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湖北省十堰市2013年中考数学试卷
一、（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填在后面的括号里。
1．（3分）（2013•十堰）?2的值等于（　　）
　A．2B．? C． D．?2

考点：绝对值．
专题：．
分析：直接根据绝对值的意义求解．
解答：解：?2=2．
故选A．
点评：本题考查了绝对值：若a＞0，则a=a；若a=0，则a=0；若a＜0，则a=?a．
　
2．（3分）（2013•十堰）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（　　）

　A．18°B．36°C．45°D．54°

考点：平行线的性质．
分析：根据角平分线的定义求出∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠BCD．
解答：解：∵CE平分∠BCD，∠DCE=18°，
∴∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=36°．
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
　
3．（3分）（2013•十堰）下列运算中，正确的是（　　）
　A．a2+a3=a5B．a6÷a3=a2C．（a4）2=a6D．a2•a3=a5

考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据合并同类项法则，同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a6÷a3=a3，故本选项错误；
C、（a4）2=a8，故本选项错误；
D、a2•a3=a5，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的，合并同类项法则，幂的乘方的性质，理清指数的变化是解题的关键．
　
4．（3分）（2013•十堰）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

　A． B． C． D．

考点：简单组合体的三视图．
分析：左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案．
解答：解：所给图形的左视图为C选项说给的图形．
故选C．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题需要明白左视图是从左边看得到的视图．
　
5．（3分）（2013•十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2x?a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　）
　A．4B．?4C．1D．?1

考点：根的判别式．
专题：．
分析：根据根的判别式的意义得到△=22?4•（?a）=0，然后解方程即可．
解答：解：根据题意得△=22?4•（?a）=0，
解得a=?1．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2?4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
6．（3分）（2013•十堰）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5c，△ADC的周长为17c，则BC的长为（　　）

　A．7cB．10cC．12cD．22c

考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17c可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．
解答：解：根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC的周长为17c，AC=5c，
∴AD+DC=17?5=12（c），
∵AD=BD，
∴BD+CD=12c．
故选：C．
点评：此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
　
7．（3分）（2013•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（　　）

　A．8B．9C．10D．11

考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．
解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，
∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，
∴cos60°= = = ，
解得：BF=1.5，
故EC=1.5，
∴BC=1.5+1.5+5=8．
故选：A．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出BF=EC的长是解题关键．
　
8．（3分）（2013•十堰）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是（　　）
　A．8B．9C．16D．17

考点：规律型：图形的变化类．
分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，进而得出即可．
解答：解：由图可知：第一个图案有三角形1个．第二图案有三角形1+3=5个．
第三个图案有三角形1+3+4=8个，
第四个图案有三角形1+3+4+4=12
第五个图案有三角形1+3+4+4+4=16
故选：C．
点评：此题主要考查了图形的变化规律，注意由特殊到一般的分析方法．这类题型在中考中经常出现．
　
9．（3分）（2013•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（　　）

　A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=?8t+25
　B．途中加油21升
　C．汽车加油后还可行驶4小时
　D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升

考点：一次函数的应用．
分析：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b，将（0，25），（2，9）代入，运用待定系数法求解后即可判断；
B、由题中图象即可看出，途中加油量为30?9=21升；
C、先求出每小时的用油量，再求出汽车加油后行驶的路程，然后与4比较即可判断；
D、先求出汽车从甲地到达乙地需要的时间，进而得到需要的油量；然后用汽车油箱中原有的油量加上途中的加油量，再减去汽车行驶500千米需要的油量，得出汽车到达乙地时油箱中的余油量即可判断．
解答：解：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b．
将（0，25），（2，9）代入，
得 ，解得 ，
所以y=?8t+25，正确，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，途中加油：30?9=21（升），正确，故本选项不符合题意；
C、由图可知汽车每小时用油（25?9）÷2=8（升），
所以汽车加油后还可行驶：30÷8=3 ＜4（小时），错误，故本选项符合题意；
D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500÷100=5（小时），
∴5小时耗油量为：8×5=40（升），
又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升，
∴汽车到达乙地时油箱中还余油：25+21?40=6（升），正确，故本选项不符合题意．
故选C．
点评：本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度、时间之间的关系等知识，难度中等．仔细观察图象，从图中找出正确信息是解决问题的关键．
　
10．（3分）（2013•十堰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（?1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞?1时，y＞0，其中正确结论的个数是（　　）

　A．5个B．4个C．3个D．2个

考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；
由抛物线与x轴有两个交点得到b2?4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；
由抛物线过点（?1，0），得出a?b+c=0，即a=b?1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；
由a?b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；
由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．
解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（?1，0），
∴c=1，a?b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=? ＞0，
∴a与b异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2?4ac＞0，
∵c=1，∴b2?4a＞0，b2＞4a，正确；
④∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a?b+c=0，c=1，∴a=b?1，
∵a＜0，∴b?1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正确；
③∵a?b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正确；
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（?1，0），设另一个交点为（x，0），则x0＞0，
由图可知，当x0＞x＞?1时，y＞0，错误；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选B．
点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2?4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．
　
二、题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2013•十堰）我国南海面积约为350万平方千米，“350万”这个数用科学记数法表示为　3.5×106　．

考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于350万有7位，所以可以确定n=7?1=6．
解答：解：350万=3 500 000=3.5×106．
故答案为：3.5×106．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
　
12．（3分）（2013•十堰）计算： +（?1）?1+（ ?2）0=　2 　．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析：分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．
解答：解：原式=2 ?1+1
=2 ．
故答案为：2 ．
点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
　
13．（3分）（2013•十堰）某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为　3.1　．
分数54321
人数31222

考点：加权平均数．
分析：利用加权平均数的计算方法列式计算即可得解．
解答：解： ×（5×3+4×1+3×2+2×2+1×2）
= ×（15+4+6+4+2）
= ×31
=3.1．
所以，这10人成绩的平均数为3.1．
故答案为：3.1．
点评：本题考查的是加权平均数的求法，是基础题．
　
14．（3分）（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF= ，则AB的长是　1　．

考点：平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∵EF= ，
∴CE=2，
∴AB=1，
故答案为1．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
　
15．（3分）（2013•十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为　750 　米．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长．
解答：解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°?30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC•sin45°=375 （米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=750 （米）．
故答案为：750 ．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
　
16．（3分）（2013•十堰）如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当 ≤r＜2时，S的取值范围是　 ?1≤S＜ ? 　．

考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质．
分析：首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．
解答：解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG= = ．
设∠DCG=θ，则由题意可得：
S=2（S扇形CDE?S△CDG）=2（ ? ×1× ）= ? ，
∴S= ? ．
当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．
当r= 时，DG= =1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S= ? = ?1；
若r=2，则DG= = ，∵CG=1，故θ=60°，
∴S= ? = ? ．
∴S的取值范围是： ?1≤S＜ ? ．
故答案为： ?1≤S＜ ? ．

点评：本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、勾股定理等重要知识点．解题关键是求出S的函数表达式，并分析其增减性．
　
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2013•十堰）化简： ．

考点：分式的混合运算．
分析：首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简求出即可．
解答：解：原式= × +
= +
=1．
点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确将分式的分子与分母分解因式是解题关键．
　
18．（6分）（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题：证明题．
分析：利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．
解答：证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD与△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C．
　
19．（6分）（2013•十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的与乙打一篇900字的所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？

考点：分式方程的应用．
专题：．
分析：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，再由甲打一篇1000字的与乙打一篇900字的所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案．
解答：解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，
由题意得， = ，
解得：x=45，
经检验：x=45是原方程的解．
答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等量关系建立方程，注意不要忘记检验．
　
20．（9分）（2013•十堰）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（1）班的学生人数为　40　，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中=　10　，n=　20　，表示“足球”的扇形的圆心角是　72　度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．

考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析：（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可；
（2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到、n的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以360°即可；
（3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%=40（人），
喜欢足球的人数为：40?4?12?16=40?32=8（人），
补全统计图如图所示；

（2）∵ ×100%=10%，
×100%=20%，
∴=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；
故答案为：（1）40；（2）10；20；72；

（3）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
所以，P（恰好是1男1女）= = ．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
21．（6分）（2013•十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[?π]=?4．
（1）如果[a]=?2，那么a的取值范围是　?2≤a＜?1　．
（2）如果[ ]=3，求满足条件的所有正整数x．

考点：一元一次不等式组的应用．
专题：新定义．
分析：（1）根据[a]=?2，得出?2≤a＜?1，求出a的解即可；
（2）根据题意得出3≤[ ]＜4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解．
解答：解：（1）∵[a]=?2，
∴a的取值范围是?2≤a＜?1，

（2）根据题意得：
3≤[ ]＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为5，6．
点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．
　
22．（7分）（2013•十堰）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
类型 价格进价（元/盏）售价（元/盏）
A型3045
B型5070
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用．
专题：销售问题．
分析：（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100?x）盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
解答：解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100?x）盏，
根据题意得，30x+50（100?x）=3500，
解得x=75，
所以，100?75=25，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；

（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
则y=（45?30）x+（75?50）（100?x），
=15x+2000?20x，
=?5x+2000，
∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴100?x≤3x，
∴x≥25，
∵k=?5＜0，
∴x=25时，y取得最大值，为?5×25+2000=1875（元）
答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．
点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．
　
23．（10分）（2013•十堰）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（，?2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移 个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．

考点：反比例函数综合题．
分析：（1）设反比例函数的解析式为y= （k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．
解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y= （k＞0），
∵A（，?2）在y=2x上，
∴?2=2，
∴=?1，
∴A（?1，?2），
又∵点A在y= 上，
∴k=?2，
∴反比例函数的解析式为y= ；

（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为?1＜x＜0或x＞1；

（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（?1，?2），
∴OA= = ，
由题意知：CB∥OA且CB= ，
∴CB=OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y= 上，
∴n=1，
∴C（2，1），
OC= = ，
∴OC=OA，
∴四边形OABC是菱形．
点评：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题．
　
24．（10分）（2013•十堰）如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

考点：切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：计算题．
分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；
（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH?BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值．
解答：（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圆O与CB相切于点E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH= AB=3，
∴CH= =4，
∵点O在高CH上，圆O过点H，
∴圆O与AB相切于H点，
由（1）得圆O与CB相切于点E，
∴BE=BH=3，
如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴ = ，即 = ，
解得：EF= ，
∴S△BHE= BH•EF= ×3× = ，
在Rt△BEF中，BF= = ，
∴HF=BH?BF=3? = ，
则tan∠BHE= =2．

点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
　
25．（12分）（2013•十堰）已知抛物线y=x2?2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（?1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（?4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点，当∠PA=∠E时，求点Q的坐标．

考点：二次函数综合题．
分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；
（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；
（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，
设Q（，n），根据点Q在y=x2?2x?3上，得到? ?2=2?2?3，求得、n的值后即可求得点Q的坐标．
解答：解：（1）把x=?1，y=0代入y=x2?2x+c得：1+2+c=0
∴c=?3
∴y=x2?2x?3=y=（x?1）2?4
∴顶点坐标为（1，?4）；

（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，
由x2?2x?3=0得x=?1或x=3
∴B（3，0）
当x=0时，y=x2?2x?3=?3
∴C（0，?3）
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
BC=3
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD= ，
∴∠BCD=180°?∠OCB?∠FCD=90°．
∴∠BCD=∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°，

（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点
∵∠PA=45°，
∴∠EH=45°，
∴∠HE=90°，
∴∠PHB=90°，
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°，
∴∠DBG=∠ONP
又∵∠DGB=∠PON=90°，
∴△DGB=∠PON=90°，
∴△DGB∽△PON
∴
即： =
∴ON=2，
∴N（0，?2）
设直线PQ的解析式为y=kx+b
则
解得：
∴y=? x?2
设Q（，n）且n＜0，
∴n=? ?2
又∵Q（，n）在y=x2?2x?3上，
∴n=2?2?3
∴? ?2=2?2?3
解得：=2或=?
∴n=?3或n=?
∴点Q的坐标为（2，?3）或（? ，? ）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．

山
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