南津中学2014级九年级上期末数学摸拟试题
(时间 120分钟 满分120分)
姓名 得分
A卷 (满分80分）
一．（共12小题，满分36分）
1．下列计算正确的是（　　）
　A． B． C． D．
2．下列二次根式中与 是同类二次根式的是（　　）
　A． B． C． D．
3．在函数 中自变量x的取值范围是（　　）
　A．x≤2B．x≤2且x≠0 C．x＜2且x≠0 D．x≥2
4．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）
　A．（x+2）2=3B．（x?2）2=3C．（x?2）2=5D．（x+2）2=5
5．已知x=0是二次方程（ +1）x2+ x + 42- 4 = 0的一个解，那么的值是（　　）
　A．0B．1C．- 1D．
6．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC
C． D．
7．（2011•丹东）某一时刻，身?1.6的小明在阳光下的影
长是0.4，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5，则该旗杆的高度是（　　）
　A．1.25B．8C．10D．20
8．（3分）（2012•济南）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A． B．
C． D．3　
9．河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1： （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（　　）
　A．5 米B．10米 C．15米D．10 米　

10．为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是0.5”，下列模拟实验中，不科学的是（　　）
　A．袋中装有1个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
　B．用计算器随机地取不大于10的正整数，计算取得奇数的概率
　C．随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
　D．如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针指向甲的概率

　 第10题 第11题 第12题
11．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（?1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）
　A． B． C． D． 　
12．如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC?BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（　　）
①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是 ．
　A．①②B．②③C．②③④D．①②③④　

二．题（共4小题，满分12分）
13．若 +（y+3）2=0，则x?y的值为　 　．　
14．七张同样的卡片上分别写着数字 ，将它们背面朝上，洗匀后任取一张卡片，所抽到卡片上的数字为无理数的概率是　 　．　
15．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线
相交于梯形中位线EF上一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为　 　．
16. 已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件 ， ，
， ，…，，依此类推，则 的值为 　　
三．解答题（共5小题，满分32分）
17．（6分）计算 　

18．（6分）如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
（参考数据：sin67.4°≈ ，cos67.4°≈ ，tan67.4°≈ ）

　
19．（6分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、?1、?2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字．
（1）用列表法求关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率；
（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率．

20．（6分）动脑想一想：
某旅行社为吸引市民组团去重庆黑山谷风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去重庆黑山谷风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去重庆黑山谷风景区旅游？

21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3 ，AE=3，求AF的长．

B卷（满分40分）
一、题（共4小题，满分12分）
1．设是方程x2-2012x +1 =0的一个实数根，则 的值为　 　．
2. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点， ，则BC的长度为　 　．

3. 已知a、b为有理数，、n分别表示 的整数部分和小数部分，且an+bn2=10，则
　 　．
4. 如图，在△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，
AD与BE相交于点F，
若△ABC的面积为21，则△ABF的面积为　 　．

三．解答题（共3小题，满分28分）
5．（8分）理解
如图，在 中，AD平分 ，求证： .
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，构造 ∽ ，则 .
于是小明得出结论：在 中，AD平分 ，则 .
（1）请完成小明的证明过程。

应用结论
（2）如图，在 中， AD平分
线段BD的长度为：
求线段CD的长度和 的值

6．（8分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．

7．（12分）如图，已知△ABC是边长为6c的等边三角形，动点P、Q同时从B、A两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1c/s，点Q运动的速度是2c/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）图（1），当t为何值时，AP=2AQ；
（2）图（2），当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）图（3），作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？
　

图（1） 图（2） 图（3）
参考答案与试题解析
　一．（共12小题，满分36分）
1．（3分）下列计算正确的是（　　）　
A． B． C． D．
考点：二次根式的乘除法；二次根式的加减法．
分析：根据二次根式的运算法则计算即可．
解答：解： , ，不能合并，故选C．
点评：此题主要考查二次根式的运算，注意正确计算．　
2．（3分）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（　　）
　A． B． C． D．
考点：同类二次根式．1848119
分析：根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
解答：解：A、 =2 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 = 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、 = 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、 =3 与 被开方数相同，故是同类二次根式．故选D．
点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．　
3．（3分）函数 中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≤2且x≠0 C．x＜2且x≠0 D．x≥2
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．1848119
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
解答：解：根据题意得： ，解得x≤2且x≠0．故选B．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．　
4．（3分）（2012•河北）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）
　A．（x+2）2=3B．（x?2）2=3C．（x?2）2=5D．（x+2）2=5
考点：解一元二次方程-配方法．1848119
分析：在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
解答：解：把方程x2+4x+1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=?1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=?1+4，配方得（x+2）2=3．故选A．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．X k B 1 . c o
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（3分）已知x=0是二次方程（ + 1）x2+ x + 42- 4 = 0的一个解，那么的值是（　　）
　A．0B．1C．- 1D．
考点：一元二次方程的解．1848119
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：把x=0代入方程（ +1）x2+ x + 42- 4 =0可得42- 4 = 0，解得= ，又≠ 故本题选B．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．　
6．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）

　A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC． D．
考点：相似三角形的判定．1848119
分析：由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当 时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．　
7．（3分）某一时刻，身?1.6的小明在阳光下的影长是0.4，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5，则该旗杆的高度是（　　）
　A．1.25B．10C．20D．8
考点：相似三角形的应用．1848119
专题：．
分析：设该旗杆的高度为x，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．
解答：解：设该旗杆的高度为x，根据题意得，1.6：0.4=x ：5，解得x=20（）．
即该旗杆的高度是20．故选C．
点评：本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．　
8．（3分）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　） wxkb1. co

　A． B． C． D．3
考点：锐角三角函数的定义．1848119
专题：网格型．
分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
解答：解：由图形知：tan∠ACB= = ，故选A．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．　
9．（3分）（2011•东营）河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1： （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（　　）
　A．5 米B．10米C．15米 D．10 米
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．1848119
分析：Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
解答：解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1： ；∴AC=BC÷tanA=5 米；故选A．
点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．　
10．（3分）为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是0.5”，下列模拟实验中，不科学的是（　　）
　A．袋中装有1个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
　B．用计算器随机地取不大于10的正整数，计算取得奇数的概率
　C．随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
　D．如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针指向甲的概率
考点：模拟实验．1848119
分析：分析每个试验的概率后，与原来掷一个质地均匀的骰子的概率比较即可．
解答：解：A、袋中装有1个红球一个绿球，它们出颜色外都相同，随机摸出红球的概率是 ，故本选项正确；
B、用计算器随机地取不大于10的正整数，取得奇数的概率是 ，故本选项正确；
C、随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ，故本选项正确；
D、将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，指针指向甲的概率是 ，故本选项错误；故选D．
点评：此题考查了模拟实验，选择和掷一个质地均匀的骰子类似的条件的试验验证掷一个质地均匀的骰子的概率，是一种常用的模拟试验的方法．　
11．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（?1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）

　A． B． C． D．

考点：位似变换．1848119
分析：根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE= （a+1），进而得出点B的横坐标．
解答：解：∵点C的坐标是（?1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，∴FO=a，CF=a+1，∴CE= （a+1），
∴点B的横坐标是：? （a+1）?1=? （a+3）．故选D．

点评：主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO=a，CF=a+1，CE= （a+1），是解决问题的关键．　
12．（3分）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC?BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（　　）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是 ．

　A．①②B．②③C．②③④D．①②③④

考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．1848119
专题：规律型．
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC?BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形； 故本选项错误；

②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形； ∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5= A3B3= × A1B1= × × AC，B5C5= B3C3= × B1C1= × × BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2× （a+b）= ；故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC?BD，∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是 ；故本选项正确；综上所述，②③④正确．故选C．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
　二．填空题（共4小题，满分12分）
13．若 +（y+3）2=0，则x?y的值为　7　．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．1848119
专题：常规题型．
分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
解答：解：根据题意得，x+y?1=0，y+3=0，解得x=4，y=?3，
∴x?y=4?（?3）=4+3=7．故答案为：7．
点评：本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．　
14．七张同样的卡片上分别写着数字 ，将它们背面朝上，洗匀后任取一张卡片，所抽到卡片上的数字为无理数的概率是　 　．　

考点：概率公式；无理数．1848119
分析：根据题意可得：14．（5分）七张同样的卡片上分别写着数字 ，将它们背面朝上，洗匀后任取一张卡片，所抽到卡片上的数字为无理数的概率是　 　．　
解答：解：P（无理数）= ．
点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率P（A）=
15．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为　12　．

考点：梯形中位线定理．1848119
分析：利用角平分线的性质和梯形中位线性质，可求出BE=EP，而AE=BE，所以AB=2EP，同理CD=2DF，所以可求出AB+CD的长，再利用梯形中位线定理可求出上下底之和，那么梯形周长可求．
解答：解：∵EF是梯形中位线，∴EF∥BC，AD+BC=2EF=6，∴∠EPB=∠PBC，
又∵BP是∠ABC的角平分线，∴∠EBP=∠PBC，∴∠EBP=∠EPB，∴BE=EP，
又∵E似AB中点，∴AE=BE，∴AB=2EP，同理CD=2FP，∴AB+CD=2（EP+FP）=2EF=6，
∴梯形周长=AD+BC+AB+CD=6+6=12．
点评：本题利用了角平分线性质，梯形中位线定理、以及梯形周长公式．
　16. 已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件 ， ， ， ，…，，依此类推，则 的值为 　?1006
考点：规律型：数字的变化类．1848119
专题：规律型．
分析：根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于? ，n是偶数时，结果等于? ，然后把n的值代入进行计算即可得解．
解答：解：a1=0，
a2=?a1+1=?0+1=?1，
a3=?a2+2=??1+2=?1，
a4=?a3+3=??1+3=?2，
a5=?a4+4=??2+4=?2，
…，
所以，n是奇数时，an=? ，n是偶数时，an=? ，a2012=? =?1006．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
　
三．解答题（共5小题，满分32分）
17．（6分）计算
考点：特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂．
专题：．
分析：（1）先根据数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）分别根据0指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：（1）原式=
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及实数的运算法则，熟练掌握数的开方法则、0指数幂及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
　
18．（6分）（2011•益阳）如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
（参考数据：sin67.4°≈ ，cos67.4°≈ ，tan67.4°≈ ）

考点：解直角三角形的应用．1848119
分析：根据sin∠DCB= ，得出CD的长，再根据矩形的性质得出DF=AB=8，AF=BD=6，进而得出拉线CDE的总长L．
解答：解：在Rt△DBC中，sin∠DCB= ，∴CD= =6.5（）．
作DF⊥AE于F，则四边形ABDF为矩形，∴DF=AB=8，AF=BD=6，∴EF=AE?AF=6，
在Rt△EFD中，ED= =10（）．∴L=10+6.5=16.5（）

点评：此题主要考查了解直角三角形以及矩形的性质，得出CD的长度以及EF的长是解决问题的关键．X k B 1 . c o
　
19．（6分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、?1、?2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字．
（1）用列表法求关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率；
（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率．

考点：列表法与树状图法；根的判别式．1848119
分析：（1）根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的情况数，根据即可概率公式求解；
（2）首先求得（1）中方程有两个相等实数解的情况，然后即可根据概率公式求解．
解答：解：（1）列表得：
（1，?2）（2，?2）（?1，?2）（?2，?2）
（1，?1）（2，?1）（?1，?1）（?2，?1）
（1，2）（2，2）（?1，2）（?2，2）
（1，1）（2，1）（?1，1）（?2，1）
∴一共有16种等可能的结果，
∵关于x的方程x2+bx+c=0有实数解，即 b2?4c≥0，
∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的有（1，?1），（1，?2），（2，1），（2，?1），（2，?2），
（?1，?1），（?1，?2），（?2，1），（?2，?1），（?2，?2）共10种情况，
∴关于x的方程x2+bx+c=0有实数解的概率为： = ；

（2）（1）中方程有两个相等实数解的有（?2，1），（2，1），
∴（1）中方程有两个相等实数解的概率为： = ．
点评：此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．
　
20．（6分）动脑想一想：
我市凤凰旅行社为支援灾区建设，准备吸引我市市民组团去四川省都江堰风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去四川省都江堰风景区旅游，共支付给凤凰旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去四川省都江堰风景区旅游？

考点：一元二次方程的应用．1848119
专题：．
分析：首先根据共支付给凤凰旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去都江堰风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x?25）人，每人降低20元，共降低了20（x?25）元．实际每人收了[1000?20（x?25）]元，列出方程求解．
解答：解：设该单位去风景区旅游人数为x人，则人均费用为1000?20（x?25）元
由题意得 x[1000?20（x?25）]=27000 整理得x2?75x+1350=0，解得x1=45，x2=30．
当x=45时，人均旅游费用为1000?20（x?25）=600＜700，不符合题意，应舍去．
当x=30时，人均旅游费用为1000?20（x?25）=900＞700，符合题意．
答：该单位去风景区旅游人数为30人．
点评：考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．　
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：∠DAF=∠CDE；
（2）若AB=4，AD=3 ，AE=3，求AF的长．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．1848119
专题：探究型．
分析：（1）先根据四边形ABCD是平行四边形，得出AD∥BC，∠B=∠ADC，再由∠AFE=∠B可得出∠AFE=∠ADC，通过等量代换可得出∠DAF=∠CDE；
（2）先由四边形ABCD是平行四边形，可得出AD∥BC，CD=AB=4，再由AE⊥BC，得出AE⊥AD，由勾股定理求出DE的长，由△ADF∽△DEC可得出两三角形的边对应成比例，进而可得出AF的长．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠ADE=∠DEC，∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC，
∵∠AFD=180°?∠AFE，∠C=180°?∠ADC，∴∠AFD=∠C，∴∠DAF=∠CDE；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，DE= = =6
∵△ADF∽△DEC，∴ = ，∴ = ，∴AF=2 ．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理及平行四边形的性质，此题有一定的综合性，难度适中．

加试卷（40分）
一、填空题（每题3分，共12分）
1．设是方程x2-2012x +1 =0的一个实数根，则 的值为　 　．
考点：一元二次方程的解．1848119
专题：计算题．
分析：先根据一元二次方程的解的定义得到2-2012+1=0，变形有2=2012-1，则
2+1=2012， ，再利用整体思想进行计算．
解答：解：∵是方程x2-2012x+1=0的根，∴2-2012+1=0，∴2=2012-1，故答案为2011．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程的解及整体代入法．
2.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，
, 则BC的长度为　 　．
3.已知a、b为有理数，、n分别表示 的整数部分和
小数部分，且an+bn2=10，则 　 　．
考点：估算无理数的大小．1848119
分析：只需首先对5? 估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用5? ?a表示．再分别代入an+bn2=1进行计算．
解答：解：因为2＜ ＜3，所以2＜5? ＜3，故=2，n=5? ?2=3? ．
把=2，n=3? 代入an+bn2=1得，2（3? ）a+（3? ）2b=10
化简得（6a+16b）? （2a+6b）=10，等式两边相对照，因为结果不含 ，
所以6a+16b=10且2a+6b=0，解得a=15，b=?5．所以 15?（-5）=20．故答案为：20
点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
4.如图，在△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，
AD与BE相交于点F，若△ABC的
面积为21，则线段△ABF的面积为　 6 　．

二、解答题（本大题3小题，共28分）
5．（8分）如图，在 中，AD平分 ，求证： .
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，构造 ∽ ，则 .
于是小明得出结论：在 中，AD平分 ，则 .
（1）请完成小明的证明过程。
考点：相似三角形的判定与性质．1848119
专题：证明题．
分析：先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有 ，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．
解答：解：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，∴ ，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，
∴ ．

点评：本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．
　
6．（8分）（2012•河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．1848119
分析：（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆．
（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况．

解答：解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，
则125（1+x）2=180，解得x1=0.2=20%，x2=?2.2（不合题意，舍去）∴180（1+20%）=216（辆），
答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆；

（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则 ，
由①得b=150?5a，代入②得20≤a≤ ，∵a是正整数，∴a=20或21，
当a=20时b=50，当a=21时b=45．
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出2012年的家庭电动自行车量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解．　

7．（12分）如图，已知△ABC是边长为6c的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1c/s，点Q运动的速度是2c/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）图（1），当t为何值时，AP=2AQ；
（2）图（2），当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）图（3），作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？
考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质；解直角三角形．1848119
专题：动点型．
分析：（1）当t时，可分别计算出AP、AQ的长，再对△BPQ的形状进行判断；
（2）由题目线段的长度可证得△CDQ为等边三角形，进而得出四边形EPDQ是矩形，由△APD∽△PDQ，可得出∠QPD=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．

解答：解：（1）t=
（2）t=3或
（3）t=2或

（4）
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．

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