27.2 与圆有关的位置关系
27.2.1 点和圆的位置关系
【学习目标】
1．掌握点和圆的位置关系，能根据点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点与圆的位置关系；
2．理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，掌握不在同一直线上的三个点作
圆的方法并掌握它的运用.
3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
【学习重难点】
重点：点和圆的位置关系，不在同一直线上的三个点确定一个圆及其它们的运用：
难点：理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，掌握不在同一直线上的三个点作
圆的方法并掌握它的运用.
【学法指导】
本节课的学习中注重学生动手操作并让学生发现有关结论.
【自学互助】
自学教材P46-78
（一）知识链接
⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于 .
⒉确定圆需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中，_ ___确定圆的位置，______确定圆的大小.
3. 点确定一条直线．
（二）自主学习
1．阅读教材p46，思考：
（1）平面上的一个圆把平面上的点分成 部分，即点在圆 、点在圆 、点在圆 .
（2）各部分的点与圆有什么共同特征？自己画图验证一下，看看能得到什么规律？
2.点和圆的位置关系：
平面内，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有三种位置关系：
（1）点P在⊙O外 ______；（2）点P在⊙O上 _____；（3）点P在⊙O内 ______．
【展示互导】
活动1：如图1所示，在 中，
是中线，以 为圆心， 为半径作圆，请判断
三点与⊙C的位置关系.
活动2:确定圆的条件
1.阅读教材p47“试一试”内容，（小组合作）画一画：
（1）过一个已知点可以作 个圆；（2）过两个已知点可以作 个圆，它们的圆心分布的特点是 .
2.经过不在同一直线上的三点作圆，并思考经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？
作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上）.
作法：
3.结论：______________________________________________确定一个圆．
思考：经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？
4.相关概念：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 圆；则这个三角形叫做圆的__ ____；外接圆的圆心叫做三角形的 ，是三角形三条边 的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离 。
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1.教材p48练习题.
2. ⊙O的半径为3 ，点O到点P的距离为 ,则点P（ ）
A.在⊙O外 B. 在⊙O内 C. 在⊙O上 D. 不能确定
3. 下列说法正确的是( )
A．三点确定一个圆 B．任意的一个三角形一定有一个外接圆
C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点
D．任意一个圆有且只有一个内接三角形
4.若 中， 则它的外接圆的直径为___________．
【总结提升】
1、本节课你有哪些收获？谈谈你的感悟
2、拓展提升
已知：如图2，点 的坐标为 ，过原点 点的圆交 轴
的正半轴于 点．圆周角 ，求 点的坐标．
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
27.2.2 直线和圆的位置关系
【学习目标】
1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；
2．根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系；
3. 能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系．
【学习重难点】
重点：理解并掌握直线和圆的三种位置关系；
难点：掌握识别直线和圆的位置关系的方法；
【学法指导】
本节课的学习过程中注重动手操作、观察、发现、总结等活动，从运动的观点和量变到质变的观点来理解直线和圆的三种位置关系.
【自学互助】
（一）知识链接
⒈（1）点到直线的距离：从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的 ________叫做这个点到这条直线的距离.
（2）如图1， 为直线 外一点，从 向 引垂线， 为垂足，则线段 的 即为点 到直线 的距离.
2. 如果设⊙O 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，
请你用 与 之间的数量关系表示点 与⊙O的位置关系。
（1）点P在⊙O ；
（2）点P在⊙O ；
（3）点P在⊙O ．
（二）自主学习
1．阅读教材p48的“引言”及p49的“试一试”内容
（1）想一想：如果把太阳看作一个圆，地平线看成直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线与圆有几种位置关系？再想象用钢锯切割钢管的过程，如果把钢管看作一个圆，钢锯看成直线，那情况又如何呢？
（2）做一做：在纸上画一条直线，把硬币（或圆形纸片）的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
结论：直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有______种
2.直线和圆的位置关系：（阅读教材p49并结合图27.2.6填空）
（1）直线和圆有____个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．
（2）直线和圆有____个公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________．
这个公共点叫做_________．
（3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线和圆相离．
3. 阅读教材P49并结合图27.2.6，你能得到直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离和半径的大小来区分吗？
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，
（1）_________ 直线l和圆O相离；（2）_________ 直线l和圆O相切；
（3）_________ 直线l和圆O相交．
表示上述结论既可以作为各种位置的判定，也可以作为性质.
【展示互导】
活动1：归纳（1）直线与圆的三种位置关系（设圆心到直线的距离为 ，半径为 ）
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
图形
公共点个数 0
与 的关系
公共点名称 交点
直线名称 切线
（2）判定直线与圆的位置关系的两种方法：一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用 与 的大小关系来断定.
①从公共点的个数来判定：
直线与圆有两个公共点时，直线与圆 ; 直线与圆有一个公共点时，直线与圆 ;直线与圆有没有公共点时，直线与圆 ;
②从 与 的大小关系来断定：
时，直线与圆 ； 时，直线与圆 ； 时，直线与圆 ；
活动2:自学p50例1，并展示自学成果
活动3：已知：如图2所示， ， 为 上一点，且 ，以 为圆心，以 为半径的圆与直线 有怎样的位置关系？为什么？
① ；② ； ③ ．
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1. 教材p50练习1,2,3题.
2. 已知⊙O的直径为6 ，直线 和⊙O只有一个公共点，则圆心 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线 上一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，直线 与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B . 相切 C. 相交 D . 相切或相交
4. 已知⊙Ｏ的半径为 ，点Ｏ到直线 的距离为５厘米。
(1) 若 大于５厘米，则 与⊙Ｏ的位置关系是____________.
(2) 若 等于２厘米， 与⊙Ｏ有_____个公共点.
⑶ 若⊙Ｏ与 相切，则 ＝____________厘米.
5.已知：如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求：
(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离?(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切?
(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交?
【总结提升】
1、本节课你有哪些收获？谈谈你的感悟.
2、拓展提升
（1）如图4，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时17千米的速度向北偏东 的 方向移动，距离台风中心200千米的范围是受台风影响的区域.
①A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
②若A城受到这次台风的影响，试计算A城
遭受这次台风影响的时间有多长？
（2）如图5，直线 相交于点 ， ，半径为1 的⊙P 的圆心在射线 上，且与点 的距离为6 .如果⊙P 以1 的速度沿由 向 的方向移动，那么多少秒钟后⊙P 与直线 相切？
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
27.2.3 切 线
第1课时 圆的切线的判定
【学习目标】
1．理解切线的判定定理，会准确过圆上一点画圆的切线；
2．会用圆的判定定理进行简单的证明.
【学习重难点】
重点和难点是理解并掌握切线的判定定理及其应用；
【学法指导】
本节课在学习过程中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.
【自学互助】
自习教材P51-52并完成下列各题
⒈切线的定义：直线与圆有 公共点时，这条直线叫做圆的切线.
2.切线的判定方法：（1）和圆有 公共点的直线是圆的切线.（即切线的定义）
(2)到圆心的距离 半径的直线是圆的切线.
3.切线的判定定理：________________________________________________________;
4.切线的性质定理：________________________________________________________;
【展示互导】
活动1：阅读教材p51的“做一做”：
（1）做一做：如图1，在⊙O中，经过半径 的外端点 作直线 ,则圆心O到直线 的距离是多少？直线 和⊙O有什么位置关系？为什么？
(2)从作图中得到切线的判定定理：
经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.
定理必须满足哪两个条件，如果只满足一个条件，画图看一看，此时所画的
直线是不是圆的切线.
定理的几何语言：如图2，
直线 是⊙O的切线
（3）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？画一画！
活动2: 如图3，直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
求证:直线AB是⊙O的切线.
（分析：已知AB经过圆上的点C，要用上面的判定定理，应该连接 ，
证明 ）
证明：
小结：当直线与圆有公共点，常连接 和公共点得半径，证明直线垂直于 .
活动3: 已知：如图4，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．求证：⊙P与OB相切．
（分析： 与圆没有公共点，应该选用哪种判定方法？怎样作辅助线？）
方法小结：当直线与圆没有公共点，常过圆心作直线的 ，证明圆心到直线的距离等于 .
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1.下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2.教材p52练习第1,2,3题.
3.已知:如图5, 是⊙O外一点, 的延长线交⊙O于点 ,点
在圆上,且 , .求证:直线 是⊙O的切线.
【总结提升】
1、课堂总结
（1）.圆的切线有哪几种判定方法？分别是什么？
（2）.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法：
①当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”；
②当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”.
2、拓展提升
已知：如图6，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，
当∠BAE=∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，
并证明你的结论．
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
第2课时 圆的切线的性质
【学习目标】
1．理解切线的性质定理及推论，能正确区分判定和性质的题设和结论；（学习重点、难点）
2．掌握圆的判定和性质的综合应用. （学习重点、难点）
【学法指导】
学习过程中从切线的判定的逆命题去发现相关性质，并注意区分切线的判定定理和性质定理，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.
【自学互助】
自主自习教材P51-52）
⒈切线有哪些判定方法？
2. 切线的性质：（1）切线与圆有 公共点；（2）切线和圆心的距离 半径.
【展示互导】
活动1：阅读教材p51的最后一段：
（1）想一想：如图1，如果直线 是⊙O的切线，点 为切点，那么半径 与直线 是垂直吗？
（可以用反证法证明，选学）
(2)切线的判定定理：
圆的切线_________经过切点的 .
定理的几何语言：如图1， 直线 是⊙O的切线
由性质定理，容易得到下面的推论：
经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .
小结：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的 条，就必然满足 条.
活动2: 如图2， 是⊙O的直径， 切⊙O 于 ， 交
⊙O 于 ，连接 .若 ，求 的度数.
活动3: 如图3， 为等腰三角形， , 是底边
的中点，⊙O 与腰 相切于点 ，求证： 与⊙O相切.
小结：已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点.
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1.如图4，直线 与⊙O相切于点 ，⊙O的半径为2，若 ,则 的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
2.如图5，已知 为⊙O的直径，点 在 的延长线上， 切⊙O 于 ，若 ，
则 等于 （ ）
A. B. C. D.
3.(2009泸州）如图6，以 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 与小圆相切于点 ，若大圆半径为 ，小圆半径为 ，则弦AB的长为 ．
4.已知：如图7，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．
求证：EF与⊙O相切．
5.已知：如图8，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．
【总结提升】
1、课堂小结
（1）.切线分别有哪些判定方法和性质？（口述）
（2）.在本节中，有哪些常用辅助线的做法？（口述）
2、拓展提升
（2009安顺）如图9，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
【学习目标】
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题；
2．理解三角形的内切圆及内心的概念，掌握内心的性质，会作三角形的内切圆.
【学习重难点】
重点：理解切线长的概念，掌握切线长定理；
难点：会应用切线长定理解决问题.
【学法指导】
学习过程中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意切线与切线长、切线的性质与切线长定理、三角形外接圆和内切圆、外心与内心等之间的对比，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力.
【自学互助】
自学教材P52-54）
（一）知识链接
⒈切线的定义是什么？切线有哪些性质？
2. 角平分线的判定和性质是什么？
（二）自主学习
阅读教材p52：圆的 上某一点与切点之间的 ，叫做这点到圆的 .
如图1， 是⊙O 外一点， ， 是⊙O 的两条切线，点 ， 为切点，把线段
， 的长叫做点 到⊙O的 线.
注意：切线和切线长的区别：切线是 线，不可度量，而切线长是线段， 度量.
【展示互导】
活动1：（1）阅读教材p53的“探索”，动手做一做：如图2，你能得到什么结论？为什么？
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分________ __________．
几何语言： 是⊙O的两条切线
.
（2）如何证明切线长定理呢？
已知：如图2，已知PA、PB是⊙O的两条切线．
求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
证明：
（3）若PO与圆相分别交于C、D,连接AB于PO交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形.
活动2: （1）阅读教材p54的“试一试”：想一想，圆与三角形铁皮的三边应该满足什么条件？
（2）怎样作圆呢？怎样找圆心和半径？假设符合条件的圆已经作出，圆应当与三角形的三边 .那么圆心到三边的距离都等于什么？圆心在三个内角的什么线上？
（3）如何作图呢？（教师引导）
作法：
（4）三角形的内切圆：与三角形各边 ，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是
三角形 的交点，叫做三角形的 ，三角形叫做圆的 .
（5）说明：①当已知三角形的内心时，常常作过三角形的顶点和内心的射线，则这条射线平分三角形的内角.
②内心到三角形三边的距离相等.
活动3: （p97例2）如图3，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。
活动4: 已知：如图4， 为⊙O 外一点， 、 为⊙O 的切线， 和 是切点， 是直径.
求证： ∥ .
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1.教材p55练习1,2题
2.如图5，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB的长（ ）
A．5 B. C.10 D.
3.如图6，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，，若PA=8cm，C是 上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D、E，则
的周长是 cm.
4. 如图7，AM、AN分别切⊙O于M、N两点，点B在⊙O上，且 ，则 .
5. 已知：如图8，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=35°，求∠P的度数．
【总结提升】
1、本节课我们有哪些收获？还有什么问题没解决吗？
2、拓展提升
（1）已知：如图9，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
①若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
②若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
（2）已知：如图10，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
①求证：AT平分∠BAC；②若 求⊙O的半径．
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
27.3 圆中的计算问题
第1课时 弧长和扇形面积
【学习目标】
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用。
【学法指导】
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长 和扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决一些题目。
【总结提升】
一、自学教材P58-61
（一）知识链接
1．圆的周长公式是 。
2．圆的面积公式是 。
3．什么叫弧长？
（二）自主学习
自学教材P59-61，思考下列内容：
1.圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
1°的圆心角所对的弧长是_______。2°的圆心角所对的弧长是_______。
4°的圆心角所对的弧长是_______。 …… n°的圆心角所对的弧长是_______。
2.什么叫扇形？
3.圆的面积可以看作 度圆心角所对的扇形的面积；
设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……
设圆的半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
4.比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？
【展示互导】
例1．如右图，水平放置的圆柱形排水管道的界面半径是0.6m，其中
水面高0.3m。求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）
例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求 的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积（结果精确到0．1）
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1. 教材P62练习1,2小题。
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（ ）
A．1 B． C． D．
4.如图所示，OA=30B，则 的长是 BC的长的_____倍．
5.如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中 为 ， 长为8cm， 长为12cm，则阴影部分的面积为 。
6.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是______cm2,扇形的圆心角为______°.
7.如图， 为⊙O的直径， 于点 ，交⊙O于点 ， 于点 ．
（1）请写出三条与 有关的正确结论；
（2）当 ， 时，求圆中阴影部分的面积．
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
第2课时 弧长和扇形面积(2)
【学习目标】
1．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式.
2．理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题.
【学法指导】
通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题.
【自学互助】
（一）知识链接
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点。
2．一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．
（二）自主学习
自学教材P62-63，思考下列问题：
1．什么是圆锥的母线？
2．圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面积可表示为 ，圆锥的全面积为 。
3．圆柱的侧面展开图是什么图形？若圆柱底面圆的半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积可表示为 ，全面积可表示为 。
【展示互导】
例1：蒙古包可以类似的看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面
积为35m2，高为3.5m，外围高1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？
（结果取整数）
例2：已知扇形的圆心角为120°，面积为300 cm2．
（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1．P63练习1,2题。
2．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则其全面积为（ ）
A．π B．3π C．4π D．7π
3．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
4．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面
展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积是_________
6．将一个底面半径为3cm，高为4cm圆锥形纸筒沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为__________。
7．一个圆锥的高为3 ，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是______．
8．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，
从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）
A．6 B． C．3 D．3
【总结提升】
1、通过本节课的学习你有哪些收获？
2、拓展提升
如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个
圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面
的圆心上，求这个几何体的表面积．
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
27.4 正多边形和圆
【学习目标】
1．理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念；
2．理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算；
3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.
【学习重难点】
重点：理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，并能进行计算；
难点：探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间的关系
【学法指导】
在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性.
【自学互助】
自学教材P65-67
1. 如果一个多边形的 顶点都在 圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 .
2.各边 ，各角也 的多边形叫做正多边形.
思考：教材p67练习第1，2题.
说明：正多边形的定义中“各边 ，各角 ”是正多边形的两个特征，缺一不可.
3.举例说出生活中常见的正多边形.
【展示互导】
活动1：思考：（1）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？
（2）将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．
证明：如图1，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
（3）如果将圆 等分，依次连接各分点得到一个 边形，这 边形一定是正 边形吗？
（4）结论：正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成 的一些弧，就可以作出这个圆的 ，这个圆就是这个正多边形的 .
活动2:（1）正多边形的有关概念：一个正多边形的______________叫做这个正多边形的
中心；______________叫正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的
中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
（2）如图2，在正六边形中，点 是正六边形的中心，画出它的的半径、边心距、
中心角.
（3）算一算：正五边形的中心角是多少？正五边形的一个内角是多少？正五边形
的一个外角是多少？正六边形呢？
（4）归纳：正 边形的每一个内角都等于 ，中心角等于 ，
外角等于 ，正多边形的中心角与外角 .
活动3: 有一个亭子（如图3）它的地基是半径为4 的
正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
(分析：欲求周长和面积，可先求什么？怎样作辅助线？)
归纳：正多边形的计算中常用的结论是：（1）正多边形的中心角等于 ；
（2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成 三角形；
（3）正 边形的半径和边心距，把正 边形分为 个直角三角形.
活动4： 阅读教材p66例题，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？
方法一、任何正 边形的作法：用量角器作一个等于 的圆心角，再等分圆；
方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法.
（在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形）
做一做：在右图4中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形．
活动2:正多边形都是轴对称图形吗？如果是，有多少条对称轴？正多边形
都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？
【质疑互究】
通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：
【检测互评】
1. 如图5所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）
A、60° B、45° C、30° D、22.5°
2.正方形的边长为 ，那么这个正方形的半径是 ，边心距是 .
3. 已知正三角形的边长为 ，其内切圆半径为 ，外接圆半径为R，则 ： ：R等于（ ）
(提示：任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆，它们的同心圆)
A、1 ： ：2 B、1 ： ：2 C、1 ：2 ： D、1 ： ：
4.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五等分点
而得到(如图6),五角星的每一个角的度数为 （ ）
A. B. C. D.
5.(云南中考)已知：如图7，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O的半径是2，连接OB,OC.
(1)求 的度数；（2）求正六边形ABCDEF的周长.
【总结提升】
1、课堂小结
（1）.当正多边形的边数一定时，可以求出正多边形的哪些元素？
（2）.在有关正多边形与圆的计算问题时，一般找由半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形中的计算问题.
（3）.如果正多边形的边数一定，已知它的边长、半径、边心距、周长、面积中的任意
一项，都可以求出其他各项.
2、拓展提升
（1）已知：如图8，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．
（2）已知：如图9，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．
学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____
小结与复习
【学习目标】
1．使学生对本章知识系统化、网络化
2．使学生掌握圆章基本题型、基本解题技巧
【自学互助】
本章知识图解（学生根据图解自主复习相关知识并相互交流补充）
【展示互导】
典型例题（通过学生对典型例题的解答过程或思考方法的展示达到互助、互导、互究的目的）
例1：如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦CM⊥AB，CN是直径，F是 的中点．（1）求证：CF平分∠NCM；（2） ．
例2：如图，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，
求证：AC与⊙O相切．
例3：如图，M是 的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4 cm．
（1）求圆心到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数．
例4：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC=4，求弦CE的长．
例5：如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花的残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离．
例6：线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6cm，AB=6 cm，求：（1）⊙O的半径；（2）圆中阴影部分面积．
【检测互评】
基础演练：
1．如图，⊙O中弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B=_______．
第1题 第4题 第5题 第6题
2．已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为_______．
3．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系为_______．
4．如图，⊙O半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是_______．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是_______．
6．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长为_______．
7．如图，△ABC内接于圆O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD=_______．
8．如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是 上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数为_______．
9．如图，在半径为 ，圆心角等于45°的扇AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在 上，则S阴=_______．（结果保留π）
10．将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是_______．
能力提升：
1．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①若AB=2，∠P=30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
2、“五一”节，小贾和同学一起到游乐场游玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小贾乘坐最底部的车厢（离地面0.5m）．
（1）经过2min后小贾到达点Q，此时他离地面多高？
（2）在摩天轮转动的过程中，小贾将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆P合好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．
4、如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
5、如图所示，⊙O半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧 上的任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求∠ACB的大小；
否则，说明理由．
（3）记△ABC的面积为S，若 ，求△ABC的周长．
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