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2?AD2=152?122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC?BD=9?5=4．
故选C．

点评：本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．
　
10．（3分）如图，若点是x轴正半轴上的任意一点，过点作PQ∥y轴，分别交函数 （x＞0）和 （x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ，则下列结论正确的个数有（　　）个．
①∠POQ不可能等于90°
②
③这两个函数的图象一定关于x轴对称
④△POQ的面积是 ．

　A．1B．2C．3D．4

考点：反比例函数综合题．.
分析：根据反比例函数的性质，xy=k，以及△POQ的面积= O•PQ分别进行判断即可得出答案．
解答：解：①．∵P点坐标不知道，当P=Q时，∠POQ可能等于90°，故错误；
②．根据图形可得：k1＞0，k2＜0，而P，Q为线段一定为正值，故 ，故错误；
③．根据k1，k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x轴对称，故错误；
④．∵k1=P•O，k2=Q•O，△POQ的面积= O•PQ= O（P+Q）= O•P+ O•Q，
∴△POQ的面积是 （k1+k2），故正确．
∴正确的只有④一个，
故选：A．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，根据反比例函数的性质得出k1=P•O，k2=Q•O是解题关键．
　
二、填一填，看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将你的答案写在横线处）
11．（3分）写出一个图象与直线y=x有两个交点的反比例函数的解析式　y= 　．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.
专题：开放型．
分析：由于y=x经过第一、三象限，所以只有写出一个分布在第一、三象限的反比例函数即可．
解答：解：∵y=x经过第一、三象限，
∴图象分布在第一、三象限的反比例函数图象与直线y=x有两个交点，
∴满足条件的反比例函数可为y= ．
故答案为y= ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
　
12．（3分）计算3a?2b•2ab?2的结果为　 　．

考点：负整数指数幂．.
分析：按照负整数指数幂的运算法则求解即可．
解答：解：原式= • = ．
故答案为： ．
点评：本题考查了负整数指数幂的运算，解答本题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则．
　
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=10，则AB的长为　 　．

考点：等腰直角三角形．.
分析：根据已知条件易推知Rt△ABC是等腰直角三角形，则AC=BC，所以根据勾股定理来求线段AB的长度即可．
解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=∠A=45°，
∴AC=BC=10，
∵AB= = =10 ．
故答案是：10 ．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理．
　
14．（3分）反比例函数y= 的图象在二、四象限，则k的取值范围是　k＜?3　．

考点：反比例函数的性质．.
分析：图象在二、四象限，则反比例系数小于0，即可求得k的范围．
解答：解：根据题意得：k+3＜0，
解得：k＜?3，
故答案是：k＜?3．
点评：本题考查了反比例函数的性质，理解性质是关键．
　
15．（3分）已知 ，则 =　 　．

考点：完全平方公式．.
分析：先把已知等式两边平方，然后把加号转变为减号，再求平方根即可．
解答：解：∵ ，
∴（ ）2=9，
∴（ ）2+4x• =9，
∴（ ）2=5，
∴ =± ，
故答案为：± ．
点评：本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式中两数和的平方与两数差的平方的关系．理解最简二次根式和平方根的定义．
　
16．（3分）（2012•日照）如图，点A在双曲线y= 上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA=4时，则△ABC周长为　 　．

考点：反比例函数综合题．.
专题：压轴题．
分析：根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组 ，解之即可求出△ABC的周长．
解答：解：设A（a，b），则OC=a，AC=b．
∵点A在双曲线y= 上，
∴b= ，即ab=6；
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=OC+AC，
则： ，
解得a+b=2 ，
即△ABC的周长=OC+AC=2 ．
故答案是：2 ．
点评：本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC，即可解决问题．
　
三、解一解，试试谁更棒（本大题共7小题，共72分）
17．（14分）（1）计算：
（2）解方程： ．

考点：解分式方程；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．.
专题：．
分析：（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用平方根的定义化简，即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：（1）解：原式=2+3+1+6=12；
（2）解：变形： ? =1，
去分母：x?5=2x?5，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
18．（8分）先化简，再求值： ，其中x=3．

考点：分式的化简求值．.
分析：首先对括号内的分式进行同分相减，然后进行运算即可．
解答：解：原式= •
= •
=2x+4，
当x=2时，原式=4+4=8．x=3时，原式=10．
点评：解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
　
19．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．

考点：勾股定理．.
分析：（1）用勾股定理求出斜边AB的长度；
（2）用面积就可以求出斜边上的高．
解答：解：（1）在Rt△ABC中
由勾股定理得：AB= =10；

（2）由面积公式得：S△ABC= AC•BC= AB•CD
∴CD=6×8÷2×2÷10=4.8．
点评：考查了勾股定理，利用勾股定理和直角三角形的面积相结合，求解斜边上的高是解直角三角形的重要题型之一，也是中考的热点．
　
20．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）画一条线段N，使N= ；
（2）画△ABC，三边长分别为3， ， ．

考点：勾股定理．.
专题：作图题；网格型．
分析：（1）因为正方形网格中的每个正方形边长都是1，根据勾股定理可得，直角边长为2和3的直角三角形的斜边长是 ；
（2）直角边长是1和2的直角三角形的斜边长是 ，直角边长是2和2的直角三角形的斜边长是 ，与长是3的线段，使它们能首尾相接，可得所求三角形．
解答：解：（1）线段N就是所求；
（2）△ABC是所求．

点评：本题考查勾股定理在图中的应用，正确确定（ ）2，（ ）2以及（ ）2分别是哪两个正整数的平方和，作出这三条线段是关键．
　
21．（10分）（2012•襄阳）如图，直线y=k1x+b与双曲线y= 相交于A（1，2）、B（，?1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞ 的解集．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.
专题：．
分析：（1）将点A（1，2）代入双曲线y= ，求出k2的值，将B（，?1）代入所得解析式求出的值，再用待定系数法求出k1和b的值，可得两函数解析式；
（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；
（3）根据A、B点的横坐标结合图象进行解答．
解答：解：（1）∵双曲线y= 经过点A（1，2），
∴k2=2，
∴双曲线的解析式为：y= ．
∵点B（，?1）在双曲线y= 上，
∴=?2，则B（?2，?1）．
由点A（1，2），B（?2，?1）在直线y=k1x+b上，
得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为：y=x+1．

（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，
又∵y3是正数，故y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．

（3）由图可知x＞1或?2＜x＜0．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出交点坐标是解题的关键一步．
　
22．（10分）（2012•南宁）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．
（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？

考点：反比例函数的应用．.
分析：（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；
（2）根据题意列出 后求解即可．
解答：解：（1）由题意知：xy=36，
故y= （ ≤x≤ ）
（2）根据题意得：
解得：x=0.3
经检验x=0.3是原方程的根．
1.5x=0.45
答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．
点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型，并利用其解决实际问题．
　
23．（12分）如图1，直线AB分别交坐标轴交于A（?1，0）、B（0，1）两点，与反比例函数 （x＞0）的图象交于点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，在y轴上取点D（0，3），点E为直线x=1上的一动点，则x轴上是否存在一点F，使D、B、F、E四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，将直线y=?x向上平移，与坐标轴分别交于点P、Q，与 （x＞0）相交于点、N，若N=5P，求直线PQ的解析式．

考点：反比例函数综合题．.
专题：综合题．
分析：（1）先利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x+1，再把点C（2，n）代入y=x+1求出n，则C点坐标为（2，3），然后利用待定系数法确定反比例函数解析式；
（2）作B点关于x轴的对称点B′，则B′（0，?1），连结CB′交直线x=1于E点，x交轴于F，根据D点与C点坐标得到点D与点C关于直线x=1对称，则ED=EC，由B点关于x轴的对称点B′得到FB=FB′，根据两点之间线段最短得到此时四边形BFED的周长为D、B、F、E四点所围成的四边形周长的最小值，然后根据两点之间的距离公式计算出CB′=2 ，从而得到最小周长=2+2 ；再待定系数法求出直线CB′的解析式为y=2x?1，则把x=1或y=0分别代入y=2x?1可得到E点和F点坐标；
（3）过点、N分别作x轴的垂线，垂足分别为点H、Q，根据平行线分线段成比例定理得到OH：HG=P：N，而N=5P，所以HG=5OH，设点坐标为（t， ），则N（6t， ），设直线PQ的解析式为y=?x+p，然后点、N点坐标代入得到关于t与p的方程组，再解方程组即可．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（?1，0）、B（0，1）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
把点C（2，n）代入y=x+1得n=2+1=3，
∴C点坐标为（2，3），
把点C（2，3）代入y= 得k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y= ；

（2）存在．
作B点关于x轴的对称点B′，则B′（0，?1），连结CB′交直线x=1于E点，x交轴于F，如图2，
∵D（0，3），C（2，3），
∴点D与点C关于直线x=1对称，
∴ED=EC，
∵B点关于x轴的对称点B′，
∴FB=FB′，
∴此时D、B、F、E四点所围成的四边形周长最小，最小值=BD+BF+FE+EC=BD+B′C=2+ =2+2 ；
设直线CB′的解析式为y=x+n，
把C（2，3）、B′（0，?1）代入 ，解得 ，
∴直线CB′的解析式为y=2x?1，
当x=1时，则y=2?1=1；当y=0时，2x?1=0，解得x= ，
∴点E坐标为（1，1），点F坐标为（ ，0）；

（3）过点、N分别作x轴的垂线，垂足分别为点H、Q，如图3，
∵OP∥H∥NG，
∴OH：HG=P：N，
而N=5P，
∴HG=5OH，
设点坐标为（t， ），则N（6t， ），
设直线PQ的解析式为y=?x+p，
∵（t， ），N（6t， ）在直线PQ上，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴直线PQ的解析式为y=?x+7．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例定理；运用两点之间线段最短解决最短路径问题；熟练运用两点间的距离公式计算线段的长．

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