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2012-2013学年广东省茂名市九年级（上）期末数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
　
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）．
1．（3分）（2012•无锡）sin45°的值等于（　　）
　A． B． C． D．1

考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．
解答：解：sin45°= ．
故选B．
点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．
　
2．（3分）（2011•泰州）一元二次方程x2=2x的根是（　　）
　A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=?2

考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：．
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x?2）=0，即可得x=0或x?2=0，则求得原方程的根．
解答：解：∵x2=2x，
∴x2?2x=0，
∴x（x?2）=0，
∴x=0或x?2=0，
∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．
故选C．
点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．
　
3．（3分）（2011•莆田）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（　　）
　A．15B．12C．12或15D．不能确定

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题：；压轴题．
分析：根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长；
解答：解：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立；
∴腰长为6，
∴周长为6+6+3=15．
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．
　
4．（3分）（2011•聊城）如图，空心圆柱的左视图是（　　）

　A． B． C． D．

考点：简单组合体的三视图．
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
解答：解：圆柱的主视图是矩形，里面有两条用虚线表示的看不到的棱，
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
　
5．（3分）（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

　A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点
　C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点

考点：线段垂直平分线的性质．
专题：．
分析：由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
解答：解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选C．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
　
6．（3分）（2011•义乌）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（　　）

　A．2cmB．1.5cmC．1.2cmD．1cm

考点：三角形中位线定理．
分析：三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；本题利用定理计算即可．
解答：解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，
∵BC的长为3cm，
∴DE=1.5．
故选B．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
　
7．（3分）（2011•咸宁）直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
　A． B． C． D．

考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象．
专题：图表型．
分析：根据题意有：xy=3；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C．
解答：解：∵ xy=3，
∴y= （x＞0，y＞0）．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
　
8．（3分）由于国家出台对房屋的限购令，我省某地的房屋价格原价为8400元/米2，通过连续两次降价a%后，售价变为6000元/米2，下列方程中正确的是（　　）
　A．8400（1?a2）=6000B．6000（1?a2）=8400C．8400（1+a）2=6000D．8400（1?a）2=6000

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：通过连续两次降价a%后，我省某地的房屋价格原价为8400元/米2，售价变为6000元/米2，可列方程．
解答：解：设连续两次降价a%，
8400（1?a%）2=6000．
故选D．
点评：本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程．
　
9．（3分）（2011•铜仁地区）下列命题中真命题是（　　）
　A．如果m是有理数，那么m是整数
　B．4的平方根是2
　C．等腰梯形两底角相等
　D．如果四边形ABCD是正方形，那么它是菱形

考点：命题与定理；有理数；平方根；正方形的性质；等腰梯形的性质．
专题：计算题．
分析：根据命题的定义：对一件事情做出判断的语句叫命题．正确的命题叫真命题，据此即对四个选项进行分析即可回答．
解答：解：A、如果m是有理数，那么m是整数是假命题，如2.1是有理数，但2.1不是整数，故本选项错误；
B、4的平方根是±2，故本选项错误；
C、等腰梯形两底角相等，应为等腰梯形同一底上的两个角相同，故本选项错误；
D、如果四边形ABCD是正方形，则其四条边相等，那么它是菱形，故本选项正确．
故选D．
点评：此题考查了命题的定义，包括真命题和假命题，还涉及有理数、平方根、梯形的性质、正方形的性质和菱形的判定．
　
10．（3分）图1为两个相同的矩形，若阴影区域的面积为10，则图2的阴影面积等于（　　）

　A．40B．30C．20D．10

考点：三角形的面积．
分析：由图和等底等高可知：图1、图2中，阴影面积都是矩形的面积的一半，即为10．
解答：解：根据三角形的面积公式以及两条平行线间的距离处处相等，可知：
图1中，两个三角形的面积和是矩形面积的一半．
图2中，阴影面积也是矩形的面积的一半，即为10．
故选D．
点评：注意：当三角形有相同高时，计算面积的时候，可以提取高，把底相加．
　
二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请你把答案填在横线的上方）．
11．（3分）（2011•南平）已知反比例函数y= 的图象经过点（2，5），则k=　10　．

考点：待定系数法求反比例函数解析式．
分析：将点（2，5）代入即可得出k．
解答：解：∵反比例函数y= 的图象经过点（2，5），
∴k=10．
故答案为10．
点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．
　
12．（3分）（2011•淮安）抛物线y=x2?2x+3的顶点坐标是　（1，2）　．

考点：二次函数的性质．
专题：压轴题．
分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解答：解：∵y=x2?2x+3=x2?2x+1?1+3=（x?1）2+2，
∴抛物线y=x2?2x+3的顶点坐标是（1，2）．
点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x?h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．
　
13．（3分）（2007•宿迁）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是　对角线互相平分的四边形是平行四边形　．

考点：命题与定理．
分析：把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．
解答：解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
　
14．（3分）（2011•莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=　2　cm．

考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题：计算题．
分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案．
解答：解：连接BD．
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C= （180°?∠ABC）=30°，
∴DC=2BD，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴DC=2AD，
∵AC=6，
∴AD= ×6=2，
故答案为：2．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD=BD和DC=2BD是解此题的关键．
　
15．（3分）定义新运算“*”．规则：a*b=a（a≥b）或者a*b=b（a＜b）如1*2=2，（?3）*2=2．若x2+x?1=0的根为x1、x2，则x1*x2的值为：　 　．

考点：根与系数的关系．
专题：压轴题；新定义．
分析：首先解方程求得方程的两个解，根据a*b=a（a≥b）或者a*b=b（a＜b）可以得到：x1*x2的值是两个根中的最大的一个．
解答：解：解方程x2+x?1=0
x= = ．
∵a*b=a（a≥b）或者a*b=b（a＜b）
∴x1*x2= ．
故答案为： ．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是理解a*b=a（a≥b）或者a*b=b（a＜b）．
　
三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分）．下面所有解答题都应写出文字说明、证明过程或演算步骤！
16．（7分）（2011•湘西州）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．

考点：全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等．
解答：证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．
　
17．（7分）（2007•柳州）如图所示，快下降到地面的某伞兵在灯光下的影子为AB．试确定灯源P的位置，并画出竖立在地面上木桩的影子EF．（保留作图痕迹，不要求写作法）

考点：中心投影．
专题：作图题．
分析：先连接伞兵的头和脚与对应的影子的直线，两直线的交点即为点P，过点P作过木桩顶端的直线与地面的交点即为F．
解答：解：

点评：本题考查平行投影和中心投影的作图，难度不大，体现了学数学要注重基础知识的新课标理念．解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
　
18．（7分）（2006•梧州）如图，在平行四边形ABCD中，BF=DE．求证：四边形AFCE是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：可由已知求证AF=CE，又有AF∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形AFCE是平行四边形．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵BF=DE，
∴AF=CE．
∵在四边形AFCE中，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
　
四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．
19．（7分）（2011•漳州）漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：

（1）请将以上两幅统计图补充完整；
（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有　96　人达标；
（3）若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？

考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
专题：图表型．
分析：（1）成绩一般的学生占的百分比=1?成绩优秀的百分比?成绩不合格的百分比，测试的学生总数=不合格的人数÷不合格人数的百分比，继而求出成绩优秀的人数．
（2）将成绩一般和优秀的人数相加即可；
（3）该校学生文明礼仪知识测试中成绩达标的人数=1200×成绩达标的学生所占的百分比．
解答：解：（1）成绩一般的学生占的百分比=1?20%?50%=30%，
测试的学生总数=24÷20%=120人，
成绩优秀的人数=120×50%=60人，
所补充图形如下所示：

（2）该校被抽取的学生中达标的人数=36+60=96． …（6分）
（3）1200×（50%+30%）=960（人）．
答：估计全校达标的学生有960人． …（8分）
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　
20．（7分）（2011•武汉）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）试用树状图或列表法中的一种列举出这辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．

考点：列表法与树状图法．
专题：数形结合．
分析：此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，至少有一辆车向左转有5种情况，根据概率公式求解即可．
解答：解法l：（1）根据题意，可以画出如下的“树形图”：

∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；（2）由（1）中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等
∴P（至少有一辆汽车向左转）= ．
解法2：根据题意，可以列出如下的表格：
左直右
左（左，左）（左，直）（左，右）
直（直，左）（直，直）（直，右）
右（右，左）（右，直）（右，右）
∴P（至少有一辆汽车向左转）= ．
点评：此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
　
五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分）．
21．（8分）（2011•盐城）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.732）

考点：解直角三角形的应用．
专题：压轴题．
分析：根据sin30°= ，求出CM的长，根据sin60°= ，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．
解答：解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，
∴sin30°= = ，
∴CM=15cm，
在直角三角形ABF中，sin60°= ，
∴ = ，
解得：BF=20 ，
又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，
∴四边形BFDM为矩形，
∴MD=BF，
∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20 +2≈51.6cm．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．

点评：这个题运用几何知识，和现实较为好的联系起来．
　
22．（8分）（2011•乌鲁木齐）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台），销售单价x（元）满足w=?2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时．?天的利润最大？最大利润多少？
（3）在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？

考点：二次函数的应用．
专题：．
分析：（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润．
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
（3）把y=150代入函数，求出对应的x的值，然后根据w与x的关系，舍去不合题意的值．
解答：解：（1）y=（x?20）（?2x+80），
=?2x2+120x?1600；（2）∵y=?2x2+120x?1600，
=?2（x?30）2+200，
∴当x=30元时，最大利润y=200元；（3）由题意，y=150，
即：?2（x?30）2+200=150，
解得：x1=25，x2=35，
又销售量W=?2x+80随单价x的增大而减小，
所以当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得150元的利润．
点评：本题考查的是二次函数的应用，（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．（3）由二次函数的值求出x的值．
　
23．（8分）（2011•大庆）如图所示，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时问x成反比例函数关系．
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系（要写出x的取值范围）；
（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟？

考点：反比例函数的应用；一次函数的应用．
分析：（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别令两个函数的函数值为30，解得两个x的值相减即可得到答案．
解答：解：（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），
该函数图象经过点（0，15），（5，60），

即 ，
∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x≤5），
设加热停止后反比例函数表达式为y= （a≠0），该函数图象经过点（5，60），
即 =60，
解得：a=300，
所以反比例函数表达式为y= （x≥5）；（2）由题意得： ，
解得x1= ，
，
解得x2=10，
则x2?x1=10? = ，
所以对该材料进行特殊处理所用的时间为 分钟．
点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
　
六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分）．
24．（8分）（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是　矩形　．

考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定．
专题：证明题．
分析：（2）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可；
（2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可．
解答：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是菱形．（2）解：∵DE∥CA，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE是矩形．
故答案为：矩形．
点评：本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键．
　
25．（8分）（2011•遂宁）如图：抛物线y=ax2?4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．

考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）由抛物线y=ax2?4ax+m的对称轴公式x=? ，即可求得其对称轴，又由点A、B关于对称轴对称，即可求得点B的坐标；
（2）由点A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边形ABPC是平行四边形，然后设点C（0，x）（x＜0），证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得抛物线顶点G坐标，然后设CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系数法即可求得CG的解析式，则可求得H的坐标，又由S△BCG=S△BHG+S△BHC，即可求得△BCG的面积．
解答：解：（1）对称轴是x=? =2，…（2分）
∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，
∴点B（3，0）；…（4分）（2）点A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，…（5分）
设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC= ，
∴BP= ，
在Rt△BOC中，BC= ，
∵ ，
∴BD= ，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…（7分）
∴BP2=BD•BC，
即 ，
∴ ，
∴x1= ，x2=? ，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0， ），…（8分）
∴y=ax2?4ax? ，
∵过点（1，0），
∴a?4a? =0，
解得：a=? ．
∴解析式是：y=? x2+ x? ；…（9分）（3）当x=2时，y= ，
顶点坐标G是（2， ），…（10分）
设CG的解析式是：y=kx+b，
∵过点（0， ）（2， ），
∴ ，
∴y= x? ，…（11分）
设CG与x轴的交点为H，
令y=0，则 x? =0，
得x= ，
即H（ ，0），…（11分）
∴BH=3? = ，
∴S△BCG=S△BHG+S△BHC= = = …（13分）

点评：此题考查了二次函数对称轴的求解方法，二次函数的对称性，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求解方法以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

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