河南省邓州市2012-2013学年八年级（上）期中数学试卷
一、（每小题3分，共24分）请把唯一正确答案的代号填入题后的括号内．
1．（3分）（2011•日照）（?2）2的算术平方根是（　　）
　A．2B．±2C．?2D．

考点：算术平方根；有理数的乘方．.
分析：首先求得（?2）2的值，然后由4的算术平方根为2，即可求得答案．
解答：解：∵（?2）2=4，4的算术平方根为2，
∴（?2）2的算术平方根是2．
故选A．
点评：此题考查了平方与算术平方根的定义．题目比较简单，解题要细心．
　
2．（3分）（2011•扬州）下列计算正确的是（　　）
　A．a2•a3=a6B．（a+b）（a?2b）=a2?2b2C．（ab3）2=a2b6D．5a?2a=3

考点：多项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的；幂的乘方与积的乘方．.
分析：根据同底数幂的法则：底数不变，指数相加；多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（+n）=a+an+b+bn；积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；合并同类项：只把系数相加，字母部分完全不变，一个个计算筛选，即可得到答案．
解答：解：A、a2•a3=a 2+3=a5，故此选项错误；
B、（a+b）（a?2b）=a•a?a•2b+b•a?b•2b=a2?2ab+ab?2b2=a2?ab?2b2．故此选项错误；
C、（ab3）2=a2•（b3）2=a2b6，故此选项正确；
D、5a?2a=（5?2）a=3a，故此选项错误．
故选C．
点评：本题主要考查多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项的法则，注意正确把握每一种运算的法则，不要混淆．
　
3．（3分）下列说法：
①有理数和数轴上的点一一对应；
②不带根号的数一定是有理数；
③ 大于3；
④? 是17的平方根，
其中正期的是（　　）
　A．0个B．1个C．2个D．3个

考点：实数与数轴；平方根；实数大小比较．.
分析：实数和数轴上的点能建立一一对应关系，有理数是指有限小数和无限循环小数，2＜ ＜3，17的平方根有两个 和? ，根据以上内容判断即可．
解答：解：∵实数和数轴上的点能建立一一对应关系，∴①错误；
∵如π是无理数，不是有理数，∴②错误；
∵ ＜3，∴③错误；
∵? 是17的一个平方根，∴④正确；
故选B．
点评：本题考查了实数和数轴，有理数，平方根等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
　
4．（3分）（2011•苏州）若•23=26，则等于（　　）
　A．2B．4C．6D．8

考点：同底数幂的除法．.
专题：．
分析：根据乘除法的关系，把等式变形，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减．
解答：解；=26÷23=2 6?3=23=8，
故选：D，
点评：此题主要考查了同底数幂的除法，题目比较基础，一定要记准法则才能做题．
　
5．（3分）如（x+）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则的值为（　　）
　A．?3B．3C．0D．1

考点：多项式乘多项式．.
分析：先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于的方程，求出的值．
解答：解：∵（x+）（x+3）=x2+3x+x+3=x2+（3+）x+3，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+=0，
解得=?3．
故选A．
点评：本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
　
6．（3分）直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（　　）
　A．6B．8.5C． D．

考点：勾股定理；三角形的面积．.
分析：本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解答：解：由勾股定理可得：斜边长2=52+122，
则斜边长=13，
直角三角形面积S= ×5×12= ×13×斜边的高，
可得：斜边的高= ，
故选D．
点评：本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，看清题中条件即可．
　
7．（3分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（　　）
　A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形

考点：勾股定理的逆定理．.
分析：对等式进行整理，再判断其形状．
解答：解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选C．
点评：本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
　
8．（3分）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（　　）

　A．49B．25C．13D．1

考点：勾股定理．.
分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=24．根据完全平方公式即可求解．
解答：解：∵大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是25?1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
∴（a+b）2=25+24=49．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
　
二、题（每小题3分，共21分）
9．（3分） =　?4　．

考点：立方根．.
专题：．
分析：谁的立方等于?64，谁就是?64的立方根．
解答：解：∵（?4）3=?64，
∴ =?4，
故答案为?4，
点评：本题考查了立方根的定义，属于基础题，比较简单．
　
10．（3分）计算： =　 　．

考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.
分析：根据同底数幂的乘法得出（ ）2011× ×（ ）2011÷1，根据积的乘方得出（ × ）2011× ，求出即可．
解答：解：原式=（ ）2011× ×（ ）2011÷1
=（ × ）2011×
=1×
= ，
故答案为： ．
点评：本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的应用，主要考查学生的计算能力．
　
11．（3分）已知：a+b=5，ab=1，则a2+b2=　23　．

考点：完全平方公式．.
分析：根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2?2ab，代入求出即可．
解答：解：∵a+b=5，ab=1，
∴a2+b2=（a+b）2?2ab=52?2×1=23，
故答案为：23．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2?2ab，用了整体代入思想．
　
12．（3分）（2012•张家口一模）如图，从边长为（a+4）c的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）c的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为　（6a+15）c2　．

考点：图形的剪拼．.
专题：压轴题．
分析：利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
解答：解：矩形的面积为：
（a+4）2?（a+1）2
=（a2+8a+16）?（a2+2a+1）
=a2+8a+16?a2?2a?1
=6a+15．
故答案为：（6a+15）c2，
点评：此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．
　
13．（3分）（2011•荆门）已知A=2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得x2+ x，则B+A=　2x3+x2+2x　．

考点：整式的混合运算．.
专题：计算题．
分析：根据乘除法的互逆性首先求出B，然后再计算B+A．
解答：解：∵B÷A=x2+ x，
∴B=（x2+ x）•2x=2x3+x2．
∴B+A=2x3+x2+2x，
故答案为：2x3+x2+2x，
点评：此题主要考查了整式的乘法，以及整式的加法，题目比较基础，基本计算是考试的重点．
　
14．（3分）（2009•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于　2π　．

考点：勾股定理．.
分析：根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．
解答：解：S1= πAC2，S2= πBC2，
所以S1+S2= π（AC2+BC2）= πAB2=2π．
故答案为：2π．
点评：此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
　
15．（3分）（2002•太原）将一根长24c的筷子，置于底面直径为5c，高为12c的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hc，则h的取值范围是　11≤h≤12　．

考点：勾股定理的应用．.
专题：；压轴题．
分析：观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
解答：解：首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12c，则在杯外的最大长度是24?12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC= = =13，则在杯外的最小长度是24?13=11c．
所以h的取值范围是11≤h≤12．
故答案为：11≤h≤12．

点评：注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
　
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（9分）分解因式．
（1）9a?ab2
（2）3x3?6x2y+3xy2
（3）a2（2a?3）+b2（3?2a）

考点：提公因式法与公式法的综合运用．.
分析：（1）首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先提取公因式3a，再利用完全公式分解因式得出即可；
（3）首先提取公因式（2a?3），再利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：解：（1）9a?ab2=a（9?b2）=a（3+b）（3?b）；

（2）3x3?6x2y+3xy2=3x（x2?2xy+y2）=3x（x?y）2；

（3）a2（2a?3）+b2（3?2a）
=（2a?3）（a2?b2）
=（2a?3）（a+b）（a?b）．
点评：此题主要考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题关键．
　
17．（10分）计算题
（1）
（2）运用简便方法计算：2003×99?27×11．

考点：实数的运算．.
分析：（1）先分别根据数的开方法则、绝对值的性质及有理数乘方的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据乘法分配律进行计算即可．
解答：解：（1）原式=9?3+25+ ?1?
=30；

（2）原式=2003×（100?1）?27×（10+1）
=200300?2003?270?27
=198000．
点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、绝对值的性质及有理数乘方的法则是解答此题的关键．
　
18．（10分）（1）计算[（?3x2y）2•2xy?x2•（2xy）3•3y]÷6xy
（2）先化简再求值．（2a+b）（2a?b）+b（2a+b）?4a2b÷b．其中a= ，b=2．

考点：整式的混合运算—化简求值；整式的混合运算．.
分析：（1）首先计算乘方，然后进行乘法运算，最后进行除法即可；
（2）首先利用平方差公式计算多项式的乘法，计算单项式与多项式的乘法，单项式的除法，然后合并同类项，最后代入数值计算．
解答：解：（1）原式=（9x4•2xy?x2•8x3y3•3y）÷6xy
=（18x5y?24x5y4）÷6xy
=3x4?4x4y3；

（2）原式=（4a4?b2）+2ab+b2?4a2
=2ab，
当a=? ，b=2时，原式=?2．
点评：本题考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．
　
19．（9分）（2011•益阳）观察下列算式：
①1×3?22=3?4=?1
②2×4?32=8?9=?1
③3×5?42=15?16=?1
④　4×6?52=24?25=?1　
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

考点：整式的混合运算．.
专题：规律型．
分析：（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；
（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；
（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．
解答：解：（1）第4个算式为：4×6?52=24?25=?1；（2分）
（2）答案不唯一．如n（n+2）?（n+1）2=?1；（5分）
（3）一定成立．
理由：n（n+2）?（n+1）2=n2+2n?（n2+2n+1）（7分）
=n2+2n?n2?2n?1=?1．（8分）
故n（n+2）?（n+1）2=?1成立．
故答案为：4×6?52=24?25=?1．
点评：本题是规律型题，考查了整式的混合运算的运用．关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行检验．
　
20．（8分）如图，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．

考点：勾股定理；勾股定理的逆定理．.
分析：在Rt△ABC中可得直线AC的长，进而得出△ACD也为直角三角形，可求解其面积．
解答：解：在Rt△ABC中，AC= ．
又因为52+122=132，
即AD2+AC2=CD2．
所以∠DAC=90°．
所以 =6+30=36．
点评：熟练掌握勾股定理的运用，能够运用勾股定理求解一些简单的计算问题．
　
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6c，BC=8c，若将AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

考点：翻折变换（折叠问题）．.
分析：先根据勾股定理求出AB的长，设CD=xc，则BD=（8?x）c，再由图形翻折变换的性质可知AE=AC=6c，DE=CD=xc，进而可得出BE的长，在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出x的值，即可得出CD的长．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，AC=6c，BC=8c，
∴AB= = =10（c），
∵△AED是△ACD翻折而成，
∴AE=AC=6c，∠AED=90°，
设DE=CD=xc，
∴BE=AB?AE=10?6=4（c），
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，
即（8?x）2=42+x2，
解得：x=3．
故CD的长为3c．
点评：本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
　
22．（10分）（2011•绵阳）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．

考点：一元一次不等式组的应用；三角形三边关系；勾股定理的逆定理．.
专题：．
分析：（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长．
（2）本题需先求出三边的长，再根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围．
（3）本题需先求出a的值，然后即可得出三角形的三边长．
解答：解：（1）∵第二条边长为2a+2，
∴第三条边长为30?a?（2a+2）
=28?3a．

（2）当a=7时，三边长分别为7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米，
当2a+2＞28?3a，即a＞ 时，
28?3a+a＞2a+2，
a＜ ，
则a的取值范围是； ，
当2a+2＜28?3a，即a＜ 时，
2a+2+a＞28?3a，
a＞ ，
则a的取值范围是： ．
（3）在（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6．
当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13．由52+122=132知，恰好能构成直角三角形．
当a=6时，三角形的三边长分别为6，14，10．由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形．
综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为5米，12米，13米．
点评：本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时要能根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．
　
23．（11分）（2009•鸡西）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）

考点：勾股定理的应用．.
专题：应用题；分类讨论．
分析：根据题意画出图形，构造出等腰三角形，根据等腰三角形及直角三角形的性质利用勾股定理解答．
解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6
由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32．

②如图2，当AB=BD=10时，
∵BC=6，
∴CD=10?6=4，
∴AD= = = ，
∴△ABD的周长=10+10+4 =（20+ ）．

③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x?6，由勾股定理得：AD= = =x，
解得，x=
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB= + +10= ．

点评：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．

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