2018-2019学年山西省晋中市灵石县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x?（m?2）=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
5．（3分）把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y= （x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．先增大后减小 C．先减小后增大 D．先增大后不变
7．（3分）从?1、?2、3、4这四个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．?1 D．?2
9．（3分）如图，函数y= 与y=?kx+1（k≠0）在同一直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为 A．
12．（3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米．
13．（3分）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．
14．（3分）如图，EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为 米．
15．（3分）如图，菱形OABC在直角坐标系中，点A的坐标为（ ，0），对角线OB= ，反比例函数y= （k≠0，x＞0）经过点C．则k的值为 ．
三、解答题（共75分）
16．（ 12分）按要求解下列方程：
（1）x2+8x?9=0（配方法）
（2）2x2?4x?1=0（公式法）
（3）3x（x?1）=2?2x．
17．（7分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ， ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ， ）．
18．（6分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
19．（8分）某公司从2018年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如表：
年 度 2018年 2018年 2018年 2018
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
（ 1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2018年降低多少万元？
②若打算在2018年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
21．（10分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
22．（10分）如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y= 的图象交于A（2，m），B（n，?2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC=5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞ 的解集；
（3）若 P（p，y1），Q（?2，y2）是函数y= 图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．
23．（14分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段 AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
2018-2019学年山西省晋中市灵石县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． = [来源:Zxxk.Com]
【解答】解：根据题意，可得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，
所以B不成立．
故选B．
2．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x?（m?2）=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x?（m?2）= 0有实数根，
∴△=b2?4ac=22?4×1×[?（m?2）]≥0，
解得m≥1，
故选C．
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C．
4．（3分）某小组做“用频率估计概率”的 实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为 ，故A选项错误；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是： = ；故B选项错误；
C 、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为 ，故C选项错误；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ≈0.17，故D选项正确．
故选：D．
5．（3分）把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据投影的性质可得，该物体为五棱柱，则正投影应为矩形．
故选：B．
6．（3分）如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y= （x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．先增大后减小 C．先减小后增大 D．先增大后不变
【解答】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y= （x＞0）的图象上运动，且AC=BC，设点C的坐标为（x， ），
∴ （k为常数）．
即△ABC的面积不变．
故选A．
7．（3分）从?1、?2、3、4这四个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵?1×3，?1×4，?2×3，?2×4，这四组数的乘积都是负数，
?1×（?2），3×4这两组数的乘积是正数，
∴从?1、?2、3、4这四个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率是： ．
故选A．
8．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．?1 D．?2
【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，
代入得：n2+mn+2n=0，
∵n≠0，
∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，
∴m+n=?2．
故选D．
9．（3分）如图，函数y= 与y=?kx+1（k≠0）在同一直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：k＞0时，一次函数y=?kx+1的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合；
k＜0时，一次函数y=?kx+1的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．
故选：B．
10．（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm， 要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm
【解答】解：设正方形的边长为xmm，
则AK=AD?x=80?x，
∵EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
解得x=48mm，
故选C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为 1 A．
【解答】解：解：设I= ，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，
∴I= ．
令R=6，
解得：I= =1．
故答案为1．
[来源:Zxxk.Com]
12．（3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 54 米．
【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴ = ， = ，
∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，
∴ = ，
= ，
∴ = ，
解得BD=52m，
∴ = ，
解得AB=54m．
故答案为：54．
13．（3分）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= 4：9或1：9 ．
【解答】解：∵M，N是AD边上的三等分点，
（1）当 时，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△MOD∽△C0B，
∴S△MOD：S△COB=（ ）2=4：9．
（2）当 时，如图2，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△MOD∽△C0B，
∴S △MOD：S△COB=（ ）2=1：9．
故答案为：4：9或1：9．
14．（3分）如图，EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块．若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为 12 米．
【解答】解：∵与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，
∴BC=MN=PQ=x米，
∴AB=32?AD?MN?PQ?BC=32?4x（米），
根据题意得：x（32?4x）=60，
解得：x=3或x=5，
当x=3时，AB=32?4x=20＞18（舍去）；
当x=5时，AB=32?4x=12（米），
∴AB的长为12米．
故答案为：12．
15．（3分）如图，菱形OABC在直角坐标系中，点A的坐标为（ ，0），对角线OB= ，反比例函数y= （k≠0，x＞0）经过点C．则k的值为 3 ．
【解答】解：∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=CO，
设点C的坐标为（a，b），
∵点A的坐标为（ ，0），对角线OB= ，
∴点B的坐标为（a+ ，b），OC= ，
∴ ，
解得a= ，b=2，
∴ab= ，
∵反比例函数y= （k≠0，x＞0）经过点C，点C的坐标为（a，b），
∴b= ，
∴k=ab=3．
故答案为：3．
三、解答题（共75分）
16．（12分）按要求解下列方程：
（1）x2+8x?9=0（配方法）
（2）2x2?4x ?1=0（公式法）
（3）3x（x?1）=2?2x．
【解答】解：（1）移项，得
x2+8x=9，
配方，得
x2+8x+16=9+16，
即（x+4）2=25，
x+4=±5，
x1=1，x2=?9；
（2）a=2，b=?4，c=?1，
△=b2?4ac=16?4×2×（?1）=24＞0，
x= = ，
x1=1+ ，x2=1? ；
（3）移项，得
3x（x?1）+2（x?1）=0
因式分解，得
（x?1）（3x+2）=0，
于是，得
x?1=0或3x+2=0，
解得x1=1，x2=? ．
17．（7分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．
（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；
（2）点B′的坐标为（ ?2 ， ?1 ）；
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（ ? ， ? ）．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（ 2）点B′的坐标为：（?2，?1）；
故答案为：?2，?1．
（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为：（? ，? ）．
故答案为：? ，? ．
18．（6分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【解答】解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率= ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率= ．
19．（8分）某公司从2018年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如表：
年 度 2018年 2018年 2018年 2018
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件）[来源:Zxxk.Com] 7.2 6 4.5 4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2018年已投入资金5万元．
①预计生产成本每件比2018年降低多少万元？
②若打算在2018年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）．
【解答】解：（1）反比例函数能表示其变化规律，
理由：∵2.5×7.2=18，3×6=18，4×4.5=18，4.5×4=18，
∴x与y成反比例，x与y的乘积为定值18，
∴y关于x的函数解析式为y= ；
（2）①当x=5时，y= =3.6，4?3.6=0.4（万元）
即预计生产成本每件比2018 年降低0.4万元；
②当y=3.2时，3.2= ，
解得，x=5.625≈5.63，
5.63?5=0.63（万元），
即还需要投入技改资金0.63万元．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC•CD=CP•BP；[来源:学科网]
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ = ，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴ = ．
∵AB=10，BC=12，
∴ = ，
∴BP= ．
21．（10分）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【解答】解：（1）（14?10）÷2+1=3（档次）．
答：此 批次蛋糕属第三档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：（2x+8）×（76+4?4x）=1080，
整理得：x2?16x+55=0，
解得：x1=5，x2=11（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是五档次的产品．
22．（10分）如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y= 的图象交于A（2，m），B（n，?2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC=5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞ 的解集；
（3）若P（p，y1），Q（?2，y2）是函数y= 图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．
【解答】解：（1）把A（2，m），B（n，?2）代入y= 得：k2=2m=?2n，
即m=?n，
则A（2，?n），
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，
∵A（2，?n），B（n，?2），
∴BD=2?n，AD=?n+2，BC=|?2|=2，
∵S△ABC= •BC•BD
∴ ×2×（2?n）=5，
解得：n=?3，
即A（2，3），B（?3，?2），
把A（2，3）代入y= 得：k2=6，
即反比例函数的解析式是y= ；
把A（2，3），B（?3，?2）代入y=k1x+b得：
，
解得：k1=1，b=1，
即一次函数的解析式是y=x+1；
（2）∵A（2，3），B（?3，?2），
∴不等式k1x+b＞ 的解集是?3＜x＜0或x＞2；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是 P≤?2，
当点P在第一象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P＞0，
即P的取值范围是p≤?2或p＞0．
23．（14分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【解答】解：（1）∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，
∴ ，
当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30，
∴ ，
∴S△PEF= EF•OE= （平方单位）；
（2）∵△BEF∽△BOA，
∴ ，
∴ ，
整理，得t2?30t+240=0，
∵△=302?4×1×240=?60＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值；
（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，
∴ ，即 ，
解得t=12；
当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，
∴ ，即 ，
解得 ．
∴当t=12或 时，△EOP与△BOA相似．
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