一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个实数中，是无理数的为（　　）
   A．              B．           C．         D．
2.下列运算正确的是（　　）
A． a3+a4=a7 B． 2a3•a4=2a7 C． （2a4）3=8a7 D． a8÷a2=a4
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
 
A．              B．               C．                D．
4.下列各式： ，其中分式共有    (    )
   A．1个         B．2个          C．3个        D．4个
5.一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两组对边的
平行关系没有发生变化,若 º,则 的大小是
   A．75º           B．115º          C．65º         D．105º
6．已知一组数据：－1，x，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是    (    )
  A．      B．10     C．4      D．2
7．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为    (    )
   A．3           B．－1             C．4           D．4或－1
8． “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1?（x?a）（x?b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
　 A． m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9．若二次根式 有意义,则 的取值范围是    ▲    .
10．分解因式: ＝    ▲    .
11．据统计 ,截至2015年底,全国的共产党员人数已超过80 300 000,这个数据用科学计数法可表示为    ▲    .
12．三角形的三边长分别为3、m、5，化简 ___▲____．
13．小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上,他第二次再抛这枚 硬币时,正面向上的概率是    ▲    .
14．若分式 的值为负数，则x的取值范围是    ▲    .
15．如图 ，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个圆弧形门拱的半径为    ▲    m．

16．如图,在 中, 、 分别是边 、 的中点, º.现 将 沿 折叠,点 落在三角形所在平面内的点为 ,则 的度数为    ▲    °.
17．已知α是锐角且tan α＝ ，则sin α＋cos α＝     ▲    ．
18．已知实数x、y满足 x2＋2x＋y－1＝0，则x＋2y的最大值为     ▲     ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答）
19．（本题满分8分）
（1）计算:  ） （2）化简:
20．（本题满分8分）先化简： ，再选取一个合适的a值代入计算．
21．（本题满分8分）已知一元二次方程 ．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 +3 =3，求m的值。
22．（本题满分8分）
班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生的发言次数进行了统计，并绘制成如图1的频数分布折线图．
(1)请根据图1，回答下列问题：
①这个班共有______名学生，发言次数是5次的男生有____人、女生有____人；
②男、女生发言次数的中位数分别是____ 次和______次；
(2)通过张老师的 鼓励，第二天的发言次数比前一天明显增加，全班发言次数变化的人数的扇形统计图如图2.求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数．
        
　
 
23．（本题满分10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2， ,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为           时，四边形AMDN是矩形；
           ②当AM的值为           时，四边形AMDN是菱形。

24．（本题满分10分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．

25．（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60° ，AB= ，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.
（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.
26．（本题满分10分）
猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形 纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为           ．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
 

27．（本题满分12分）
    知识迁移
        当 且 时，因为 ≥ ,所以 ≥ ,
从而 ≥ (当 时取等号).
记函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 .
   
    实际应用
        已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费 用,共 元；二是燃油费,每千米为 元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 .设该汽车一次运输的路程为 千米,求当 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

28．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k?1）x?k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k?1）x?k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
 

一、选择题（每小题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B D D C A
二、填空题（每小题3分，共30分）
9． ≥－1   10．    11．    12．2m-10   13．   
14．-1＜x＜    15．   16．80       17．       18．
三、解答题
19．(1)解： …………………4分

(2)解：原式  ……………………………………………………2分
  ………………………………………………………………………4分
20．解： …………………… ……………………………………5分              
代人除-1、-2、0、1、2以外的数计算…………………8分
21．（1）m≤1;    …………………4分
 
(2)m=  …………………4分
 

23（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM
         ∴
        又∵点E是AD中点，∴DE=AE
          ∴
          ∴四边形AMDN是平行四边形
   （2）①1；②2
24.解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．
在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20× =10km，………………………………2分
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷ = km，………4分
CF=BF•sin30°=  × = km，………………………………6分 
DF=CD?CF=（30? ）km，……………………………7分 
在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30? ）× =（15? ）km，……8分 
∴EG=BE+BF+FG=（25+5 ）km．
故两高速公路间的距离为（25+5 ）km．……………10分
 
25
 
26.解答： 猜想：DM=ME
证明：如图1，延长EM交AD于点H，
 
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
 
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
（1）如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠E FM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
 
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME，
故答案为：DM=ME．
（2）如图2，连接AE，
 
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在RT△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，
在RT△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME， 
∴DM=ME．
27. 解：直接应用 
1, 2 ……………………………………………………………………………(每空1分) 2分
变形应用  
解：∵ ………………………………………3分
∴ 有最小值为 , ……………………………………………………………4分
当 ,即 时取得该最小值…………………………………………………6分
实际应用 
解：设该汽车平均每千米的运输成本为 元,则  ………… 9分
 , …………………………………10分
∴当 (千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本 最低………11分
最低成本为 元. ………………………………………12分

28．解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2?1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2?1=x+1，
解得：x=?1或x=2，
当x=?1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（?1，0），B（2，3）．…………………………4分

（2）设P（x，x2?1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
 
∴PF=yF?yP=（x+1）?（x2?1）=?x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF?xA）+PF（xB?xF）=PF（xB?xA）=PF
∴S△ABP=（?x2+x+2）=?（x?）2+
当x=时，yP=x2?1=?．
∴△ABP面积最大值为 ，此时点P坐标为（，?）．………8分

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（?，0），F（0，1），OE=，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF= = ．
令y=x2+（k?1）x?k=0，即（x+k）（x?1）=0，解得：x=?k或x=1．
∴C（?k，0），OC=k．
假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
 
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．
∴EN=OE?ON=?．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴ ，即： ，
解得：k=± ，
∵k＞0，
∴k= ．
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k= ．………………………12分
 

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