一.学习目标:
1.能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简;
2.能够比较熟练进行二次根式的运算;
3.会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题.
二.学习重点:二次根式的性质应用及运算.
学习难点:二次根式的应用.
三.过程
知识网络图
知识点梳理
1. 一般地,式子 叫做二次根式.特别地,被开方数不小于 .
2. 二次根式的性质:
⑴a .(a ); ⑵(a)2= (a ); ⑶a2=__ ___.
3. 二次根式乘法法则:
⑴a•b= (a≥0,b≥0);⑵ab= (a≥0,b≥0).
4. 二次根式除法法则:
⑴ab= (a≥0,b>0); ⑵ab= (a≥0,b>0).
5. 化简二次根式实际上就是使二次根式满足:⑴ ;
⑵ ;⑶ .
6. 经过化简后, 的二次根式,称为同类二次根式.
7. 一般地,二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后 .
8. 实数中的运算律、乘法公式同样适用于二次根式的混合运算
边讲边练
Ⅰ. 二次根式有意义求取值范围
1. 要使x-2有意义,则x的取值范围是 .
变式:若分别使1x-2,1 x-2,3-x x-2有意义,那么x的取值范围又该如何?
2. 要使13-x有意义,则x的取值范围是 .
3. 使x+1,1x,(x-3)0三个式子都有意义的x的取值范围是 .
4. 使x+1•x-1=x2-1成立的条 ; 1-xx-2 =1-xx-2成立的条是 .
5. 若y=2x-5+5-2x -3. 则2xy= .
Ⅱ. 二次根式的非负性求值
1. 已知a+2+b-1=0,那么(a+b)2011= .
2. 已知x,y是实数,且3x+4+y2-6y+9=0,则xy= .
3. 若4x-8+x-y-m=0,当y>0时,则m的取值范围 .
4. 若a-3与2-b互为相反数,那么代数式-1a+6b的值为 .
5. 已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b+c-1-2=10a+2b-4-22,则△ABC为 .
Ⅲ. 利用公式a2=a化简
1. (-7)2= ;(2)(3-π)2= ; (3) 62=
2. 已知x<1,则化简x2-2x+1的结果= ; 若 <0,化简a-3-a2= .
3. 当a=2时,代数式a+1-2a+a2= ; 化简(a-1)11-a = .
5. (a-3)2=3-a成立,则a的取值范围是______.
6. 若x3+4x2=-xx+4,则x的取值范围是 .
7. 若x-1=12,则代数式1x-x2-2+1x2的值为 .
8. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,试化简(a+c)2-b-c.
9. 若-3≤x≤2时,试化简│x-2│+(x+3)2 +x2-10x+25.
Ⅳ. 最简与同类二次根式
1. 下列各式中,不能再化简的二次根式是 ( )
A.3a2 B.23 C.24 D.30
2. 下列各式中,是最简二次根式是 ( )
A.8 B.70 C.99 D.1x
3. 下列是同类二次根式的一组是 ( )
A.12,-32,18 B.5,75,1245 C.4x3,22x D.a1a,a3b2c
4. 若二次根式2a-4与6是同类二次根式,则a的值为 .
5. 化简后,根式b-a3b 和2b-a+2 是同类根式,那么a=_____,b =______.
Ⅴ.二次根式的运算
1. 化简:⑴312= ;⑵15+16= ;⑶18a= .
2. 计算:212-613+8= .
3. 计算12(2-3)= .
4. 计算⑴(2+3)(2-3)= ; ⑵(5-2)2010( 5+2)2011= .
5.下列各式①33+3=63;②177=1;③2+6=8=22;④243=22,其中错误的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
6.下列各式计算正确的是 ( )
A.2+3=5 B.2+2=22 C.33-2=22 D.12-102=6-5
7. 计算:
⑴32-212-13-62 ⑵239x+6x4-2x1x
⑶(48-413)-(313-40.5) ⑷(218-18)-(12+2-213)
⑸23x18x+12xx8-x22x3 ⑹(32-45)2 ⑺(3-22)(22-3)
⑻(1-23)(1+23)-(1+3)2 ⑼(3+2-5)(3?2?5)
8. 若x=5+32, y=5—32,求代数式的值.
⑴x2-xy+y2 ⑵xy+yx
9. 观察下列各式:32-1=2×4,42-1=3×5,52-1=4×6 ……将你猜想到的规律用一个式子表示: .
10.有这样一类题目:将a±2b化简,如果你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且mn=b,则将a±2b将变成m2+n2±2mn,即变成(m+n)2开方,从而使得a±2b化简.
例如,5±26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2,
∴5±26=(3+2)2=(3+2)
请仿照上例解下列问题:
(1)8-215; (2)4+23
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