2018-2019学年四川省自贡市富顺九年级（下）期中数 学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）与2和为0的数是（　　）
A．?2 B．2 C．  D．?
2．（4分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是（　　）
 A．0.675×105 B．67.5×103 C．6.75×104 D．6.75×105
3．（4分）一个几何体的三视图中有两个为矩形，则这个几何体不可能是（　　）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．球
4．（4分）已知点A（2，y1），B（1，y2），C（?1，y3）在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
5．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　）
A．  B．  C．  D．
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　）
A．  B．  C．  D．
7．（4分）分式方程 = 的根为（　　）
A．1 B．2 C．?3 D．3
8．（4分）如图，A、B两点在双曲线y= 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）
 
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（4分）如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别切于E、F、G、H，点P是弧HG上的一点，则tan∠EPF的值是（　　）
 
A．1 B．2 C．0.5 D．1.5
10．（4分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（　　）
 
A．18 B．20 C．22 D．24
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2?2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A．  B．  C．  D．
12．（4分）因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=?sin30°；因为sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin（180°+45°）=?sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=?sinα，由此可知：sin240°=（　　）
A．  B．  C．  D．
　
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式ab2?a2b的结果为　   　．
14．（4分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是　   　．
15．（4分）不等式2x?1 的解集为　   　．
16．（4分）函数y= 的自变量x的取值范围是　   　．
17．（4分）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是　   　（填一个即可）
 
18．（4分）如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是　   　度．
 
　
三、解答题（每小题8分，共32分）
19．（8分）（2017?π）0+（? ）?2?| |?3tan30°．
20．（8分）先化简，再求值：（ ? ） ，其中x是方程x2?3x+2=0的解．
21．（8分）已知如图，点M是双曲线y= 上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若S△MON=2，求该双曲线的解析式．
 
22．（8分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长（精确到0.1）；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米（精确到0.1）？
 
　
四、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设A．舞蹈，B．音乐，C．绘画，D．书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图1，2所示的统计图，且结合图中信息解答下列问题：
 
（1）在这次调查中，共调查了多少名学生？
（2）请将两幅统计图补充完整；
（3）若本校一共有2000名学生，请估计喜欢“音乐”的人数；
（4）若调查到喜欢“书法”的4名学生中有2名男生，2名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率．
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长 线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．
 
　
五、解答题（每小题12分，共12分）
25．（12分）如图，双曲线y1= 与直线y2=ax+b相交于点A（1，4），B（4，m）．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；
（4）P为双曲线上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，求矩形PMON的最小周长．
 
　
六、解答题（每小题14分，共14分）
26．（14分）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，?3），直线y=? x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax2? x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P 、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．
 
　
 

2018-2019学年四川省自贡市富顺九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）与2和为0的数是（　　）
A．?2 B．2 C．  D．?
【解答】解∵?2+2=0，
∴与2的和为0的数是?2；
故选A．
　
2．（4分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是（　　）
A．0.675×105 B．67.5×103 C．6.75×104 D．6.75×105
【解答】解：67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故选：C．
　
3．（4分）一个几何体的三视图中有两个为矩形，则这个几何体不可能是（　　）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．球
【解答】解：三棱柱的三视图中可能有两个为矩形，一个三角形；四棱柱的三视图中可能有两个为矩形，一个四边形；圆柱的三视图中有两个为矩形，一个圆；球的三视图都为圆．
故选D．
　
4．（4分）已知点A（2，y1），B（1，y2），C（?1，y3）在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y3＞y2
【解答】解：∵点A（2，y1），B（1，y2），C（?1，y3）都在反比例函数y= 的图象上，
∴y1= =1；y2= =2；y3= =?2，
∵2＞1＞?2，
∴y2＞y1＞y3．
故选B．
　
5．（4分）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：
5÷（30+25+5）
=5÷60
=
故选：A．
　
6．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵sinA= ，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC= =12x，
故tan∠B= = ．
故选：D．
 
　
7．（4分）分式方程 = 的根为（　　）
A．1 B．2 C．?3 D．3
【解答】解：去分母得：x+3=3x?3，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故选D
　
8．（4分）如图，A、B两点在双曲线y= 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）
 
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S2=4+4?1×2=6．
故选：D．
　
9．（4分）如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别切于E、F、G、H，点P是弧HG上的一点，则tan∠EPF的值是（　　）
 
A．1 B．2 C．0.5 D．1.5
【解答】解：连接HF，EG，FG，
∵⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H，
∴四边形AEOH是正方形，
∴FH⊥EG，
∵OG=OF，
∴∠OGF=45°，
∵∠EPF=∠OGF，
∴tan∠EPF=tan45°=1，
故选A．
 
　
10．（4分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（　　）
 
A．18  B．20 C．22 D．24
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，
∴BC=AD=12，CD=AB=5，∠ABC=90°，OA=OC，
∴AC= =13，
∴OB=OA=OC= AC=6.5，
∵M是AD的中点，
∴OM= CD=2.5，AM= AD=6，
∴四边形ABOM的周长为：AB+OB+OM+AM=5+6.5+2.5+6=20．
故选B．
　
11．（4分）若关于x的一元二次方程x2?2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵x2?2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4?4 （kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜ 0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
　
12．（4分）因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=?sin30°；因为sin45°= ，sin225°= ，所以sin225°=sin（180°+45°）=?sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=?sinα，由此可知：sin240°=（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：∵当α为锐角时有sin（180°+α）=?sinα，
∴sin240°=sin（180°+60°）= ?sin60°=? ．
故选C．
　
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式ab2?a2b的结果为　ab（3b?a）　．
【解答】解：ab2?a2b=ab（3b?a），
故答案为：ab（3b?a）．
　
14．（4分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是　6　．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n?2）•180°=2×360°，
解得n=6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
　
15．（4分）不等式2x?1 的解集为　x≤1　．
【解答】解：2x?1 ，
去分母得：2（2x?1）≤3x?1，
去括号得：4x?2≤3x?1，
移项合并得：x≤1．
　
16．（4分）函数y= 的自变量x的取值范围是　x≥1　．
【解答】解：根据题意得，x?1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
　
17．（4分）如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是　∠C=∠BAD　（填一个即可）
 
【解答】解：∵∠B=∠B（公共角），
∴可添加：∠C=∠BAD．
此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．
故答案可为：∠C=∠BAD．
　
18．（4分）如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是　60　度．
 
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°；
由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．
　
三、解答题（每小题8分，共32分）
19．（8分）（2017?π）0+（? ）?2?| |?3tan30°．
【解答】解：原式=1+9?（2? ）?3× ，
=1+9?2+ ? ，
=8．
　
20．（8分）先化简，再求值：（ ? ） ，其中x是方程x2?3x+2=0的解．
【解答】解：（ ? ）
= 
=2?0.5x
∵x是方程x2?3x+2=0的解，
∴x=1或x=2，
∵x=2时，x?2=0，
∴x=1，
∴原式=2?0.5×1=1.5．
　
21．（8分）已知如图，点M是双曲线y= 上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若S△MON=2，求该双曲线的解析式．
 
【解答】解：∵MN垂直于x轴，
∴S△OMN= |k|，
∴ |k|=2，
而k＜0，
 ∴k=?4，
∴该双曲线的解析式为y=? ．
　
22．（8分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长（精确到0.1）；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米（精确到0.1）？
 
【解答】解：（1）作CH⊥AB于H．
∵AC=10千米，∠CAB=25°，
∴在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=10•sin25°≈4.23（千米），
AH=AC•cos∠CAB=10•cos25°≈9.06（千米）．
∵∠CBA=37°，
∴在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.23÷tan37°≈5.61（千米），
∴AB=AH+BH=9.06+5.61=14.67≈14.7（千米）．
∴改直的公路AB的长14.7千米；

（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.23÷sin37 °≈7.03（千米），
则AC+BC?AB=10+7.03?14.7≈2.3（千米）．                         
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．
 
　
四、解答题（每小题10分，共20分）
23．（10分）为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设A．舞蹈，B．音乐，C．绘画，D．书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图1，2所示的统计图，且结合图中信息解答下列问题：
 
（1）在这次调查中，共调查了多少名学生？
（2）请将两幅统计图补充完整；
（3）若本校一共有2000名学生，请估计喜欢“音乐”的人数；
（4）若调查到喜欢“书法”的4名学生中有2名男生，2名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率．
【解答】解：（1）120÷40%=300（名），
所以在这次调查中，共调查了300名学生；
（2）B类学生人数=300?90?120?30=60（名），
A类人数所占百分比= ×100%=30%；B类人数所占百分比= ×100%=20%；
统计图为：
 
（3）2000×20%=400（人），
所以估计喜欢“音乐”的人数约为400人；
（4）画树状图为：
 
共有12种等可能的结果数，其中相同性别的学生的结果数为4，
所以相同性别的学生的概率= = ．
　
24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．
 
【解答】（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；

（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB= ，
在Rt△POD中，cos∠POD= = ，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴ ，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．
 
　
五、解答题（每小题12分，共12分）
25．（12分）如图，双曲线y1= 与直线y2=ax+b相交于点A（1，4），B（4，m）．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围；
（4）P为双曲线上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于 点N，求矩形PMON的最小周长．
 
【解答】解：（1）把点A（1，4）代入双曲线y1= ，可得
k=1×4=4，
∴双曲线的解析式为y= ；
把B（4，m）代入反比例函数，可得
4m=4，
∴m=1，
∴B（4，1），
把A（1，4），B（4，1）代入直线解析式，可得
 ，
解得 ，
∴直线解析式为y=?x+5．
（2）如图，过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，
则△AOD的面积=△BOC的面积= ×4=2；
∴△AOB的面积
=梯形ABED的面积+△AOD的面积?△BOC的面积
=梯形ABED的面积
= ×（1+4）（4?1）
= ；
（3）由图可得，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；
（4）设点P的坐标为（x， ）（x＞0），则
PM= ，PN=x，
∴矩形PMON的周长=2（x+ ）= ，
∵x＞0，
∴当x=2时，矩形PMON的周长最小值为8．
 
　
六、解答题（每小题14分，共14分）
26．（14分）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，?3），直线y=? x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax2? x经过点A，试确定此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．
 
【解答】解：（1）∵直线y=? x与BC边相交于D点，知D点纵坐标为?3，
∴代入直线得点D的坐标为（4，?3）．（2分）

（2）∵A（6，0）在抛物线上，代入抛物线的表达式得a= ，
∴y= x2? x．（4分）

（3）抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件．
∵OA∥CB，
∴∠P1OM=∠CDO．
∵∠OP1 M=∠DCO=90°，
∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．（6分）
∵抛物线的对称轴x=3，
∴点P1的坐标为P1（3，0）．（7分）
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2．
∵对称轴平行于y轴，
∴∠P2MO=∠DOC．
∵∠P2OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P2MO∽Rt△DOC．（8分）
∴点P2也符合条件，∠OP2M=∠ODC．
∴P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°，
∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO．（9分）
∴P1P2=CD=4．
∵点P2在第一象限，
∴点P2的坐标为P2（3，4），
∴符合条件的点P有两个，分别是P1（3，0），P2（3，4）．（11分）

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