泰州市靖江实验学校2012-2013学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在下表相应位置上）
1．（3分）使 有意义的x的取值范围是（　　）
　A． B． C．x≥ D．x≥

考点：二次根式有意义的条件．.
专题：．
分析：根据二次根式的被开方数为非负数即可解答．
解答：解：由二次根式有意义得：3x?4≥0，
解得：x≥ ．
故选D．
点评：本题考查二次根式有意义的条件，难度不大，注意掌握二次根式的被开方数为非负数．
　
2．（3分）（2006•无锡）设一元二次方程x2?2x?4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（　　）
　A．x1+x2=2B．x1+x2=?4C．x1x2=?2D．x1x2=4

考点：根与系数的关系．.
分析：根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2= ，x1x2= ．
解答：解：这里a=1，b=?2，c=?4，
根据根与系数的关系可知：x1+x2=? =2，x1•x2= =?4，
故选A
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．
　
3．（3分）（2010•随州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（　　）
　A． B． C． D．

考点：锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．.
分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
解答：解：由题意，设BC=4x，则AB=5x，AC= =3x，
∴tanB= = = ．
故选B．
点评：本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．通过设参数的方法求三角函数值．
　
4．（3分）下列命题中正确的是（　　）
　A．一组对边平行的四边形是平行四边形
　B．两条对角线相等的平行四边形是矩形
　C．两边相等的平行四边形是菱形
　D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

考点：命题与定理．.
专题：．
分析：两组对边平行的四边形是平行四边形；
两条对角线相等的四边形是矩形；
邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形．
解答：解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项错误．
B、两条对角线相等的四边形是矩形，故本选项正确．
C、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误．
D、对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，要熟记这些判定定理．
　
5．（3分）点P到⊙O的圆心O的距离为d，⊙O的半径为r，d与r的值是一元二次方程x2?3x+2=0的两个根，则点P与⊙O的位置关系为（　　）
　A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P不在⊙O上

考点：点与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．.
分析：求解方程求得方程的两个根即可得到d与r的值，然后做出判断即可．
解答：解：解方程x2?3x+2=0得：x=1或x=2，
∵d≠r，
∴点P不在⊙O上，
故选D．
点评：本题考查了点与圆的位置关系及用因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是正确的解方程．
　
6．（3分）当b＜0时，化简 等于（　　）
　A．2b?1B．?1C．1?2bD．1

考点：二次根式的性质与化简；绝对值．.
专题：．
分析：由于b＜0，直接利用二次根式的基本性质进行化简，再由绝对值的一般性质知b=?b， =1?b，再代入所求代数式，即可得所求结果．
解答：解：∵b＜0，
∴得b=?b，b?1＜0，
∴ =1?b，
∴ =?b+1?b=1?2b．
故选C．
点评：本题主要考查二次根式的简单性质，对简单的二次根式进行化简，是中考中的常考内容，要引起注意．
　
7．（3分）如图，⊙O的直径CD=5c，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为，tan∠OB= ，则AB的长是（　　）

　A．2cB．3cC．4cD．2 c

考点：垂径定理；解直角三角形．.
分析：在直角三角形OB中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OB，由tan∠OB的值设出O=3xc与B=4xc，再由直径CD的长求出半径OB的长，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出B的长，再由CD垂直于AB，利用垂径定理得到为AB的中点，即可求出AB的长．
解答：解：在Rt△OB中，tan∠OB= = ，
设O=3xc，B=4xc，由直径CD=5c，得到OB=2.5c，
根据勾股定理得：OB2=O2+B2，即6.25=9x2+16x2，
解得：x=0.5，
则B=4x=2c，
∵AB⊥DC，
∴为AB的中点，即A=B= AB，
则AB=2B=4c．
故选C．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
　
8．（3分）如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（　　）

　A．7个B．8个C．9个D．10个

考点：等腰三角形的判定；正方形的性质．.
专题：计算题；压轴题．
分析：根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
解答：解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，
综上，直线AB上会发出警报的点P有7个．
故选A

点评：此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
　
二、题（每题3分，共30分）
9．（3分） =　2 　．

考点：二次根式的乘除法．.
专题：计算题．
分析：根据二次根式的除法法则进行运算，然后将二次根式化为最简即可．
解答：解：原式=
=
=2 ．
故答案为：2 ．
点评：本题考查了二次根式的除法运算，属于基础题，掌握二次根式的除法法则及二次根式的化简是关键．
　
10．（3分）（2012•历下区二模）己知α是锐角，且 ，则α=　45°　．

考点：特殊角的三角函数值．.
专题：计算题．
分析：直接根据sin60°= 进行解答即可．
解答：解：∵sin60°= ，α是锐角，且 ，
∴α+15°=60°，
解得α=45°．
故答案为：45°．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
　
11．（3分）小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了100，则他升高了　20 　．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.
分析：首先根据题意画出图形，由小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了100，利用坡度的意义，根据三角函数的定义，即可求得答案．
解答：解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵坡度为1：2，
∴i=tan∠B= = ，
∴sin∠B= ，
∵AB=100，
∴AE= =20 （）．
即他升高了20 ．
故答案为：20 ．

点评：此题考查了坡度坡角问题．此题难度不大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想的应用．
　
12．（3分）（2008•濮阳）某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40c，则对角线AC=　20　c．

考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理．.
分析：利用等腰梯形和中位线定理和已知条件，即可推出结论．
解答：解：∵等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF均为梯形的中位线，∴EF=HG=GF=EF= AC．
又∵EF+HG+GF+EF=40c，即2AC=40c，则AC=20c．对角线AC=20c．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质即三角形中位线的性质，属一般题目．
　
13．（3分）最简二次根式 与 是同类二次根式，则xy=　9　．

考点：同类二次根式．.
专题：计算题．
分析：由同类二次根式的定义得到根指数相等，被开方数相等，列出方程，求出x与y的值，即可确定出xy的值．
解答：解：根据题意得：x2?3=2x，y?1=2，且x2?3=2x≥0，
x2?2x?3=0，即（x?3）（x+1）=0，
解得：x=3或x=?1（舍去），y=3，
则xy=9．
故答案为：9
点评：此题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
　
14．（3分）关于x的方程x2?（2?1）x+?2=0有两个实数根，则的取值范围是　 且≠0　．

考点：根的判别式；一元二次方程的定义．.
分析：根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围．
解答：解：∵关于x的方程x2?（2?1）x+?2=0有两个实数根，
∴△=b2?4ac=（2?1） 2?4（?2）≥0，
解得：≥? ，
则的取值范围是≥? 且≠0．
故答案为： 且≠0．
点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2?4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的定义．
　
15．（3分）若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 c、深约为2 c的小坑，则该铅球的直径约为　14.5　c．

考点：垂径定理的应用；勾股定理．.
专题：．
分析：根据题意，把实际问题抽象成几何问题，即圆中与弦有关的问题，根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
解答：解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，AB=10，CD=2，OD是半径，且OC⊥AB，
∴AC=CB=5，
设铅球的半径为r，则OC=r?2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，OC2+AC2=OA2，
即（r?2）2+52=r2，
解得：r=7.25，
所以铅球的直径为：2×7.25=14.5 c．

点评：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（ ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
　
16．（3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=7，BE=1，cos∠AED= ，则CD=　2 　．

考点：垂径定理；勾股定理；解直角三角形．.
专题：计算题．
分析：过O作OF⊥CD，交CD于点F，利用垂径定理得到DF=CF，连接OD，有AE+BE求出AB的长，进而确定出OB的长，由OB?EB求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用锐角三角函数定义求出EF的长，利用勾股定理求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．
解答：解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，可得DF=CF，连接OD，
∵AE=7，BE=1，
∴OB=OD= AB= ×8=4，OE=OB?EB=3，
在Rt△OEF中，OE=3，cos∠AED= ，
∴EF=OEcos∠AED=2，根据勾股定理得：OF= = ，
在Rt△ODF中，根据勾股定理得：DF= = ，
则CD=2DF=2 ．
故答案为：2 ．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
　
17．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为　2.3　．

考点：梯形；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．.
专题：计算题．
分析：延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB=∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF=3，还可证明FG=4，由勾股定理得EG=5，则求得CE的长为2.3．
解答：解：延长AF至BC延长线上交于G点，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∵AF⊥AB，
∴∠ABE+∠AGB=90°，∠BAE+∠EAG=90°，
∴∠AGB=∠EAG，
∴∠ABE=∠AGE，
∴AE=EG，
∴GE=BE，
∴E为BG中点，
∴EF是△ABG的中位线，
故可得：EF= AB=3，FG=AF=4，
∴AG=8，
∴BG=10，
∴EG=5，
∵AF⊥AB，AE=BE，
∴点E是BG的中点，
∴EG=BE=5，
∴可得△EFG为直角三角形，
∴CE=EG?CG=EG?AD=5?2.7=2.3．
故答案为：2.3．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的性质和勾股定理，是一道综合题，难度较大．
　
18．（3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则sin∠APD的值是　 　．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．.
专题：网格型．
分析：首先连接BE，AE，过点A作AF⊥BE于点F，由勾股定理即可得AB=AE= ，BE= ，则可求得AF的长，继而可求得答案．
解答：解：如图，连接BE，AE，过点A作AF⊥BE于点F，
∵由题意得：AB= = ，AE= = ，BE= = ，
∴AE=AB，
∴BF= BE= ，
∴在Rt△ABF中，AF= = ，
∴sin∠ABF= = = ，
∵CD∥BE，
∴∠APD=∠ABE，
∴sin∠APD= ．
故答案为： ．

点评：此题考查了三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
三、解答题
19．（8分）计算： ．

考点：特殊角的三角函数值；实数的性质；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．.
专题：计算题．
分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（π?3.14）0=1，（? ）?1=?2．
解答：解：原式=1+（?2）+ ?4×
=1?2+3? ?
=2? ．
点评：本题考查的知识点是：任何不等于0的数的0次幂是1，a?p= ．
　
20．（8分）先化简，再求值：（ ） ，其中a满足a2+a?1=0．

考点：分式的化简求值．.
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分母利用平方差公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为运算，约分得到最简结果，由已知方程求出a的值，代入计算即可求出值．
解答：解：∵a2+a?1=0，即a2=?（a?1），
∴原式= ÷
= •
=
=
=?1．
点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
　
21．（8分）关于x的一元二次方程x2?x+p?1=0有两个实数根x1、x2．
（1）求p的取值范围；
（2）若 ，求p的值．

考点：根的判别式；根与系数的关系．.
专题：计算题．
分析：（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2?4ac的意义得到△≥0，即12?4×1×（p?1）≥0，解不等式即可得到p的取值范围；
（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义得到x12?x1+p?1=0，x22?x2+p?1=0，则有x12?x1=?p+1=0，x22?x2=?p+1，然后把它们整体代入所给等式中得到（?p+1?2）（?p+1?2）=9，解方程求出p，然后满足（1）中的取值范围的p值即为所求．
解答：解：（1）∵方程x2?x+p?1=0有两个实数根x1、x2，
∴△≥0，即12?4×1×（p?1）≥0，解得p≤ ，
∴p的取值范围为p≤ ；
（2）∵方程x2?x+p?1=0有两个实数根x1、x2，
∴x12?x1+p?1=0，x22?x2+p?1=0，
∴x12?x1=?p+1=0，x22?x2=?p+1，
∴（?p+1?2）（?p+1?2）=9，
∴（p+1）2=9，
∴p1=2，p2=?4，
∵p≤ ，
∴p=?4．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2?4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．
　
22．（8分）如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．

考点：圆心角、弧、弦的关系．.
专题：证明题．
分析：连接BO，OD，利用等腰三角形性质证圆心角相等，即可得出AB=CD．
解答：解：连接BO，OD，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵∠A=∠C，
∴∠AOB=∠COD，
∴AB=CD．

点评：此题主要考查了圆周角定理和等弧对等弦，以及全等三角形的判定和性质．
　
23．（10分）（2006•上海）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB= ．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠EDC的值．

考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．.
专题：计算题．
分析：（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长；
（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C=∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值．
解答：解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，
在Rt△ABD中，
∵sinB= ，AD=12，
∴ ，
∴AB=15，
∴BD= ，
又∵BC=14，
∴CD=5；

（2）在Rt△ACD中，
∵E为斜边AC的中点，
∴ED=EC= AC，
∴∠C=∠EDC，
∴tan∠EDC=tanC= ．
点评：此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点．
　
24．（10分）国家为了加强对房地产市场的宏观调控，抑制房价的过快上涨，规定购买新房满5年后才可上市转卖，对二手房买卖征收差价的x%的附加税．某城市在不征收附加税时，每年可成交10万套二手房；征收附加税后，每年减少0.1x万套二手房交易．现已知每套二手房买卖的平均差价为10万元．如果要使每年征收的附加税金为16亿元，并且要使二手房市场保持一定的活力，每年二手房交易量不低于6万套．问：二手房交易附加税的税率应确定为多少？

考点：一元二次方程的应用．.
分析：国家征收的附加税金总额=二手房的销售额（即单价×销售量）×征收的税率．以此可得出方程，然后根据“不低于6万套”舍去不合题意的解．
解答：解：设税率应确定为x%，
根据题意得10（10?0.1x）•x%=16，
x2?100x+1600=0，
解得x1=80，x2=20，
当x2=80时，10?0.1×80=2＜6，不符合题意，舍去，
x1=20时，100?0.1×20=8＞6，
答：税率应确定为20%．
点评：此题考查了一元二次方程的应用，此题不仅是一道实际问题，而且结合了现在房价问题，是一个比较典型的题目．
　
25．（10分）（2011•宁波）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质．.
专题：证明题；压轴题．
分析：（1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE= AB，DF= CD．
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴DE=BE，
∵四边形DFBE是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．
　
26．（10分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据： ≈1.732）
（1）若修建的斜坡BE的坡度为1：0.8，则平台DE的长为　14.0　米；
（2）斜坡前的池塘内有一座建筑物GH，小明在平台E处测得建筑物顶部H的仰角（即∠HE）为30°，测得建筑物顶部H在池塘中倒影H′的俯角为45°（即∠H′E），测得点B、C、A、G、H、H′在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的长．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
分析：（1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长；
（2）首先设GH=x米，由三角函数的定义，即可求得GH的长，继而求得答案．
解答：解：（1）∵F∥CG，
∴∠BDF=∠BAC=30°，
∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，
∴BD=30米，
∴DF=BD•cos∠BDF=30× =15 ≈25.98（米），BF=BD•sin∠BDF=30× =15（米），
∵斜坡BE的坡度为1：0.8，
∴ = ，
解得：EF=12（米），
∴DE=DF?EF=25.98?12≈14.0（米）；
故答案为：14.0；

（2）设GH=x米，
则H=GH?G=x?15（米），GH′=GH=x米，H′=GH′+G=x+15（米），
在Rt△EH中，tan30°= = ，
在Rt△EH′中，tan45°= =1，
∴ = ，
即 = ，
解得：x=56.0，
即GH=56.0米，
∵∠BEF=∠DEH′=45°，
∴EF=BF=15（米），
∴E=H′=x+15=71.0（米），
∴F=EF+E=15+71.0=86.0（米），
∴CG=F=86.0米，
∵AC=AB•cos30°=60× =30 ≈52.0（米），
∴AG=CG?AC=86.0?52.0=34.0（米）．
答：建筑物GH的高为56.0米，AG的长约为34.0米．

点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
　
27．（12分）（2011•盘锦）已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．
（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；
（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．

考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．.
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB（SAS）证明△AGD≌△AEB即可；
（2）当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长；
（3）当∠CEF=90°时，延长CE交AG于，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=C?E，在Rt△AE和Rt△AC中求解C和E的长即可．
解答：解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，
∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AD=AB．
∴AG=AE．
∴△AGD≌△AEB．（3分）

（2）解法一：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）

作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．
∴∠CDH= ∠CDF=60°，CH= CF．
在Rt△CDH中，
∵CH=DCsin60°=5× = ，（6分）
∴CF=2CH=5 ．（7分）
解法二：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，（4分）
连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O．
由题意，知AF=AC，∠FAC=60°．
∴△AFC是等边三角形．
∴FC=AC．
由已知，∠DAO= ∠BAD=30°，AC⊥BD，
∴AO=ADcos30°= ．（6分）
∴AC=2AO=5 ．
∴FC=AC=5 ．（7分）

（3）如图（2），当∠CEF=90°时，（8分）
延长CE交AG于，连接AC．
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG．
∵∠CEF=90°，
∴∠GE=90°．
∴∠AE=90°．（9分）
在Rt△AE中，AE=5，∠AE=60°，
∴A=AEcos60°= ，E=AEsin60°= ．
在Rt△AC中，易求AC=5 ，
∴C= = ．
∴EC=C?E= ? ，
= （ ? ）．（11分）
∴S△CEF= •EC•EF= ．（12分）
点评：本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大．
　
28．（12分）如图，已知△ABC中，AB=10c，AC=8c，BC=6c，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2c/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1c/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，△APQ是直角三角形？
（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）把△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形？若能，求出此时菱形的面积；若不能，请说明理由．

考点：相似形综合题．.
专题：压轴题．
分析：（1）表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况，利用∠A的余弦列式计算即可得解；
（2）先求出△ABC的面积，然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△＜0，确定不存在；
（3）根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角可得关于AB翻折时，∠A=∠APQ，过点Q作QD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD= AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出DQ，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解；关于AC翻折时，∠A=∠AQP，过点P作PE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE= AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出PE，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解．
解答：解：（1）∵点P的速度为2c/s，点Q的速度为1c/s，
∴AP=10?2t，AQ=t，
如图1，∠AQP=90°时，cos∠A= = ，
∴ = ，
解得t= ，
如图2，∠APQ=90°时，cos∠A= = ，
∴ = ，
解得t= ，
综上所述，t= 或 时，△APQ是直角三角形；

（2）△ABC的面积= AC•BC= ×8×6=24c2，
假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则点P到AQ的距离为：AP•sin∠A=（10?2t）× = （10?2t），
∴△APQ的面积= t• （10?2t）= ×24，
整理得，t2?5t+20=0，
∵△=（?5）2?4×1×20=25?80=?55＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

（3）根据菱形的性质，若关于AB翻折时，则∠A=∠APQ，
如图1，过点Q作QD⊥AB于D，则AD= AP= （10?2t）=5?t，
cos∠A= = ，
∴ = ，
解得t= ，
∴DQ=AQ•sin∠A= × = ，
AP=10?2t=10?2× = ，
∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ；
若关于AC翻折时，则∠A=∠AQP，
如图2，过点P作PE⊥AC于E，则AE= AQ= ，
cos∠A= = ，
∴ = ，
解得t= ，
∴PE=AP•sin∠A=（10?2× ）× = × = ，
∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ；
综上所述，△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能是菱形，
菱形的面积为 或 ．

点评：本题是相似形综合题型，主要考查了锐角三角函数，三角形的面积，菱形的对角相等，对角线平分一组对角的性质，（1）（3）两题难点在于要分情况讨论求解，（2）利用根的判别式判断即可，综合题，但难度不大．

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