数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．
从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．
由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：
1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数 的形式，这里 、 是互质的整数，且 ．
2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．
例题求解
【例1】若a、b满足 3=7，则S＝ 的取值范围是 ．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 运用 、 的非负性，建立关于S的不等式组．
注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．
【例2】 设 是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个( )
A．小于0的 有理数 B．大于0的有理数 C．小于0的无理数 D．大于0的无理数
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．
【例3】已知a 、b是有理数，且 ，求a、b的值．
思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运 用实数的性质建立关于a、b的方程组．
【例4】(1) 已知a、b为有理数，x，y分别表示 的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值． (南昌市竞赛题)
(2)设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)
思路点拨 (1)运用估算的方法，先确 定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)运用的性质，简化方程．
注： 设x为一实数，则表示不大于x的最大整数，]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：
(1)x－1<≤x (2)若y< x，则≤ (3)若x为实数，a为整数，则= + a．
【例5】 已知在等式 中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：
(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；
(2) 当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数．
( “希望杯” 邀请赛试题)
思路点拨 (1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：
设a 是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a ≠0，则a r也是无理数；③
r的倒数 也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进 行详细讨论．
注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．
学力训练
1．已知x、y是实数， ，若 ，则a= ．
(2002年个数的平方根是 和 ，那么这个数是 ．
3．方程 的解是 ．
4．请你观察思考下列计算过 程：∵112＝121，∴ ；同样∵1112=12321，∴ ；…由此猜想 ．
(济南市中考题)
5．如图，数轴上表示1、 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )
A． B． C． D．
(江西省中考题)
6．已知x是实数， 则 的值是( )
A． B． C． D．无法确定的
( “希望杯”邀请赛试题)
7．代数式 的最小值是( )
A．0 B． C．1 D．不存在的
( “希望杯”邀请赛试题)
8．若实数a、b满足 ，求2b+a－1的值．
(山西省中考题)
9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
， ； ， ； ， ；…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值． (烟台市中考题)
10．已知实数 a、b、c满足 ，则a(b+c)= ．
11．设x、y都是有理数，且满足方程 ，那么x－y的值是 ．
( “希望杯’邀请赛试题)
12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b= ．
(四川省竞赛题)
13．已知正数a、b有下列命题：
①若a=1，b＝1，则 ； ②若 ，则 ；
③若a＝2，b=3，则 ； ④若a=1，b=5，则 ．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则 ．
(黄 冈市竞赛题)
14．已知： ，那么代数式 的值为( )
A． B． C． D．
(重庆市竞赛题)
15．设表示最接近x的整数(x≠n+0.5，n为整数) ， 则+++…+的值为( )
A．5151 B．5150 C．5050 D．5049
( “五羊杯”邀请赛试题)
16．设a
(全国初中数学竞赛题)
17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证： 为有理数．
18．某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量．
(安徽省中考题)．
19．阅读下面，并解答下列问题：
在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果ab=N (a>0，a≠1，N>0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN．
例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3= ，所以log2 =－3．
(1)根据定义计算:
①log3 81= ；②log33= ；③log3l= ；④如果logx 16=4，那么x= ．
(2)设ax=M，ay＝N，则logaM=x；logaN＝y(a>0，a≠1，N>0，M，N均为正数)．
用logAM，logAN的代数式分别表示logaMN及loga ，并说明理由．
(泰州市中考题)
20．设 ，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：
(1)当bc=ad时，y是有理数；
(2)当bc≠ad时，y是无理数．
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