2018-2019学年江西省萍 乡市芦溪县九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x?2=0 B．x2?4x?1=0 C．x2?2x?3 D．xy+1=0
2．（3分）已知：  = ，则下列式子一定成立的是（　　）
A．3x=4y B．x= y C．4x=3y D．  xy=12
3．（3分）将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（　　）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=?9 D．（x+8）2=7
4．（3分）从一副54张的扑克牌中任意抽一张，以下事件中可能性最大的是（　　）
A．抽到方块8 B．抽到K牌 C．抽到梅花 D．抽到大王
5．（3分）已知 = = =k（a+b+c≠0），则k=（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG= ，则△CEF的周长为（　　）
 
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若a是方程x2?x?1=0的一个根，则代数式a2?a的值是　   　．
8．（3分）线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足 = ，那么AP的长为　   　cm．
9．（3分）某校九年级共有1，2，3，4四个班，现从这 四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是　   　．
10．（3分）如图，直线AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么EF的值是　   　．
 
11．（3分）关于x的一元二次方程（a?5）x2?4x?1=0有实数根，则实数a的取值范围是　   　．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，P为AB中点，∠A=60°，折叠菱形ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为　   　°．
 
　
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程
（1）（4x?1）2?x2=0
（2）x2?3x?2=0．
14．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠AD C，EF∥DC角AD边于点F，连结BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE=1，ED=2 ，求BD的长．

15．（6分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
16．（6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
 
17．（6分）如图，在正方形ABCD中，对角线A、C与BD相交于点O，E为BC上一点，C E=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，求OF的长．
 
　
四、解答题（本大题共4小题，共32分）
18．（8分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为 ．
（1）求袋中黄球的个数．
（2）第一次摸出一个球（放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率．
（3）若规定每次摸到红球得5分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得1分，小芳摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，请直接写出小芳有哪几种摸法？（不分球颜色的先后顺序）
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
 
20．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
 
21．（8分）如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点．
（1）试判断四边形AECF的形状，并加以证明；
（2）若菱形ABCD的周长为52，BD为24，试求四边形AECF的面积．
 
　
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
22．（10分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
 
　
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　   　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　   　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2 ，CD= BC，请求出GE的长．
 
　
 

2018-2019学年江西省萍乡市芦溪县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x?2=0 B．x2?4x?1=0 C．x2?2x?3 D．xy+1=0
【解答】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；
B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；
C、x2?2x?3是代数式，不是等式；故本选项错误；
D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；
故选：B．
　
2．（3分）已知：  = ，则下列式子一定成立的是（　　）
A．3x=4y B．x= y C．4x=3y D．xy=12
【解答】解：∵ = ，
∴4x=3y．
故选：C．
　
3．（3分）将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（　　）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=?9 D．（x+8）2=7
【解答】解：x2+8x=?9，
x2+8x+16=7，
（x+4）2=7．
故选：A．
　
4．（3分）从一副54张的扑克牌中任意抽一张，以下事件中可能性最大的是（　　）
A．抽到方块8 B．抽到K牌 C．抽到梅花 D．抽到大王
【解答】解：A、抽到方块8的可能性是 ；
B、抽到K牌的可能行是 = ；
C、抽到梅花的可能行是 ；
D、抽到大王的可能性是 ；
则可能性最大的是抽到梅花；
故选：C．
　
5．（3分）已知 = = =k（a+b+c≠0），则k=（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
【解答】解；由 = = =k，得
k= = = ，
故选：D．
　
6．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG= ，则△CEF的周长为（　　）
 
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴AD=FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD=DF=9；
∵AB=BE=6，
∴CF=3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG= ，可得：AG=2，
又BG⊥AE，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分） 若a是方程x2?x?1=0的一个根，则代数式a2?a的值是　1　．
【解答】解：把x=a代入x2?x?1=0得a2?a?1=0，
所以a2?a=1．
故答案为1．
　
8．（3分）线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足 = ，那么AP的长为　5 ?5　cm．
【解答】解：设AP=x，则BP=10?x，
∵ = ，
∴ = ，
∴x1=5 ?5，x2=?5 ?5（不合题意，舍去），
∴AP的长为（5 ?5）cm．
故答案为：5 ?5．
　
9．（3分）某校九年级共有1，2，3，4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是　 　．
【解答】解：画树状图为：
 
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，
所以恰好抽到1班和2班的概率= = ．
故答案为： ．
　
10．（3分）如图，直线AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么EF的值是　2　．
 
【解答】解：∵BC= AC，
∴ = ，
∵AD∥BE∥CF，
∴ = ，
∵DE=4，
∴ =2，
∴EF=2．
故答案为：2．
　
11．（3分）关于x的一元二次方程（a?5）x2?4x?1=0有实数根，则实数a的取值范围是　a≥1且a≠5　．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2?4ac=16+4（a?5）≥0，
解之得a≥1．
∵a?5≠0
∴a≠5
∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5
故答案为a≥1且a≠5．
　
12．（3分）如图，菱形ABCD中，P为AB中点，∠A=60°，折叠菱形ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为　75　°．
 
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°?（∠CDE+∠C）=75°．
故答案为：75．
 
　
三、解答题（本大 题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解方程
（1）（4x?1）2?x2=0
（2）x2?3x?2=0．
【解答】解：（1）（4x?1）2?x2=0，
（4x?1+x）（4x?1?x）=0，
（5x?1）（3x?1）=0，
解得x1= ，x2=? ；

（2）x2?3x?2=0，
b2?4ac=（?3）2?4×1×（?2）=17，
x= ，
x1= ，x2= ．
　
14．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC角AD边于点F，连结BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE=1，E D=2 ，求BD的长．
 
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FECD为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CD=CE，
∴四边形FECD是菱形，
又∵∠C=90°，
∴平行四边形FECD是正方形；
（2）∵四边形FECD是正方形，
∴∠CDE=45°，
∵ ，
∴CE=CD=ED•sin45°=2 × =2，
∴BC=BE+EC=1+2=3，
∴BD2=BC2+CD2=32+22=13，
∴BD= ．
　
15．（6分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，
平均单株盈利为：（3?0.5x）元，
由题意得：（x+3）（3?0.5x）=10．
化简，整理，的x2?3x+2=0．
解这个方程，得x1=1，x2=2，
则3+1=4，2+3=5，
答：每盆应植4株或者5株．
　
16．（6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其 中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；
（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．
 
【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．
 
（2）线段AB的垂直平分线如图所示，
 
点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．
　
17．（6分）如图，在正方形ABCD中，对角线A、C与BD相交于点O，E为BC上一点 ，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，求OF的长．
 
【解答】解：∵CE=5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF=18?5=13．
∵F为DE的中点，
∴DF=EF．
∵∠BCD=90°，
∴CF= DE，
∴EF=CF= DE=6.5，
∴DE=2EF=13，
∴CD= = =12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF= （BC?CE）= （12?5）= ．
 
　
四、解答题（本大题共4小题，共32分）
18．（8分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜 色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意 摸出一个是红球的概率为 ．
（1）求袋中黄球的个数．
（2）第一次摸出一个球（放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率．
（3）若规定每次摸到红球得5分， 每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得1分，小芳摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，请直接写出小芳有哪几种摸法？（不分球颜色的先后顺序）
【解答】解：（1）设袋中黄球的个数为x，根据题意得 = ，
解得x=1，
即袋中有1个黄球；

（2）画树状图为：
 ，
共有9种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的占1种，
所有两次摸到都是红球的概率= ；

（3）设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为x、y、z，
根据题意得 ，
由①变形得z=6?x?y③，
把③代入②得5x+3y+6?x?y=20，
整理得2x+y=7，
当x=0，y=7（舍去）；当x=1时，y=5，z=0；当x=2，y=3，此时z=1；当x=3，y=1，此时z=2，
所以小芳的摸法有：1次摸到红球、5次摸到黄球；2次摸到红球、3次摸到黄球，1次摸到蓝球；3次摸到红球、1次摸到黄球，2次摸到蓝球．
　
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
 
【解答】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB?AE=10?6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2，
即CD2+42=（8?CD）2，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
即32+62=AD2，
解得：AD=3 ．
　
20．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
 
【解答】解：（1）设AB=x，则BC=38?2x；
根据题意列方程的，
x（38?2x）=180，
解得x1=10，x2=9；
当x=10，38?2x=18（米），
当x=9，38?2x=20（米），而墙长19m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米；

（2）根据题意列方程的，
x（38?2x）=200，
整理得出：x2?19x+100=0；
△=b2?4ac=361?400=?39＜0，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2．
　
21．（8分）如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点．
（1）试判断四边形AECF的形状，并加以证明；
（2）若菱形ABCD的周长为52，BD为24，试求四边形AECF的面积．
 
【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；

（2） ∵四边形ABCD为菱形，且周长为52，
∴AB=BC=13，
∵BD=24，
∴EF=8，OB= BD=12，
由勾股定理得，AO= =5，
∴AC=2AO=2×5=10，
∴S四边形AECF= EF•AC= ×8×10=40．
 
　
五、解答题（本大题共1小题，共10分）
22．（10分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
 
【解答】：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF= =10，
∴OC= EF=5；

（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
 
　
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　垂直　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　BC=CD+CF　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2 ，CD= BC，请求出GE的长．
 
【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中， ，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中， ，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°?45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF?∠ACB=135°?45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．

（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC= AB=4，AH= BC=2，
∴CD= BC=1，CH= BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中， ，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG= = ．
 

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