2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2?x=0 D． +x2=0
2．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． （3分）关于x的一元二次方程x2+ax?1=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
5．（3分）S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．1500（1+x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1?x）2=980 D．980（1?x）2=1500
6．（3分）抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（ ）
A．y=3（x+3）2?2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x?3）2?2 D．y=3（x?3）2+2
7．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．AD∥BC
C．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等边三角形
8．（3分）若函数y=（m?1）x2?6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．?2或3 B．?2或?3 C．1或?2或3 D．1或?2或?3
9．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程3x（x?1）=2（x?1）的根为 ．
12．（3分）已知点（a，?1）与点（2，b）关于原点对称，则a+b= ．
13．（3分）关于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一个根是0，则k的值是 ．
14．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
15．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1= cm．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）4（x?5）2=36
（2）x2? x+1=0．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程：x2?（t?1）x+t?2=0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，二次函数y=x2?（t?1）x+t?2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由．
18．（9分）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．
19．（9分）已知抛物线y=a（x?3）2+2经过点（1，?2）
（1）该抛物线的顶点坐标是
（2）求a的值；
（3）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
20．（9分）如图，四边形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，求∠BAD的度数与AD的长．
21．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
22．（10分）（1）问题发现：
如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系： ；
（2）操作探究：
如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），（1）小题中线段BE与线段CD的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明；
（3）解决问题：
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是 度．
23．（11分）如图，抛物线y=? x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（?1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．
2018-2019学年河南省洛阳市洛龙区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=0 B．y2+x=0 C．x2?x=0 D． +x2=0
【解答】解：A、方程2x+1=0未知数的最高次数是1，属于一元一次方程；故本选项错误；
B、y2+x=0中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误；
C、x2?x=0符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
D、该方程是分式方程；故本选项错误；
故选：C．
2．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形，
故选：B．
3．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax?1=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【解答】解：∵△=a2+4＞0，
∴，方程有两个不相等的两个实数根．
故选：D．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2?6x?10=0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2=1 B．（x?3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x?3）2=19
【解答】解：方程移项得：x2?6x=10，
配方得：x2?6x+9=19，即（x?3）2=19，
故选：D．
5．（3分）S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．1500（1 +x）2=980 B．980（1+x）2=1500 C．1500（1?x）2=980 D．980（1?x）2=1500
【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：1500（1?x），
则第二次降价后的售价为：1500（1?x）（1?x）=1500（1?x）2，
∴1500（1?x）2=980．
故选：C．
6．（3分）抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（ ）
A．y=3（x+3）2?2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x?3）2?2 D．y=3（x?3）2+2
【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位后顶点坐标为（3，2），此时解析式为y=3（x?3）2+2．
故选：D．
7．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．AD∥BC
C．S△ABD=2S△BED D．△ABD是等边三角形
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，故D正确，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，故B正确；
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠DBC=180°?60°?60°=60°，
∴∠ABD=∠DBC，
即BD平分∠ABC，故A正确；
故选：C．
8．（3分）若函数y=（m?1）x2?6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．?2或3 B．?2或?3 C．1或?2或3 D．1或?2或?3
【解答】解：当m=1时，函数解析式为：y=?6x+ 是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点 ，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y=（m?1）x2?6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62?4×（m?1）× m=0，
解得，m=?2或3，
故选：C．
9．（3分）如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，
∴∠AB′B= （180°?110°）=35°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=35°，
∴∠CAB′=∠CAC′?∠ C′AB′=110°?35°=75°．
故选：C．
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=? =1，
∴b=?2a＜0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2?4ac＞0，所以②正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
而c＜0，
∴a+b+2c＜0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=? =1，
∴b=?2a，
而x=?1时，y＞0，即a?b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，所以④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程3x（x?1）=2（x?1）的根为 x=1或x= ．
【解答】解：3x（x?1）=2（x?1），
移项得：3x（x?1 ）?2（x?1）=0，
即（x?1）（3x?2）=0，
∴x?1=0，3x?2=0，
解方程得：x1=1，x2= ．
故答案为：x=1或x= ．
12．（3分）已知点（a，?1）与点（2，b）关于原点对称，则a+b= ?1 ．
【解答】解：∵点（a，?1）与点（2，b）关于原点对称，
∴a=?2，b=1，
∴a+b=?1，
故答案为：?1．
13．（3分）关于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一个根是0，则k的值是 0 ．
【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一个根是0，
把x=0代入方程，得k2?k=0，
解得，k1=1，k2=0
当k=1时，由于二次项系数k?1=0，
方程（k?1）x2+6x+k2?k=0不是关于 x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
14．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且经过点P（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （?1，0） ．
【解答】解：由于函数对称轴为x=1，而P（3，0）位于x轴上，
则设与x轴另一交点坐标为（m，0），
根据题意得： =1，
解得m=?1，
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（?1，0），
故答案是：（?1，0）．
15．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6厘米，DC=7厘米．把三角板DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图（2），这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．则AD1= 5 cm．
【解答】解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°?∠ACO?∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=3 ．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1?OC=4，
由勾股定理得：AD1=5．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解方程：
（1）4（x?5）2=36
（2）x2? x+1=0．
【解答】解：（1）开方得：2（x?5）=6或2（x?5）=?6，
解得：x1=8，x2=2；
（2）这里a=1，b=? ，c=1，
∵△=10?4=6，
∴x= ．
17．（9分）已知关于x的一元二次方程：x2?（t?1）x+t?2=0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，二次函数y=x2?（t?1）x+t?2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由．
【解答】解：（1）证明：在方程x2?（t?1）x+t?2=0中，△=[?（t?1）]2?4×1×（t?2）=t2?6t+9=（t?3）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：令y=0，得到x2?（t?1）x+t?2=0
设方程的两根分别为m、n，
由题意可知，方程的两个根互为相反数，
∴m+n=t?1=0，
解得：t=1．
∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．
18．（9分）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．
【解答】解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；
19．（9分）已知抛物线y=a（x?3）2+2经过点（1，?2）
（1）该抛物线的顶点坐标是 （3，2）
（2）求a的值；
（3）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【解答】解：（1）∵y=a（x?3）2+2，
∴ 该抛物线的顶点坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）；
（2）∵y=a（x?3）2+2经过点（1，?2），
∴?2=a（1?3）2+2，
解得，a=?1，
即a的值是?1；
（3））∵y=a（x?3）2+2，a=?1，
∴该抛物线的图象在x＜3时，y随x的增大而增大，在x＞3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，
∴y1＜y2．
20．（9分）如图，四边形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，求∠BAD的度数与AD的长．
【解答】解：∵点A、C、E在一 条直线上，
而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°
∴△ADE为等边三角形，
∴∠E=60°，AD=AE，
∴∠BAD=60°，
∵点A、C、E在一条直线上，
∴AE=AC+CE，
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=2+3=5，
∴AD=AE=5．
21．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）
【解答】解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润=（70?50）×[50+5×（100?70）]=4000元；
（2）由题得 y=（x?50）[50+5（100?x）]=?5x2+800x?27500（x≥50）．
∵销售单价不得低于成本，
∴50≤x≤100．
（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元
∴50×[50 +5（100?x）]≤7000（8分）
解得x≥82．
由（2）可知 y=（x?50）[50+5（100?x）]=?5x2+800x?27500
∵抛物线的对称轴为x=80且a=?5＜0
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．
∴当x=82时，y有最大，最大值=4480，
即 销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．
22．（10分）（1）问题发现：
如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系： BE=CD，BE⊥CD ；
（2）操作探究：
如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），（1）小题中线段BE与线段CD的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明；
（3）解决问题：
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时， 在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是 45°或225°或315 度．
【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，
∴AE?AB=AD?AC，
∴BE=CD；
故答案为：BE=CD，BE⊥CD；
（2）（1）结论成立，
理由：如图，
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质得，∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中， ，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD；∠AEB=∠ADC，
∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，
∴∠EFD=90°，
即：BE⊥CD
（3）如图，
∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
∵ED=2AC，
∴AC=CD，
∴∠CAD=45°
或360°?90°?45°=225°，或360°?45°=315°
∴角α的度数是45°或225°或315°．
故答案为：45°或225°或315．
23．（11分）如图，抛物线y=? x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（?1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．
【解答】解：（1）把A（?1，0），C（0，2）代入y=? x2+bx+c得 ，
解得 ，c=2，
∴抛物线的解析式为y=? x2+ x+2．
（2）存在．如图1中， ∵C（0，2），D（ ，0），
∴OC=2，OD= ，CD= =
①当CP=CD时，可得P1（ ，4）．
②当DC=DP时，可得P2（ ， ），P3（ ，? ）
综上所述，满足条件的P点的坐标为 或 或 ．
（3）如图2中，
对于抛物线y=? x2+ x+2，当y=0时，? x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=?1
∴B（4，0），A（?1，0），
由B（4，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y=? x+2，
设E 则F ，
EF= ? =
∴ ＜0，∴当m=2时，EF有最大值2，
此时E是BC中点，
∴当E运动到BC的中点时，△FBC面积最大，
∴△FBC最大面积= ×4×EF= ×4×2=4，此时E（2，1）．
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