【例题求解】
【例1】 如图，直线AB与⊙O相交于A，B再点，点O在AB上，点C在⊙O上，且∠AOC＝40°，点E是直线A B上一个动点(与点O不重合)，直线EC交⊙O于另一点D，则使DE=DO的点正共有 个．
思路点拨 在直线AB上使DE=DO的动点E与⊙O有怎样的位置关系?
分点E在AB上(E在⊙O内)、在BA或AB的延长线上(E点在⊙O外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E点位置、存在的个数．
注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．
【例2】 如图，已知△ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M，对于如下五个结论：①∠FM C=45°；②AE+AF＝AB；③ ；④2BM2=BF×BA；⑤四边形AEMF为矩 形．其中正确结论的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．
注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．
【例3】 如图，已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△A BD的面积．
思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键．
【例4】 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D(AD
(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．
思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线 证明△ACG∽△AFC；
（2）判断上述结论在E点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．
注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．
【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P．
求证：（1） ；(2) ．
思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形．
(1)证明△QDE∽△ACF；(2)易证 ，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．
注 ：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：
(1)利用圆的定义判定；
(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定．
学历训练
1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
2．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的一点，则∠1+∠2= ．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为 ．
4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝3，设⊙O的半径为 ，AB的长为 ，用 的代数式表示 ， = ．
5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于( )
A．120° B．136° C．144° D．150°
6．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BOC等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB= ，BC=2，则∠D的度数为( )
A．60° B． 120° C． 135° D．150°
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④ ∠EPC=∠APD，其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
(1)求证：AC?BC=BE?CD；
(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
10．如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．
(1)求证：FB=FC；
(2)求证：FB 2=FAFD；
(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．
11．如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则tan∠APB?tan∠CPD= ．
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC= ，则四边形ABCD的面积为 ．
13．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，则BC= ．
14．如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠B=40°，则∠A等于( )
A．60° B．50° C．80° D．70°
15．如图，已知ABCD 是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，则⊙O的面积为( )
A．25π B．16π C．15π D．13π
(2001年绍兴市竞赛题)
16．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
17．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB= AE，且BD= ，求四边形ABCD的面积．
18．如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．
求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD?B C＝AC?BD．
19．如图，已知P是⊙O直径AB延长线上的 一点，直线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．
(1)求证：PA?PB=PO?PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC= ，∠B为锐角，且关于 的方程 有两个相等的实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F．
(1)求∠B的度数；
(2)求CE的长；
(3)求证：DA、DC的长是方程 的两个实数根．
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