2018-2019学年广东省广州市越秀区XX中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择意（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（?3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A．（?3，1） B．（?3，?1） C．（3，1） D．（3，?1）
3．（3分）一元二次方程x2?2x?7=0用配方法可变形为（ ）
A．（x+1）2=8 B．（x+2）2=11 C．（x?1）2=8 D．（x?2）2=11
4．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的两根，则 =（ ）
A．?2 B．2 C．3 D．?3
5．（3分）将抛物线y=?2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=?2（x?3）2?4 B．y=?2（x+3）2?4 C．y=?2（x?3）2+4 D．y=?2（x+3）2+4
6．（3分）若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为（0，?3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线口向上
B．当x＞?1时，y随x的增大而减小
C．对称轴为x=?1
D．c的值为?3
7．（3分）设A（?2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=?（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．（3分）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．2 B． C． D．1
9．（3分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）=21 B．x（x?1）=21 C． D．
10．（3分）已知二 次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ?2 ?1 0 1 2 …
y … 11 6 3 2 3 …
则当y＜6时，x的取值范围是（ ）
A．?1＜x＜3 B．?3＜x＜3 C．x＜?1或x＞3 D．x＞3
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若x =?2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ．
12．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是 ．
13．（3分）抛物线y= +5的顶点坐标是 ．
14．（3分）关于x的一元二次方程kx2?x+1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
15．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=? ，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m．
16．（3分）如图，已知 Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB的延长线于E、F．下面结论一定成立的是 ．（填序号）
①CD= AB；②DE=DF；③S△DEF=2S△CEF；④S△DEF?S△CEF=S△ABC．
三、解答题（本大题共9小题，满分102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）x2?2x?8=0．
（2）（x?2）（x?5）+1=0．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A1B1C．
（2）画出△ABC关于点P（1，0）对称的△A2B2C2．
19．（9分）某购物网站今年8月份的销售额为110万元，10月份的销售额达到133.1万元，求该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率．
20．（10分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．
（1）∠DBE的度数．
（2）求证：△BDE≌△BCE．
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2?（k+1）x+ +1=0．
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若方程的两根x1，x2是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值．
22．（12分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．
23．（12分）已知二次函数y=x2?2mx+m2?3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点．
（2）当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由．
24．（14分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，已知直线y= x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 ．
（2）点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M．
①求b和c的值．
②如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年广东省广州市越秀区XX中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择意（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（?3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A．（?3，1） B．（?3，?1） C．（3，1） D．（3，?1）
【解答】解：∵点A坐标为（?3，1），
∴点B的坐标为（3，?1）．
故选：D．
3．（3分）一元二次方程x2?2x?7=0用配方法可变形为（ ）
A．（x+1）2=8 B．（x+2）2=11 C．（x?1）2=8 D．（x?2）2=11
【解答】解：一元二次方程x2?2x?7=0用配方法可变形为（x?1）2=8，
故选C
4．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的两根，则 =（ ）
A．?2 B．2 C．3 D．?3
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的两根，
∴x1+x2=2，x1•x2=?3，
∴ = = =?2，
故选A．
5．（3分）将抛物线 y=?2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=?2（x?3）2?4 B．y=?2（x+3）2?4 C．y=?2（x?3）2+4 D．y=?2（x+3）2+4
【解答】解：把抛物线y=?2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是y=?2（x+3）2?4，
故选B．
6．（3分）若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为（0，?3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线口向上
B．当x＞?1时，y随x的增大而减小
C．对称轴为x=?1
D．c的值为?3
【解答】解：
∵y=x2+2x+c与y轴交点为（0，?3），
∴c=?3，故D正确，不符合题意，
∴抛物线解析式为y=x2+2x?3=（x+1）2?4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=?1，当x＞?1时，y随x的增大而增大，故A、C正确，不符合题意，B不正确，
故选B．
7．（3分）设A（?2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=?（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：
∵A（?2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=?（x+1）2+2上的三点，
∴y1=?（?2+1）2+2=1，y2=?（1+1）2+2=?2，y3=?（2+1）2+2=?7，
∵1＞?2＞?7，
∴y1＞y2＞y3，
故选A．
8．（3分）△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P=PA=2，
故选A．
9．（3分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）=21 B．x（x?1）=21 C． D．
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x?1（次）；
依题意，可列方程为： =21；
故选：D．
10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ?2 ?1 0 1 2 …
y … 11 6 3 2 3 …
则当y＜6时，x的取值范围是（ ）
A．?1＜x＜3 B．?3＜x＜3 C．x＜?1或x＞3 D．x＞3
【解答】解：∵点（0，3）、（1，2）、（2，3）在二次函数y=ax2+bx+c上，
∴a＞0，二次函数图象的对称轴为直线x=1．
∵当x=?1时，y=6，
∴当x=3时，y=6．
∴当y＜6时，x的取值范围为?1＜x＜3．
故选A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）若x=?2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= 0 ．
【解答】解：把x=2代入x2+2x+a=0，得
（?2）2+2×（?2）+a=0，
解得a=0．
故答案为：0．
12．（3分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是 150° ．
【解答】解：
∵直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，
∴旋转角是∠CAC′=180°?30°=150°．
故答案为：150°．
13．（3分）抛物线y= +5的顶点坐标是 （1，5） ．
【解答】解：二次函数y= +5的顶点坐标是（1，5）．
故答案为（1，5）．
14．（3分）关于x的一元二次方程kx2?x+1=0有实数根，则k的取值范围是 k≤ 且k≠0 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2?x+1=0有实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠0．
故答案为：k≤ 且k≠0．
15．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=? ，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 16 m．
【解答】 解：根据题意B的纵坐标为?4，
把y=?4代入y=? x2，
得x=±8，
∴A（?8，?4） ，B（8，?4），
∴AB=16m．
即水面宽度AB为16m．
故答案为：16．
16．（3分）如图，已知 Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB的延长线于E、F．下面结论一定成立的是 ①② ．（填序号）
①CD= AB；②DE=DF；③S△DEF=2S△CEF；④S△DEF?S△CEF=S△ABC．
【解答】解：连接CD，如图，
∵∠C=90°，D为AB边的中点，
∴CD=AD=DB，即CD= AB，所以①正确；
∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，CD⊥BD，
∴∠DCE=135°，∠DBF=135°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中
，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF，所以②正确；
∴△DEF我等腰直角三角形，
∴DE= EF，
∴S△DEF= DE2= EF2，
而EF2=CE2+CF2，
∴S△DEF= （CE2+CF2），
而S△CEF= CE•CF，
∴S△DEF?S△CEF= （CE2+CF2）? CE•CF= （CF?CE）2= （BC+BF?CE）2= BC2= S△ABC，所以③④错误．
故答案为①②．
三、解答题（本大题共9小题，满分102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）x2?2x?8=0．
（2）（x?2）（x?5）+1=0．
【解答】解：（1）（x?4）（x+2）=0，
x?4=0或x+2=0，
所以x1=4，x2=?2；
（2）x2?7x+11=0，
△=（?7）2?4×11=5，
x= ，
所以x1= ，x2= ．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A1B1C．
（2）画出△ABC关于点P（1，0）对称的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
19．（9分）某购物网站今年8月份 的销售额为110万元，10月份的销售额达到133.1万元，求该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率．
【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，
根据题意，得：110（1+x）2=133.1，
解得：x1=0.1=10%，x2=?2.1（不符合题意，舍去）．
答：该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率为10%．
20．（10分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．
（1）∠DBE的度数．
（2）求证：△BDE≌△BCE．
【解答】解：（1）∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
（2）证明：在△BDE和△BCE中，
∵ ，
∴△BDE≌△BCE（SAS）．
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x2?（k+1）x+ +1=0．
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若方程的两根x1，x2是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程x2?（k+1）x+ +1=0有实数根，
∴△=[?（k+1）]2?4×1×（ k2+1）=2k?3≥0，
解得：k≥ ．
（2）根据题意得：x1x2= k2+1=5，
解得：k=±4，
∵k≥ ，
∴k=4．
22．（12分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．
【解答】解：（1）∵AB=x米，
∴BC=（24?4x）米，
∴S=AB•BC=x（24?4x）=?4x2+24x（0＜x＜6）；
（2）S=?4x2+24x=?4（x?3）2+36，
∵0＜x＜6，
∴当x=3时，S有最大值为36平方米；
（3）∵ ，
∴4≤x＜6，
∴当x=4时，花圃的最大面积为32平方米．
23．（12分）已知二次函数y=x2?2mx+m2?3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点．
（2）当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由．
【解答】（1）证明：y=x2?2mx+m2?3，
∵a=1，b=?2m，c=m2?3，
∴△=b2?4ac=4m2?4（m2?2）=8＞0，
∴函数的图象与x轴有两个公共点；
（2）解：设x2?2mx+m2?3=0的两个根为x1、x2，
则x1+x2=2m，x1x2=m2 ?3，
∴|x1?x2|= = = = =2 ，
∴当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离不变，其距离为2 ．
24．（14分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得 ，
解得 ，
∴所求抛物线解析式为y=? x2+ x；
解法二：∵A（1，1）， B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．
设抛物线解析式为y=a（x?2）2+h（a≠0），
把O（0，0），A（1，1）代入得
解得 ∴所求抛物线解析式为：y=? （x?2）2+ ．
（2）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°= t，
∴S= （ t）2= t2．
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，
作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S梯形OAGP．
∴AG=FH=t?2，
∴S= （AG+OP）AF= （t+t?2）×1=t?1．
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，
重叠部分的面积是S五边形OAMNC．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC?S△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t?3，
∴BM=BN=1?（t?3）=4?t，
∴S= （2+3）×1? （4?t）2 S=? t2+4t? ；
（3）存在t1=1，t2=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+ ， ），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时， = ×（t+ ）2+ ×（t+ ），解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=? t2+ t，解得t=1．
25．（14分）如图，已知直线y= x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是 （0，3） ，线段AD的长等 于 4 ．
（2）点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M．
①求b和c的值．
②如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当y=0时， x+1=0，解得x=?3，则A（?3，0），
当x=0时，y= x+1=1，则B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD，
∴OC=OA=3，OD=OB=1，
∴C（0，3），AD=OA+OD=3+1=4；
故答案为（0，3），4；
（2）①∵C（0，3），D（1，0），
而点M是C D的中点，
∴M（ ， ）；
把C（0，3），M（ ， ）代入y=x2+bx+c得 ，
解得b=? ，c=3；
②存在．
抛物线的解析式为y=x2? x+3，易得直线AC的解析式为y=x+3，
当OE为对角线时，如图1，
∵C、E点在y轴上，四边形CFEP为菱形，
∴点F与点P关于y轴对称，
设F（t，t+3），则P（?t，t+3），
把P（?t，t+3）代入y=x2? x+3得t2+ t+3=t+3，解得t1=0（舍去），t2=? ，
此时F（? ， ），
∴CF= = ，
∴菱形CFEP的周长l=10 ；
当OE为边时，如图2，设F（t，t+3），则CF= = t，
∵四边形CEPF为菱形，
∴PF∥CE，PF=CF，
∴P（t，t+3? t），
把P（t，t+3? t）代入y=x2? x+3得t2? t+3=t+3? t，解得t1=0（舍去），t2= ? ，
∴此时菱形CFEP的周长l=4 t=4 （ ? ）=18 ?8，
综上所述，菱形CFEP的周长l为10 或18 ?8．
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