“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．
分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略．
解题时何时需要进行分类?一般说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．
【例题求解】
【例1】 四条线段的长分别为9，5， ，1(其中 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中 的两条线段(如图)，则 可取值的个数为 ．
( “信利杯”竞赛题)
注：初中数学常见的分类方法有：
(1)按定义、性质、法则、公式分类；
(2)对参数分类；
(3)按图形位置分类；
(4)按图形特征分类；
(5)按余数分类．
注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．
【例2】 方程 的所有整数解的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(东省选拔赛试题)
思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3) 的偶次幂等于1．

【例3】 试确定一切有理数 ，使得关于 的方程 有根且只有整数根．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 根据方程定义， 是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以，应对r=0及 ≠0两种情况分类求解．

【例4】 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B和∠C都为锐角，为AB边上的一动点(与点A、B不重合)．过点作N∥BC，交AC于点N．设N= ．
(1)用 表示△AN的面积S△AN；
(2)用△AN沿N折叠，使△AN紧贴四边形BCN(边A、AN落在四边形BCN所在的平面内)，设点A落在平面BCN内的点为A′，△A′N与四边形BCN重叠部分的面积为 ．①试求出 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；②当 为何值时重叠部分的面积 最大，最大为多少?
(苏州市中考题)
思路点拨 折叠△AN，A点位置不确定，可能在△ABC内或在BC边上或在△ABC外，故需按以上三种情况分别求出 关于 的函数关系式，进而求出 的最大值．

注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类，最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系．
【例5】 已知⊙Ol与⊙O2外切，⊙Ol的半径R=2，设⊙O2的半径是r．
(1)如果⊙Ol与⊙O2的圆心距d=4，求r的值；
(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切线中有两条互相垂直，并且r≤R，求r的值．
(南京市中考题)
思路点拨 题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一，故应分类讨论．

注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形：
(1)由点的不确定定引起的分类讨论；
(2)由图形全 等或相似的对应关 系的不确定性引起的分类讨论；
(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论．
学力训练
1．已知m为实数，如果函数 的图象与 轴只有一个交点，那么m的取值为 ．
2．若实数 、 满足 ， ，则 的值为 ．
3．若半径为5和4的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于 ．
4．已知⊙O和不在⊙O上的一点P，过P直线交⊙O于A、B点，若PA•PB=4，OP=5，则⊙O的半径为 ．
5．和抛物线 只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为( )
A． B． C． 或 D．
6．若线段AB两端点到直线 的距离分别为4和8，则AB的中点到直线 的距离是( )
A．2 B．4 C．6 D．2或6
7．点A(-4，0)，B(2，0)是 坐标平面上两定点，C是 的图象上的动点，则满足上述条的直角△ABC可以画出( )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
8．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的P点有( )
A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个

9．已知关于 的方程 ．
(1)求证：无论 是取何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长为 、 恰 好是这个方 程的两个根，求此三角形的周长．
(湖北赛区选拔赛试题)
10．已知：如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果 不相似，请说明理由；
（4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值（只需写出结果，不必写出解答过程）
(黄冈市中考题)

11．以O为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm和5cm，⊙O′与这两个圆都相切，则⊙O′的半径是 ．
12．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在 直线相交所得的锐角为50°，则底角B的大小为 ．
13．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是 ．
(北京市宣武区中考题)

14．已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，(0，m)，其中m<6，以为圆心，C为半径作圆，那么当m= 时，⊙与直线AB相切．
15．关于 的方程 有有理根，求整数是的值．
(东赛区选拔赛试题)
16．华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；
(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
(3)若一次购物 超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?
(江苏省竞赛题)
17．如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的 周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
(3)试问：在AB上是否存在点，使得△PQ为等腰直角三角形 ?若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．

18．已知关于 的方程 (q≥0)的两个实数根为 ， 且 ≤ ．
(1)试用含有 ， 的代数式表示 和 ；
(2)求证： ≤1≤
(3)若以 ， 为坐标的点( ， )在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A(1，2)，B( ，1)，C(1，1)，问是否存在点使 + = ，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(天津市中考题)
19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．
(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 ；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式 ．
(2)认定市场售价减去 种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102?，时间单位：天)

参考答案

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