第三章 证明（三）检测题
【本试卷满分100分，测试时间90分钟】
一、（每小题3分，共30分）
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 O，若BD、AC的和为18 c，CD?DA=2?3，△AOB的周长为13 c，那么BC的长是（ ）
A.6 c B.9 c C.3 c D.12 c
2. 一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为（ ）
A.3 0° B. 45° C. 60° D. 75°
3.下列判定正确的是（ ）
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.两角相等的四边形是等腰梯形
C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
4.如图，梯形 中， ∥ ，∠ ∠ 90°， 分别是 的中点，若 c， c，那么 （ ）c.
A.4 B.5 C.6.5 D.9
5.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ）
A.相等 B.不相等 C.可能相等也可能不相等 D.无法比较
6.正方形具备而菱形不具备的性质是 （ ）
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角
7.从菱形的钝角顶点，向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）
A.150° B. 135° C. 120° D. 100°
8.顺 次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）
①平行四边形; ②菱形; ③等腰梯形; ④对角线互相垂直的四边形.
A.①③ B.②③C.③④ D.②④
9.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）
A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形
C.矩 形和正方形 D.菱形和正方形
10.矩形的边长为10 c和15 c，其中一个内角的角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ）
A.6 c和9 c B. 5 c和10 c
C. 4 c和11 c D. 7 c和8 c
二、题（每小题3分，共24分）
11.已知菱形的周长为40 c，一条对角线长为16 c，则这个菱形的面积是 .
12.如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，那么四边形EFCD的周长是 .

13.已知：如图，平行四边形ABCD中，AB = 12，AB边上的高为3，BC边上的高为6，则平行四边形ABCD的周长为 .
14.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠ ，则∠OAB= .
15.已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8 c，则这个菱形的周长为 .
16.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则∠ ________ ，∠ ________.
17.边长为 的正方形，在一个角剪掉一个边长为 的正方形，则所剩余图形的周长为 .
18.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 .顺次连接对角 线_______ 的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.
三、解答题（共46分）
19.（7分）如图，在四边形 中， ， ⊥ ， ⊥ ，垂足为 ， ，求证：四边形 是平行四边形.

20.（7分）如图，在△ 中，∠ ， ⊥ 于 ， 平分∠ ，交 于 ，交 于 ， ⊥ 于 ，求证：四边形 是菱形.

21.（ 7分）如图，已知正方形 ，过 作 ∥ ，∠ ， 交 于点 ，求证：

22.（8分）辨析纠错
已知：如图，△ 中， 是∠ 的平分线， ∥ ， ∥ .求证：四边形 是菱形.
对于这道题，小明是这样证明的：
证明：∵ 平分∠ ，∴ ∠1＝∠2（角平分线的定义）.
∵ ∥ ，∴ ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.
∴∠1＝∠3（等量代换）.
∴ （等角对等边）.同理可证 ，
∴ 四边形 是菱形 （菱形定义）.
老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？
（1）请你帮小明指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因）
（2）请你帮小明做出正确的解答.

23．（8分）如图，在平行四边形 中， ，E为 中点，求∠ 的度数.

24.（9分）如图，在△ 中，∠ 0°，BC 的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且 ．
⑴求证：四边形 是平行四边形；
⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形?并说明理由 ．

第三章 证明（三）检测题参考答案
一、
1.A 解析：因为 c，所以 c. 因为
△ 的周长为13 c，所以 c.又因为 ，所以 c.
2.B 解析：如图，梯形ABCD中， 高 则 所以∠ ，故选B.
3.C
4.A 解析：如图，作EG∥AB，EH∥DC，因为∠ ∠ ，所以∠ .因为四边形 和四边形 都是平行四边形，所以 .又因为 c， c，所以 c， ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得
c.

5.A 解析：如图，直角梯形 中， 是 的中点，设 是 的中点，连接 ，则 E是梯形 的中位线，所以 ∥ ，即 ⊥ .又 ，所以 是 的中垂线，所以 .
6.C
7.C 解析：如图，菱形 中 ⊥ 连接 ，因为 ，所以 是 的中垂线，所以 .所以三角形 是等边三角形，所以∠ ，从而∠ .
8.D 9.C 10.B
二、题
11. 解析：如图，菱形ABCD的周长为40 c， c，则 c， c，又OA⊥OB，所以 c.所以菱形的面积为 .
12.12 解析：由平行四边形 可得 ，∠ ∠OCB.
又∠ ∠ ，所以△ ≌△ ，所以 ， ，所以四边形 的周长 .
13.36 解析：由平行四边形的面积公式，得 ，即 ，解得 ，所以平行四边形 的周长为 .
14.40°
15.32 c 解析:由菱形有一个内角为120°，可知菱形有一个内角是60°，由题意可知菱形的边长为8 c，从而周长为 （c）.
16.90°，45° 解析:通过证明△FGA≌△ABC可得.
17.
18.平行四边形，互相垂直，相等，互相垂直且相等
三、简答题
19. 证明：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠ ∠ .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以△ADE≌△CBF，
所以∠ ∠ ，所以AD∥BC.
又因为 ，所以四边形ABCD是平行四边形.

20. 证明：∵ 平分∠ ， ∴ .
∵ ， ∴ ∥ . ∴ ∠ ∠ .
又∠ ∠ ， ∴ ∠ ∠ ，得 ，∴ .
又 ∥ ，得四边形 是平行四边形.
又 ，∴ 四边形 是菱形.
21. 证明：连结 交 于点 ，作 于 ，
∵ ∠ ，∴
∵ ⊥ ， ⊥ ， ∴ G∥
又 ∥ ，∴ 四边形 D是平行四边形， ∴ .
又 ，∴ ，∴ ∠ .
又∠ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ E，∴
22. 解：⑴小明错用了菱形的定义.
⑵改正：∵ ∥ ， ∥ ，∴ 四边形 是平行四边形.
∵ 平分∠ ，∴ ∠1＝∠2.
又∵ ∠3＝∠2，∴ ∠1＝∠3.
∴ ，∴ 平行四边形 是菱形.
23. 解法1：∵ 为 中点，∴ BC.
∵ ，∴
∴ ∠ ∠ ，∠ ∠ .
∵ 四边形 是平行四边形，∴ .
又 ，
∴ ，
∴
∴ .
解法2：如图，设F为AD的中点，连接EF.
因为 ，所以
又因为 ∥ ，所以四边形 是菱形.
所以∠ ∠
同理，∠ ∠
所以∠ ∠
24.（1）证明：由题意知 ，
∴ ∥ ，∴ .
∵ ，∴ .
又∵ ，∴ △ ≌△ ，∴ ，
∴ 四边形ACEF是平行四边形 ．
（2）解：当∠ 时，四边形 是菱形 ．理由如下：
∵ .
∵ 垂直平分 ，∴
又∵ ，∴ 四边形 是菱形．

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