2012-2013学年吉林省辽源市东丰县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、（每题3分，共30分）
1．（3分）已知分式 有意义，则a的取值范围是（　　）
　A．a=0B．a≠0，b=0C．a≠0D．a≠0且b≠0

考点：分式有意义的条件．
分析：根据分式有意义的条件可得a≠0．
解答：解：根据题意的：a≠0，
故选：C．
点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，则分母≠0．
　
2．（3分）（2005•宁夏）体育课上，八年级（1）班两个组各10人参加立定跳远，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组立定跳远成绩的（　　）
　A．平均数B．方差C．众数D．中位数

考点：方差．
专题：．
分析：根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组立定跳远成绩的方差．
解答：解：由于方差反映的是一组数据的稳定程度，故要判断哪一组成绩比较整齐应需要知道方差．
故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
　
3．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
　A．对边相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等

考点：矩形的性质；平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：矩形相对于平行四边形的一个特性为：对角线相等．
解答：解：矩形对角线互相平分且相等，故A和B，C，都不对．
故选D．
点评：要熟悉特殊平行四边形的性质．
　
4．（3分）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
　A．y=2x?1B． C． D．y=

考点：反比例函数的定义．
分析：根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y= （k≠0），可以判定函数的类型．
解答：解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、是正比例函数，故此选项错误；
C、不是反比例函数，故此选项错误；
D、是反比例函数，故此选项正确．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的形式为y= （k为常数，k≠0）或y=kx?1（k为常数，k≠0）．
　
5．（3分）在下列各组线段中，三条线段首尾相连能构成直角三角形的是（单位：c）（　　）
　A．0.6，0.8，1B．5，5，7C．3，6，9D． ， ，

考点：勾股定理的逆定理．
分析：判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答：解：A、因为0.62+0.82=12，所以能组成直角三角形；
B、因为52+52≠72，所以不能组成直角三角形；
C、因为32+62≠92，所以不能组成直角三角形；
D、因为（ ）2+（ ）2=（ ）2，所以不能组成直角三角形．
故选A．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
　
6．（3分）如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点，N，如果测得N=20，那么A，B两点间的距离是多少？（　　）

　A．20B．30C．40D．50

考点：三角形中位线定理．
分析：根据三角形中位线定理知AB=2N．
解答：解：如图，∵AC和BC的中点是，N，
∴N是△ABC的中位线，
∴AB=2N=40．即A、B两点间的距离是40．
故选C．
点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
　
7．（3分）下列运算正确的是（　　）
　A．x2•x3=x6B．（x+1）2=x2+1C． D．（?x）2÷x=x

考点：完全平方公式；同底数幂的；同底数幂的除法；负整数指数幂．
专题：．
分析：根据同底数幂的法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据同底数幂的除法对D进行判断．
解答：解：A、x2•x3=x5，所以A选项错误；
B、（x+1）2=x2+2x+1，所以B选项错误；
C、2x?2= ，所以C选项错误；
D、（?x）2÷x=x2÷x=x，所以D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及负整数指数．
　
8．（3分）（2012•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）

　A．53°B．37°C．47°D．123°

考点：平行四边形的性质．
分析：设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出∠BCE的度数．
解答：解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°?53°=37°，
∴∠DFC=37
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
故选B．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质和对顶角相等，根据题意得出∠E=90°和的对顶角相等是解决问题的关键．
　
9．（3分）在同一坐标系中，一次函数y=kx?k和反比例函数y= 的图象大致位置可能是下图中的（　　）
　A． B． C． D．

考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：先根据四个选项的共同点确定k的符号，再根据各函数图象的性质确定图象所在的象限即可．
解答：解：由图可知四个选项中正比例函数得图象均为?k＞0，故k＜0，
一次函数y=kx?k为减函数，则反比例函数y= 中2k＜0，其图象过二、四象限．
故选C．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
　
10．（3分）（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）

　A．3B．3.5C．2.5D．2.8

考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．
专题：．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD?AE=4?x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即x2=22+（4?x）2，
解得x=2.5，
即CE的长为2.5．
故选C．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
　
二、题（每题3分，共24分）
11．（3分）计算： + =　5　．

考点：负整数指数幂；零指数幂．
分析：根据有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数计算即可得解．
解答：解：原式=1+ =1+4=5
故答案为：5
点评：本题考查了负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质．任何非零实数的0次幂等于1．
　
12．（3分）（2007•陕西）在△ABC的三个顶点A（2，?3），B（?4，?5），C（?3，2）中，可能在反比例函数y= （k＞0）的图象上的点是
　B　．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：根据k=xy对A（2，?3），B（?4，?5），C（?3，2）三点逐一验证即可．
解答：解：根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积等于函数的系数k可知，
因为k＞0，所以可能在图象上的点只有B．
故答案为：B．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，即图象上任意一点的横纵坐标之积为k．
　
13．（3分）（2009•遂宁）如图，已知△ABC中，AB=5c，BC=12c，AC=13c，那么AC边上的中线BD的长为　 　c．

考点：勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解．
解答：解：∵AB=5c，BC=12c，AC=13c，由勾股定理的逆定理得，△ABC是直角三角形，
∴BD= AC= c．
点评：解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半之后此题就不难了．
　
14．（3分）已知某一组数据x1，x2，x3，…，x20，其中样本方差S2= [（x1?5）2+（x2?5）2+…+（x20?5）2]，则这20个数据的总和是　100　．

考点：方差；算术平均数．
分析：先根据方差的计算公式：s2= [（x1? ）2+（x2? ）2+…+（xn? ）2]，其中n是样本容量， 表示平均数，得出本题中20个数据的平均数为5，再根据平均数的定义求解．
解答：解：∵一组数据x1，x2，x3，…，x20，其中样本方差S2= [（x1?5）2+（x2?5）2+…+（x20?5）2]，
∴这20个数据的平均数为5，
∴这20个数据的总和是5×20=100．
故答案为100．
点评：本题考查方差及平均数的意义，一般地，设n个数据，x1、x2、…xn的平均数为 ，则方差s2= [（x1? ）2+（x2? ）2+…+（xn? ）2]，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
　
15．（3分）从一般到特殊是一种重要的数学思想，右图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“？”处的图形名称是　正方形　．

考点：正方形的性质．
专题：图表型．
分析：首先观察图形，知道四边相等的长方形是正方形．
解答：解：由图形观察可知，四边相等的长方形是正方形．
故答案为正方形
点评：本题主要考查正方形的性质，此题新颖而不难．
　
16．（3分）（2009•绥化）若关于x的方程 无解，则=　?2　．

考点：分式方程的解．
专题：计算题．
分析：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
解答：解：去分母得，2=x?3?
解得，x=5+
当分母x?3=0即x=3时方程无解
∴5+=3即=?2时方程无解．则=?2．
点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘．
　
17．（3分）已知反比例函数y=? 的图象上有点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，则y1，y2，y3大小关系是　y3＞y1＞y2　．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＞x2＞0＞x3，即可判断出y1，y2，y3的大小．
解答：解：∵反比例函数y=? 中k=?（a2+1）＜0，
∴此函数图象的两个分支在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞0，
∴A、B两点在第二象限，
∴0＞y1＞y2，
∵x3＜0，∴点C在第二象限，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2．
故答案为：y3＞y1＞y2．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
　
18．（3分）如图，将两张对边平行且宽度相等的纸条交叉叠放在一起，若∠DAB=60°，AD=2，则重合部分的面积为　 　．

考点：菱形的判定与性质．
分析：易得该四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积．
解答：解：∵两张纸条都是长方形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两张长方形纸条的宽度相等，
∴DE=DF．
又∵平行四边形ABCD的面积=AB•DE=BC•DF，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴AB=AD=2．
又∵∠DAB=60°，AD=2，
∴DE= ，
∴S菱形ABCD=AB•DE=2× =2 ．
故答案是：2 ．

点评：本题主要考查了菱形的判定与性质．一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等的平行四边形；
③对角线相互垂直平分的平行四边形．
　
三、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）先化简，再求值： ? ÷ ，其中a=3．

考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：将原式第二项被除式分母利用完全平方公式分解因式，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，两项通分并利用同分母的分式减法法则计算，得到最简结果，将a的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解答：解：原式= ? •a
=
=? ，
当a=3时，原式=? ．
点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
　
20．（7分）码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系；
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？

考点：反比例函数的应用．
专题：．
分析：（1）首先根据题意可知因总工作量为30×8=240吨不变，故卸货速度v与卸货时间t之间为反比例关系，即x•y=240；
（2）把t=5代入 ，进一步根据题意求解．
解答：解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有
k=30×8=240
故v与t的函数式为 （t＞0）；（2）把t=5代入 ，得 ，
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，平均每天卸载48吨．
若货物在不超过5天内卸完，平均每天至少卸货48吨．
点评：本题考查反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解．
　
21．（7分）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？

考点：勾股定理的应用；方向角．
分析：根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
解答：解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．

点评：此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形．
　
22．（7分）（2012•济宁）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．
（1）在图中画出线段DE和DF；
（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？

考点：菱形的判定与性质；作图—复杂作图．
分析：（1）根据题目要求画出线段DE、DF即可；
（2）首先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明∠EAD=∠EDA，根据等角对等边可得EA=ED，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形AEDF是菱形，再根据菱形的性质可得线段AD和EF互相垂直平分．
解答：解（1）如图所示；（2）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD=∠EAD，
∵AB∥DE，
∴∠FAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED（等角对等边），
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴AD与EF互相垂直平分．

点评：此题主要考查了画平行线，菱形的判定与性质，关键是掌握菱形的判定方法，判定四边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等，角相等，线段互相垂直且平分．
　
四、解答题（每题9分，共18分）
23．（9分）如图，已知点P（a，b）、Q（b，c）是反比例函数y= 在第一象限内的点，求 的值．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据点P（a，b）、Q（b，c）在反比例函数y= 的图象上，可知ab=5，bc=5，再将（ ?b）•（ ?c）+ 转化为含ab、bc的式子，整体代入ab=5，bc=5即可．
解答：解：∵点P（a，b）、点Q（b，c）在反比例函数y= 的图象上，
∴ab=5，bc=5，
∴（ ?b）•（ ?c）+
= • +
= • +
= +
= +
=4．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
　
24．（9分）如图，直线y=x与双曲线y= 交于点A、C，且OA=OC=
（1）求点A的坐标；
（2）以AC为对角线作矩形ABCD交x轴正半轴于B，交x轴负半轴于D，求点B、D坐标．

考点：反比例函数综合题．
专题：探究型．
分析：（1）根据点A在直线y=x上可设A（a，a），a＞0．作A⊥x轴于，故可得出O=A=a，在Rt△AO中根据勾股定理即可得出a的值，故可得出A点坐标；
（2）根据四边形ABCD是矩形可知AO=BO=CO=DO= ，再由点B在x轴的正半轴，点D在x轴的负半轴上即可得出结论．
解答：解：（1）∵点A在直线y=x上，设A（a，a），a＞0．
作A⊥x轴于，
∴O=A=a，
在Rt△AO中，由勾股定理，
得O2+A2=OA2，
∴a2+a2= ，且a＞0，
∴a=1，
∴A（1，1）；（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BO=OD= ，
∵点B在x轴的正半轴，点D在x轴的负半轴，
∴B（ ，0），D（? ，0）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理及矩形的性质，比较简单．
　
五、解答题（每题10分，共20分）
25．（10分）某中学八年级（1）班、（2）班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩（满分100分）如图所示：
（1）根据右图填写下表：
平均数中位数众数
八年级（1）班85　85　　85　
八年级（2）班　85　80　100　
（2）根据两班成绩的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？
（3）如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？请说明理由．

考点：条形统计图；加权平均数；中位数；众数．
分析：（1）根据中位数与众数，平均数的定义即可求解；
（2）比较平均分与中位数的大小即可得到；
（3）比较每班的最好的两名同学的成绩即可．
解答：解：（1）八年级一班的成绩从小到大排列是：80，85，85，85，90则中位数是：85分，众数是85分；
八年级二班的成绩分别是：100，70，80，100，75，则平均数是： （100+70+80+100+75）=85（分），众数是100分；
（2）两个班的平均分相同，但八年级（1）班的中位数高，所以八年级（1）班的成绩较好；
（3）如果每班各选2名同学参加决赛，八年级（2）班的实力更强．
虽然两个半的平均分相同，但在前两名的高分区八年级（2）班的成绩较好．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
26．（10分）如图，直线y=3x?3交x轴于B，交y轴于C，以OC为边作正方形OCEF，E F交双曲线 于点．且F=OB．
（1）求k的值．
（2）请你连O、OG、G，并求S△OG．
（3）点P是双曲线上一点，点N为x轴上一点，请探究：是否存在点P、N，使以B、C、P、N为顶点组成平行四边形？若存在，求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：反比例函数综合题．
专题：探究型．
分析：（1）先由直线y=3x?3交x轴于B，交y轴于C可得出B、C两点的坐标再根据四边形OCEF是正方形可知OF=OC=3，由F=OB即可求出点的坐标，再根据E F交双曲线y= 于点即可得出k的值；
（2）先C点纵坐标代入y= 求出x的值，故可得出CG、GE的长，由（1）知F=1，故可得出E=2，根据S△OG=S正方形OCEF?S△OF?S△OCG?S△GE即可得出结论；
（3）由于P、N的位置不能确定，故应分①当以BC为平行四边形一边，点P在第二象限的反比例函数上；当以BC为平行四边形一边，点P在第四象限的反比例函数上；当以BC为对角线时三种情况进行讨论．
解答：解：（1）∵直线y=3x?3交x轴于B，交y轴于C
∴B（1，0），C（0，?3）
∵四边形OCEF是正方形，
∴OF=OC=3，
又∵F=OB，
∴（3，?1），
∵E、F交双曲线y= 于点，
∴k=?3；（2）∵把y=?3代入y= 得x=1，即CG=1，
∴GE=2
由（1）知F=1，
∴E=2，
∴S△OG=S正方形OCEF?S△OF?S△OCG?S△GE
=3×3?3×1÷2?3×1÷2?2×2÷2
=9? ? ?2=4；（3）①当以BC为平行四边形一边，点P在第二象限的反比例函数上时，yp=OC=3，
∵yp= ，
∴xp=?1，
∴过点P（?1，3）；
∵xP?xN=OB=1，
∴xN=?2，
∴N（?2，0）；
②当以BC为平行四边形一边，点P在第四象限的反比例函数上时，
∵CP∥BN，
∴CP∥x轴，
∴yp=?OC=?3，
∵yp= ，
∴xp=1，
∴P（1，?3），
∴BN=PC=1，
∴N（2，0）．
③∵当以BC为对角线时PN必定与BC互相平分，
∴同时有P、N在BC的两侧，
∴点P在第四象限的反比例函数上，
∴CP∥BN即CP∥x轴，CP=BN且N在点P的左边，由②可知P（1，?3），PC=1，
∴xB?xN=PC=1，
∴xN=0，
∴N（0，0）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度较大．

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