2015年重庆初二数学下期末试卷(有答案和解释)

编辑: 逍遥路 关键词: 八年级 来源: 高中学习网


2014-2015学年重庆市第一中学八年级(下)期末数学试卷
 
一.细心选一选:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在表格中.
1.在分式中,x的取值范围是(  )
  A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1
 
2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是(  )
  A.  B.  C.  D.
 
3.已知α、β是一元二次方程x2?2x?3=0的两个根,则α+β的值是(  )
  A. 2 B. ?2 C. 3 D. ?3
 
4.如图,反比例函数y=的图象过点A,过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2,则k的值为(  )

  A. 4 B. 2 C. 1 D.
 
5.如图所示,▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是CD中点,连接OE,若OE=3cm,则AD的长为(  )

  A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm
 
6.方程x2+6x?5=0的左边配成完全平方后所得方程为(  )
  A. (x+3)2=14 B. (x?3)2=14 C.  D. (x+3)2=4
 
7.一个多边形的每个内角都是108°,那么这个多边形是(  )
  A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
 
8.分式方程的解是(  )
  A. x=?5 B. x=5 C. x=?3 D. x=3
 
9.如图,菱形ABCD中,已知∠D=110°,则∠BAC的度数为(  )

  A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
 
10.若关于x的一元二次方程kx2?6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围(  )
  A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1
 
11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为1的正方形有9个,第(2)个图形中面积为1的正方形有14个,…,按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为(  )

  A. 72 B. 64 C. 54 D. 50
 
12.已知四边形OABC是矩形,边OA在x轴上,边OC在y轴上,双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E,若△OBD的面积为10,则k的值是(  )

  A. 10 B. 5 C.  D.
 
 
二、耐心填一填(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.
13.分解因式:2m2?2=      .
 
14.若分式的值为零,则x=      .
 
15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120°,则对角线AC的长度为      .

 
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根,则m的值是      .
 
17.由于天气炎热,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“蚊虫叮咬”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分),当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在      分钟内,师生不能呆在教室.

 
18.如图,在正方形ABCD中,AB=2,将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45),得到∠B′AD′,其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E,射线AD′与对角线BD交于点F,连接CF,并延长交AD于点M,当满足S四边形AEBF=S△CDM时,线段BE的长度为      .

 
 
三.解答题(本大题共4个小题,19题10分,20题8分,21题8分,22题8分,共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19.解方程:
(1)x2?6x?2=0      
(2)=+1.
 
20.如图,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F,连接BD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB,求证:四边形DFBE是矩形.

 
21.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(?,0),且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(?2,1)和点B.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标,并根据图象回答:当x在什么范围内取值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?

 
22.童装店在服装销售中发现:进货价每件60元,销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”,童装店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,
(1)降价前,童装店每天的利润是多少元?
(2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元,同时又要使顾客得到更多的实惠,那么每件童装应降价多少元?
 
 
四、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
23.先化简,再求值:(?)÷(?1),其中a是方程a2?4a+2=0的解.
 
24.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1?x2|≥|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|;
若|x1?x2|<|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|.
例如:点P1(1,2),点P1(3,5),因为|1?3|<|2?5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2?5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).
(1)已知点A(?),B为y轴上的一个动点,①若点A与点B的“非常距离”为2,写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)如图2,已知C是直线上的一个动点,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”最小时,相应的点C的坐标.

 
 
五.解答题(本大题共2个小题,25题12分,26题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
25.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

 
26.如图,已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点,且点A的横坐标为1.

(1)求k的值;
(2)如图1,双曲线y=(x>0)上一点M,若S△AOM=4,求点M的坐标;
(3)如图2所示,若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3,1),点P是直线y=x上一动点,点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点,是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
 
 

2014-2015学年重庆市第一中学八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一.细心选一选:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在表格中.
1.在分式中,x的取值范围是(  )
  A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1

考点: 分式有意义的条件.
分析: 根据分式有意义,分母不等于0列式计算即可得解.
解答: 解:由题意得,x?1≠0,
解得x≠1.
故选A.
点评: 本题考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念:
(1)分式无意义⇔分母为零;
(2)分式有意义⇔分母不为零;
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.
 
2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是(  )
  A.  B.  C.  D.

考点: 轴对称图形.
分析: 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.
解答: 解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,故本选项正确;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选;B.
点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
 
3.已知α、β是一元二次方程x2?2x?3=0的两个根,则α+β的值是(  )
  A. 2 B. ?2 C. 3 D. ?3

考点: 根与系数的关系.
分析: 根据根与系数的关系得到α+β=?=2,即可得出答案.
解答: 解:∵α、β是一元二次方程x2?2x?3=0的两个根,
∴α+β=?=2;
故选A.
点评: 本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=?,x1x2=.
 
4.如图,反比例函数y=的图象过点A,过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2,则k的值为(  )

  A. 4 B. 2 C. 1 D.

考点: 反比例函数系数k的几何意义.
分析: 设点A的坐标为(x,y),用x、y表示OB、AB的长,根据矩形ABOC的面积为2,列出算式求出k的值.
解答: 解:设点A的坐标为(x,y),
则OB=x,AB=y,
∵矩形ABOC的面积为2,
∴k=xy=2,
故选:B.
点评: 本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.
 
5.如图所示,▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是CD中点,连接OE,若OE=3cm,则AD的长为(  )

  A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm

考点: 三角形中位线定理;平行四边形的性质.
分析: 由平行四边形的性质,易证OE是中位线,根据中位线定理求解.
解答: 解:根据平行四边形基本性质:平行四边形的对角线互相平分.可知点O是BD中点,所以OE是△BCD的中位线.
根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6(cm).
故选B.
点评: 主要考查了平行四边形的基本性质和中位线性质,并利用性质解题.平行四边形基本性质:①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.
 
6.方程x2+6x?5=0的左边配成完全平方后所得方程为(  )
  A. (x+3)2=14 B. (x?3)2=14 C.  D. (x+3)2=4

考点: 解一元二次方程-配方法.
专题: 配方法.
分析: 配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
解答: 解:由原方程移项,得
x2+6x=5,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方,即32,得
x2+6x+9=5+9,
∴(x+3)2=14.
故选A.
点评: 此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
 
7.一个多边形的每个内角都是108°,那么这个多边形是(  )
  A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

考点: 多边形内角与外角.
分析: 利用多边形的内角和=180(n?2)可得.
解答: 解:108=180(n?2)÷n
解得n=5.
故选A.
点评: 本题主要考查了多边形的内角和定理.
 
8.分式方程的解是(  )
  A. x=?5 B. x=5 C. x=?3 D. x=3

考点: 解分式方程.
专题: 计算题.
分析: 观察可得最简公分母是(x+1)(x?1),方程两边乘以最简公分母,可以把分式方程化为整式方程,再求解.
解答: 解:方程两边同乘以(x+1)(x?1),
得3(x+1)=2(x?1),
解得x=?5.
经检验:x=?5是原方程的解.
故选A.
点评: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
 
9.如图,菱形ABCD中,已知∠D=110°,则∠BAC的度数为(  )

  A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

考点: 菱形的性质.
专题: 计算题.
分析: 先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD=70°,然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解.
解答: 解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD∥AB,
∴∠BAD=180°?∠D=180°?110°=70°,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠BAD=35°.
故选B.
点评: 本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
 
10.若关于x的一元二次方程kx2?6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围(  )
  A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1

考点: 根的判别式;一元二次方程的定义.
专题: 计算题.
分析: 根据根的判别式和一元二次方程的定义,令△>0且二次项系数不为0即可.
解答: 解:∵关于x的一元二次方程kx2?6x+9=0有两个不相等的实数根,
∴△>0,
即(?6)2?4×9k>0,
解得,k<1,
∵为一元二次方程,
∴k≠0,
∴k<1且k≠0.
故选A.
点评: 本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义,要知道:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
 
11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为1的正方形有9个,第(2)个图形中面积为1的正方形有14个,…,按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为(  )

  A. 72 B. 64 C. 54 D. 50

考点: 规律型:图形的变化类.
分析: 由第1个图形有9个边长为1的小正方形,第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形,第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形,…由此得出第n个图形有9+5×(n?1)=5n+4个边长为1的小正方形,由此求得答案即可.
解答: 解:第1个图形边长为1的小正方形有9个,
第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个,
第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个,

第n个图形边长为1的小正方形有9+5×(n?1)=5n+4个,
所以第10个图形中边长为1的小正方形的个数为5×10+4=54个.
故选:C.
点评: 此题考查图形的变化规律,找出图形与数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
 
12.已知四边形OABC是矩形,边OA在x轴上,边OC在y轴上,双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E,若△OBD的面积为10,则k的值是(  )

  A. 10 B. 5 C.  D.

考点: 反比例函数系数k的几何意义.
分析: 设双曲线的解析式为:y=,E点的坐标是(x,y),根据E是OB的中点,得到B点的坐标,求出点E的坐标,根据三角形的面积公式求出k.
解答: 解:设双曲线的解析式为:y=,E点的坐标是(x,y),
∵E是OB的中点,
∴B点的坐标是(2x,2y),
则D点的坐标是(,2y),
∵△OBD的面积为10,
∴×(2x?)×2y=10,
解得,k=,
故选:D.
点评: 本题考查反比例系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.
 
二、耐心填一填(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.
13.分解因式:2m2?2= 2(m+1)(m?1) .

考点: 提公因式法与公式法的综合运用.
专题: 压轴题.
分析: 先提取公因式2,再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式.
解答: 解:2m2?2,
=2(m2?1),
=2(m+1)(m?1).
故答案为:2(m+1)(m?1).
点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解.
 
14.若分式的值为零,则x= ?3 .

考点: 分式的值为零的条件.
专题: 计算题.
分析: 分式的值为零,分子等于0,分母不为0.
解答: 解:根据题意,得
|x|?3=0且x?3≠0,
解得,x=?3.
故答案是:?3.
点评: 本题考查了分式的值为0的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
 
15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120°,则对角线AC的长度为 8 .


考点: 矩形的性质;含30度角的直角三角形.
分析: 由矩形的性质得出OA=OB,再证明△AOB是等边三角形,得出OA=OB=AB=4,得出AC=2OA即可.
解答: 解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=AC,OB=BD,AC=BD,
∴OA=OB,
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=4,
∴AC=2OA=8;
故答案为:8.
点评: 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.
 
16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根,则m的值是 ?3 .

考点: 一元二次方程的解.
分析: 将x=2代入方程即可得到一个关于m的方程,解方程即可求出m值.
解答: 解:把x=2代入方程可得:4+2m+2=0,
解得m=?3.
故答案为?3.
点评: 本题主要考查了方程的解的定义,把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.
 
17.由于天气炎热,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“蚊虫叮咬”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分),当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在 75 分钟内,师生不能呆在教室.


考点: 反比例函数的应用.
分析: 首先根据题意,药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例;药物释放完毕后,y与x成反比例,将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式;进一步求解可得答案.
解答: 解:设反比例函数解析式为y=(k≠0),
将(25,6)代入解析式得,k=25×6=150,
则函数解析式为y=(x≥15),
当y=2时,=2,
解得x=75.
答:从消毒开始,师生至少在75分钟内不能进入教室.
点评: 本题考查了反比例函数的应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.
 
18.如图,在正方形ABCD中,AB=2,将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45),得到∠B′AD′,其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E,射线AD′与对角线BD交于点F,连接CF,并延长交AD于点M,当满足S四边形AEBF=S△CDM时,线段BE的长度为 2?2 .


考点: 旋转的性质;正方形的性质.
分析: 先根据旋转的性质得∠EAB=∠FAD=α,再根据正方形的性质得AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,则利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°,于是可根据“ASA”判定△ABE≌△ADF,得到S△ABE=S△ADF,所以S四边形AEBF=S△ABD=4,则S△CDM=2,利用三角形面积公式可计算出DM=2,延长AB到M′使BM′=DM=2,如图,接着根据勾股定理计算出CM=2,再通过证明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2,∠BCM′=∠DCM,然后证∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2,则BN=M′C?BM′=2?2.
解答: 解:∵∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45°),得到∠B′AD′,
∴∠EAB=∠FAD=α,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,∵BE⊥BD,
∴∠EBD=90°,
∴∠EBA=45°,
∴∠EBA=∠FDA,
在△ABE和△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴S△ABE=S△ADF,
∴S四边形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4,
∵S四边形AEBF=S△CDM,
∴S△CDM==2,
∴DM•2=2,解得DM=2,
延长AB到M′使BM′=DM=2,如图,
在Rt△CDM中,CM==2,
在△BCM′和△DCM中

∴△BCM≌△DCM(SAS),
∴CM′=CM=2,∠BCM′=∠DCM,
∵AB∥CD,
∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM,
而NC平分∠BCM,
∴∠NCM=∠BCN,
∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN,
∴M′N=M′C=2,
∴BN=M′C?BM′=2?2.
故答案为:2?2.

点评: 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.
 
三.解答题(本大题共4个小题,19题10分,20题8分,21题8分,22题8分,共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19.解方程:
(1)x2?6x?2=0      
(2)=+1.

考点: 解一元二次方程-配方法;解分式方程.
分析: (1)移项,配方,再开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(2)先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解,再进行检验即可.
解答: 解:(1)x2?6x?2=0,
x2?6x=2,
x2?6x+9=2+9,
(x?3)2=11,
x?3=,
x1=3+,x2=3?;

(2)方程两边都乘以x?2得:1?x=?1+x?2,
解这个方程得:x=2,
检验:当x=2时,x?2=0,
所以x=2不是原方程的解,
所以原方程无解.
点评: 本题考查了解一元二次方程,解分式方程的应用,解(1)小题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程,解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程.
 
20.如图,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F,连接BD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AB=DB,求证:四边形DFBE是矩形.


考点: 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
专题: 证明题.
分析: (1)根据平行四边形性质得出AB=CD,∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF,根据ASA推出全等即可;
(2)根据全等得出AE=CF,根据平行四边形性质得出AD∥BC,AD=BC,推出DE∥BF,DE=BF,得出四边形DFBE是平行四边形,根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°,根据矩形的判定推出即可.
解答: 证明:(1)在□ABCD中,AB=CD,∠A=∠C.
∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,
∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF.
∵在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(ASA).

(2)∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴DE∥BF,DE=BF,
∴四边形DFBE是平行四边形,
∵AB=DB,BE平分∠ABD,
∴BE⊥AD,即∠DEB=90°.
∴平行四边形DFBE是矩形.
点评: 本题考查了平行线的性质,平行四边形的性质和判定,矩形的判定,全等三角形的性质和判定,角平分线定义等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.
 
21.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(?,0),且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(?2,1)和点B.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求点B的坐标,并根据图象回答:当x在什么范围内取值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?


考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
专题: 数形结合;待定系数法.
分析: (1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据二元一次方程组,可得函数图象的交点,根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方,可得答案.
解答: 解:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(?,0)和A(?2,1),
∴,解得,
∴一次函数的解析式为y=?2x?3,
反比例函数y=(m≠0)的图象过点A(?2,1),
∴,解得m=?2,
∴反比例函数的解析式为y=?;

(2),
解得,或,
∴B(,?4)
由图象可知,当?2<x<0或x>时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.
点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法是求函数解析式的关键.
 
22.童装店在服装销售中发现:进货价每件60元,销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”,童装店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,
(1)降价前,童装店每天的利润是多少元?
(2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元,同时又要使顾客得到更多的实惠,那么每件童装应降价多少元?

考点: 一元二次方程的应用.
专题: 销售问题.
分析: (1)用降价前每件利润×销售量列式计算即可;
(2)设每件童装降价x元,利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可.
解答: 解:(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利:
(100?60)×20=800(元);

(2)设每件童装降价x元,根据题意,得
(100?60?x)(20+2x)=1200,
解得:x1=10,x2=20.
∵要使顾客得到更多的实惠,
∴取x=20.
答:童装店应该降价20元.
点评: 此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用,此题找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
 
四、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
23.先化简,再求值:(?)÷(?1),其中a是方程a2?4a+2=0的解.

考点: 分式的化简求值;一元二次方程的解.
专题: 计算题.
分析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把已知等式变形后代入计算即可求出值.
解答: 解:原式=[?]÷=•=,
由a2?4a+2=0,得a2?4a=?2,
则原式=.
点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
 
24.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1?x2|≥|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|;
若|x1?x2|<|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1?y2|.
例如:点P1(1,2),点P1(3,5),因为|1?3|<|2?5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2?5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).
(1)已知点A(?),B为y轴上的一个动点,①若点A与点B的“非常距离”为2,写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)如图2,已知C是直线上的一个动点,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”最小时,相应的点C的坐标.


考点: 一次函数综合题.
分析: (1)①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的定义可以确定|0?y|=2,据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0,y),根据|??0|≥|0?y|,得出点A与点B的“非常距离”最小值为|??0|,即可得出答案;
(2)设点C的坐标为(x0,x0+3).根据材料“若|x1?x2|≥|y1?y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为?x0=x0+2,据此可以求得点C的坐标;
解答: 解:(1)①∵B为y轴上的一个动点,
∴设点B的坐标为(0,y).
∵|??0|=≠2,
∴|0?y|=2,
解得,y=2或y=?2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,?2);
②设点B的坐标为(0,y).
∵|??0|≥|0?y|,
∴点A与点B的“非常距离”最小值为|??0|=;


(2)如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,需要根据运算定义“若|x1?x2|≥|y1?y2|,
则点P1与点P2的“非常距离”为|x1?x2|”解答,此时|x1?x2|=|y1?y2|.
即AC=AD,
∵C是直线y=x+3上的一个动点,点D的坐标是(0,1),
∴设点C的坐标为(x0,x0+3),
∴?x0=x0+2,
此时,x0=?,
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:|x0|=,
此时C(?,).

点评: 本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.
 
五.解答题(本大题共2个小题,25题12分,26题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
25.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.


考点: 四边形综合题.
分析: (1)根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2,求出△ABC的面积;
(2)作EG∥BC交AB于G,证明△BGE≌△ECF,得到BE=EF;
(3)作EH∥BC交AB的延长线于H,证明△BHE≌△ECF,得到BE=EF.
解答: 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,又E是线段AC的中点,
∴BE⊥AC,AE=AB=1,
∴BE=,
∴△ABC的面积=×AC×BE=;
(2)如图2,作EG∥BC交AB于G,
∵△ABC是等边三角形,
∴△AGE是等边三角形,
∴BG=CE,
∵EG∥BC,∠ABC=60°,
∴∠BGE=120°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ECF=120°,
∴∠BGE=∠ECF,
在△BGE和△ECF中,

∴△BGE≌△ECF,
∴EB=EF;
(3)成立,
如图3,作EH∥BC交AB的延长线于H,
∵△ABC是等边三角形,
∴△AHE是等边三角形,
∴BH=CE,
在△BHE和△ECF中,

∴△BHE≌△ECF,
∴EB=EF.


点评: 本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质,正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键.
 
26.如图,已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点,且点A的横坐标为1.

(1)求k的值;
(2)如图1,双曲线y=(x>0)上一点M,若S△AOM=4,求点M的坐标;
(3)如图2所示,若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3,1),点P是直线y=x上一动点,点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点,是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 反比例函数综合题.
分析: (1)点A是直线y=2x+1的点,点A的横坐标为1,代入y=2×1+1=3,求得点A即可得到结果;
(2)如图1,设点M(m,),过A作AE⊥x轴于E,过M作MF⊥x轴于F,根据题意得:S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m?1)=4,解方程即可得到结果;
(3)首先求得反比例函数的解析式,然后设P(m,m),分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标.
解答: 解:(1)∵点A是直线y=2x+1的点,点A的横坐标为1,
∴y=2×1+1=3,
∴A(1,3),
∵点A是反比例函数y=(x>0)图象上的点,
∴k=3;

(2)如图1,设点M(m,),过A作AE⊥x轴于E,过M作MF⊥x轴于F,
根据题意得:S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m?1)=4,
解得:m=3(负值舍去),
∴M(3,1);

(3)∵反比例函数y=(x>0)图象经过点A(1,3),
∴k=1×3=3,
∴反比例函数的解析式为y=,
∵点P在直线y=x上,
∴设P(m,m)
,若PQ为平行四边形的边,
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2,点A的纵坐标比点B的纵坐标大2,
∴点Q在点P的下方,则点Q的坐标为(m+2,m?2)如图2,
若点Q在点P的上方,则点Q的坐标为(m?2,m+2)如图3,
把Q(m+2,m?2)代入反比例函数的解析式得:m=±,
∵m>0,
∴m=,
∴Q1(+2,?2),
同理可得另一点Q2(?2,+2);
②若PQ为平行四边形的对角线,如图4,
∵A、B关于y=x对称,
∴OP⊥AB
此时点Q在直线y=x上,且为直线y=x与双曲线y=的交点,

解得,(舍去)
∴Q3(,)
综上所述,满足条件的点Q有三个,坐标分别为:Q1(+2,?2),Q2(?2,+2),Q3(,).

 


点评: 本题考查了反比例函数的性质,待定系数法求函数的解析式,平行四边形的判定和性质,准确的画出图形是解题的关键.
 


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