数学试卷
说明：1．本试卷满分150分，考试时间90分钟．
2．本试卷共4页，共3大题．
3．答题前，请认真答题卡上的“注意事项”，然后按要求写在答题卡相应的位置上．
4．请考生保持答题卡的整洁，考试结束，将试卷和答题卡一并交回．
注意：在答题卡上作图必须用黑色字迹的钢笔或签字笔.
一、：本大题12小题， 每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
2. 国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为 度，若将数据 用科学记数法表示为（ ）
3. 气候宜人的省级度假旅游胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17、17、20、22、24（单位： ），这组数据的中位数是（ ）
4、如下左图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
5、已知一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是（ ）
四边形 五边形 六边形 七边形
6、在平面直角坐标系中，点 在第（ ）象限.
一 二 三 四
7、下列运算正确的是（ ）
8、函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
9、计算 的结果是（ ）
10、由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次下降 售价下调到每斤是5元，下列所列方程中正确的是（ ）
11、如图， 是 的直径， ， 则 （ ）
12、四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为（ ）
二、题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13、分解因式： ．
14、抛物线 的最小值是 ．
15、若反比例函数 的图象经过点 ，则 ．
16、如图，所 有正三角形的一边平行于 轴，一顶点在 轴
上．从内到外，它们的边长依次为 ，顶点依次用
表示，其中 与 轴、底边 与 、
与 、 均相距一个单位，则顶点 的坐标是 ，
的坐标是 ．
三、解答题：本大题共10小题，其中17~18每小题6分，19~22每小题8分，23~25每小题10分，26题12分，共86分．
17、计算： ．.
18、解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
19、如图 ，点 在一条直 线上， ，
求证： ．
20、把大小和形状完全 相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅均，再从中各随机抽取一张．
（１）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率．
（２）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
21、如图，我国渔政船在钓鱼岛海域 处测得钓鱼岛 在渔政船的北
偏西 的方向上，随后渔政船以80海里 小时的速度向北偏东
的方向航行，半小时后到达 处，此时又测得钓鱼岛 在渔政船
的北偏西 的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛 的距离 ．
（结果保留小数点后一位， ）
22、2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（１）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中： ， ；
（２）补全频数分布直方图；
（３）若成绩在70分以下 （含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
23、如图，已知 是⊙O的直径， 为⊙O外一点，且 ， .
．
（１）求证： 为⊙O 的切线；
（２）若 ，求 的长．
24、下面的材料，先完成阅读，再将要求答题：
，则 ； ①
，则 ； ②
，则 ． ③
……
观 察上述等式，猜想：对任意锐角 ，都有 ．④
（１）如图，在锐 角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理
对 证明你的猜想；
（２）已知： 为锐角 且 ，求 ．
25、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发
1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前
往湖光岩．小明离家１小 时50分钟，妈妈驾车沿相同
路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程 与小明离
家时间 的函数图象．
（１）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；
（２）若妈妈在出发后 分钟时，刚好在湖光岩门口追上
小明，求妈妈驾车的速度及 所在直线的函数解析式．
26、如图，在平面直角坐标系中，顶点为 的抛物线交
轴与 点，交 轴与 两点（点 在点 的左侧），
已知 点坐标为 ．
（１）求此抛物线的解析式；
（２）过点 作线段 的垂线交抛物线与点 ，如果以
点 为圆心的圆与直线 相切，请判断抛物线的
对称轴 与⊙ 的位置关系，并给出证明．
（３）在抛物线上是否存在一点 ，使 是以 为
直角边的直角三角形．若存在，求点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
123456789101112
DCCABDCBCBBC
13、 ，
14、1
15、2
16、
17、
解：原式
18、
解：由①，得
由②，得
不等式①、②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为：
19、
证明：
,
△ ≌△
20、
解：（１）从6张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下：
从树状图可见，取出的两张卡片数字之和共9种情况，其中数字之和为奇数只有4种，所以取出的两张卡片数字之和为奇数的概率为：
（ ２）由（１）的树状图可知，取出的两张卡片数字之和为偶数有5种情况，从而乙胜的概率为： ，而甲胜的概率是 ，所以两者概率不相等，故这个游戏不公平。
21、
解：延长 至 ，则 ，
，
在 △ 中， ， ，
答：此时渔政船距钓鱼岛 的距离 约为： 海里
22、
解：（１） ， ，
（２）由（１）知， 70，图略.
（３） 答：该校安全意识不强的学生约有420人
23、
解：（１） 是⊙O的直径，
，又
△ ∽△ ， ， 为⊙O 的切线。
（２） ，由（１）知，△ ∽△ ，
，在 △ 中， ，
的长为8。
24、
（１）证明：过点 作 于 ，在 △ 中， ，
由勾股定理得， ，
（２）解： 为锐角 ， ，
25、
解：（１）由图象知，小明1小时骑车20 ，所以小明骑车的速度为：
图象中线段 表明小明游玩的时间段，所以小明在南亚所游玩的时间为：
（２）由题意和图象得，小明从南亚所出发到湖光岩门口所用的时间为：
，所以从南亚所出发到湖光岩门口的路程为：
于是从家到湖光岩门口的路程为： ，故妈妈驾车的速度为：
设 所在直线的函数解析式为：
由题意知，点 解得，
所在直线的函数解析式为：
26、
解：（１）由题意可设此抛物线的解析式为：
此抛物线过点 ，
此抛物线的解析式为： ，即
（２）此时抛物线的对称轴与⊙ 相离。证明：
令 ，即 ，得 或 ，
设直线 的解析式为： ，则 ，
直线 与直线 垂直， 直线 可表示为： ，
， ， 直线 为：
点 到直线 的距离为：
点 为圆心的圆与直线 相切， ⊙ 的半径为：
又点 到抛物线对称轴的距离为： 而 ，。所以此时抛物线的对称轴与⊙ 相离。
（３）假设存在满足条件 的点 ，，
，
①当 时，在 中，由勾股定理，得
，整理，得
点 在抛物线 上， ，
，解得 或 ， 或
点 为 或 （舍去）
②当 时，在 中，由勾股定理，得
，整理，得
点 在抛物线 上， ，
，解得 或 ， 或
点 为 或 （舍去）
综上，满足条件的点 的坐标为 或
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