1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
2．相似三角形周长之比等于相似比；
3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．
以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．
例题求解
【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC(AD
思路点拨 只需求 的值，而题设条件与面积相关，应求出 的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系．
注 相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用．
人类第一次运用相 似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确
性．使具有不 可动摇的说明力．
【例2】如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点 F，则S△DEF：S△EBF ：S△ABF=( )
A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25
(黑龙江省中考题)
思路点拨 运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比．
【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3?，试设计一种 方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．
思路点拨 要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．
注 本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方 案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．
【例4】 如图．在△ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与△ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形 、 、 的面积分别为4、9和49，求△ABC的面积．
(美国数学邀请赛试题)
思路点拔 图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．
【例5】 如图，△ABC中．D、E分别是边 BC、AB上的点，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是 、m1、m2，证明： ．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同?线段比的代数式，通过代数变形证明．
注 例4还隐舍着下列重要结论：
(1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；
(2) ；
(3) ．
学力训练
1．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，则AD：DB= ．
2．如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的 位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC= ，则正方形移动的距离AA'是 ． (江西省中考题)
3．若正方形的4个顶点分别 在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为 ． (武汉市中考题)
4．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a：b，设S甲：S乙分别表示这两个正方体的表面积，则 ，又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则 ．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体
(2)请 归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于 ；
②相似体表面积的比等于 ；
③相似体体积的比等于 ． (江苏省泰州市中考题)
5．如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=b?，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b于( )
A． ：1 B．1： C． ：1 D．1： (2004年南京市中考题)
6．如图，D为△ABC的边AC上的一点，∠DBC=∠A，已知BC= ，△BCD与△ABC的面积的比是2：3，则CD的长是( )
A． B． C． D．
7．如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且 ，AE=BE，则有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
(2001年 杭州市中考题)
8．如图，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB=1：2：3，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于( )
A．1：9：36 B．l：4：9 C．1：8：27 D．1：8：36
9．如图 ，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD=∠B，求证： ．
10．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF的长． (2003年长沙市中考题)
11．如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出PQ的长． (厦门市中考题)
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝ ，BC=2，在BC上有100个不同的点Pl、P2、…P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2…P100E100F100G100，设每个内接矩形的周长分别为L1、L2，…L100，则L1+L2+…+L100= ． (安徽省竞赛题)
13．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为 ．
14．如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是 厘米2．
( “希望杯”邀请赛试题)
15．如图，正方形ABCD中，AE＝EF=FB，BG= 2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是( )
A．AG⊥FD B．AQ：QG＝6，7
C．EP ：PD=2 ： 11 D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF=17：9 (2002年重庆市竞赛题)
16．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于( )
A．2 B． C． D．
17．如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的边长是( )
A． B． C．2 D．3
18．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为 a、b、c，且a＞b＞c d，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?
19．如图，△PQR和△P′Q′R′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形的边长为AB= a1，BC =b1，CD= a2，DE= b2，EF= a3，FA =b3 ．求证 ：a1 +a2 +a3= b1+ b2 +b3．
20．如图，在△ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE∥BC交AC于E，连结CD，设S△ABC= S，S△DEC=S1．
(1)当D为AB中点时，求 的值；
(2)若AD= x， ，求 与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
(3)是否存在点D，使得 成立?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．
(福州市中考题)
21．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．
①在图甲中，证明：PC=PD；
②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG= PD，求△POD与△PDG的面积之比．
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