2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市南岗区七年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=1
2．（3分）把不等式?2x＜4的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各组数值中，是方程2x?y=8的解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知 是关于x、y的方程4kx?3y=?1的一个解，则k的值为（ ）
A．1 B．?1 C．2 D．?2
5．（3分）对于不等式组 ，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解集为?1＜x≤
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
6．（3分）若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12
7．（3分）下列各组数值是二元一次方程2x?y=4的解的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞ B．x＞?5 C． ＜x＜?5 D．x≥?5
10．（3分）已知a＞2a，那么对于a的判断正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是非正数 D．是非负数
二.填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）方程2x+y=8的正整数解的个数是 ．
12．（3分）若3x2m?3?y2n?1=5是二元一次方程，则m= ，n= ．
13．（3分）善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于E），设AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 ．
14．（3分）如果关于x的不等式（a+b）x+2a?b＞0的解集是x＜ ，那么关于x的不等式（b?a）x+a+2b≤0的解集是 ．
15．（3分）若4x+3y+5=0，则3（8y?x）?5（x+6y?2）的值等于 ．
16．（3分）如果|x?2y+1|+|x+y?5|=0，那么xy= ．
17．（3分）若不等式组 无解，则m的取值范围是 ．
18．（3分）若关于x的不等式2x?a≤0的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是 ．
19．（3分）如图，△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，则∠DAC的度数是 ．
20．（3分）如图，任意一个凸四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边的中点，图中阴影部分的两块面积之和是四边形ABCD的面积的 ．
三．解答题：（共60分）
21．（8分）先阅读，然后解方程组 ．
解方程组时，可由①得x?y=1③，然后再将③代入②得4×1?y=5，求得y=?1，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组 ．
22．（8分）解下列不等式组：
（1）2（x+1）＞3x?4
（2） ．
23．（7分）如图所示，按要求画出图形：
（1）将图形向右平移6个单位长度，画出平移后的图形；
（2）将（1）中得到的图形向上平移5个单位长度，画出平移后的图形；
（3）将（2 ）中得到的图形向左平移7个单位长度，画出平移后的图形．
24．（7分）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙 型显示器的台数，问有哪些购买方案？
25．（10分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x?y＞?3，求出满足条件的m的所有非负整数解．
26．（10分）某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能 配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．
1．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
2．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务？
27．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA= ，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3 ）PA、PB、PC满足的等量关系为 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=1
【解答】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意；
B、是二元一次方程，故B符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）把不等式?2x＜4的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：不等式两边同除以?2，得x＞?2．
故选：A．
3．（3分）下列各组数值中，是方程2x?y=8的解的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、把 代入方程左边得：2+2=4，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解；
B、把 代入方程左边得：4?0=4，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解；
C、把 代入方程左边得：1+7=8，右边=8，左边=右边，是方程的解；
D、把 代入方程左边得：10+2=12，右边=8，左边≠右边，故不是方程的解，
故选：C．
4．（3分）已知 是关于x、y的方程4kx?3y=?1的一个解，则k的值为（ ）
A．1 B．?1 C．2 D．?2
【解答】解：∵ 是关于x、y的方程4kx?3y=?1的一个解，
∴代入得：8k?9=?1，
解得：k=1，
故选：A．
5．（3分）对于不等式组 ，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解集为?1＜x≤
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
【解答】解： ，
解①得x≤ ，
解②得x＞?1，
所以不等式组的解集为?1＜x≤ ，
所以不等式组的正整数解为1，2，3
故选：A．
6．（3分）若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12
【解答】解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2?2ab?2ac?2bc，
∴?2ab?2ac?2bc=a2+b2+c2?（a+b+c）2①
∵（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2=2a2+2b2+2c2?2ab?2ac?2bc；
又（a?b）2+（b?c）2+（c?a）2
=3a2+3b2+3c2?（a+b+c）2
=3（a2+b2+c2）?（a+b+c）2②
①代入②，得3（a2+b2+c2）?（a+b+c）2=3×9?（a+b+c）2=27?（a+b+c）2，
∵（a+b+c）2≥0，
∴其值最小为0，
故原式最大值为27．
故选：A．
7．（3分）下列各组数值是二元一次方程2x?y=4的解的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： 是二元一次方程2x?y=4的解，
故选：A．
8．（3分）玩具车间每天能生产甲种玩具零件24个或乙种玩具零件12个，若甲种玩具零件一个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在60天内组装出最多的玩具设生产甲种玩具零件x天，乙种玩具零件y天，则有（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据总天数是60天，可得x+y=60；根据乙种零件应是甲种零件的2倍，可列方程为2×24x=12y．
则可列方程组为 ．
故选：C．
9．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．x＞ B．x＞?5 C． ＜x＜?5 D．x≥?5
【解答】解：由（1）得：x≥?5，由（2）得：x＞ ，所以x≥?5．故选D．
10．（3分）已知a＞2a，那么对于a的判断正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是非正数 D．是非负数
【解答】解：由a＞2a，
移项得：0＞2a?a，
合并得：a＜0，
则a是负数，
故选：B．
二.填空题：（每小题3分，共30分
11．（3分）方程2x+y=8的正整数解的个数是 3 ．
【解答】解：方程2x+y=8变形，得y=8?2x，
∵x，y都是正整数
∴解有3组 ， ， ．
12．（3分）若3x2m?3?y2 n?1=5是二元一次方程，则m= 2 ，n= 1 ．
【解答】解：∵3x2m?3?y2n?1=5是二元一次方程，
∴2m?3=1，2n?1=1，
解得：m=2，n=1，
故答案为：2；1
13．（3分）善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于E），设AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD 的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直 的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 x+y≥2 ．
【解答】解：根据相交弦定理的推论，得CE2=AE•BE，则CE= ．
根据垂径定理，得CE2=AE•BE，
即（ CD）2=xy，
∴CD=2CE=2 ．
又AB=x+y，且AB≥CD，得x+y≥2 ．
14．（3分）如果关于x的不等式（a+b）x+2a?b＞0的解集是x＜ ，那么关于x的不等式（b?a）x+a+2b≤ 0的解集是 x≥? ．
【解答】解：∵关于x的不等式（a+b）x+2a?b＞0的解集是x＜ ，
∴x＜ ，
∴ = ，且a+b＜0，
即b=?3a，a+b＜0，
∴a?3a＜0，即a＞0，
∴b?a=?4a＜0，
∴关于x的不等式（b?a）x+a+2b≤0的解集是x≥ ，
∵ = =? ，
∴关于x的不等式（b?a）x+a+2b≤0的解集是x≥? ，
故答案为：x≥? ．
15．（3分）若4x+3y+5=0，则3（8y?x）?5（x+6y?2）的值等于 20 ．
【解答】解：3（8y?x）?5（x+6y?2）=24y?3x?5x?30y+10=?8x?6y+10=?2（4x+3y）+10=?2×（?5 ）+10=20．
16．（3分）如果|x?2y+1|+|x+y?5|=0，那么xy= 9 ．
【解答】解：∵|x?2y+1|+|x+y?5|=0，
∴ ，
②?①得：3y=6，
解得：y=2，
把y=2代入②得：x=3，
则原式=9，
故答案为：9
17．（3分）若不等式组 无解，则m的取值范围是 m＜ ．
【解答】解：解不等式组可得 ，因为不等式组无解，所以m＜ ．
18．（3分）若关于x的不等式2x?a≤0的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是 6≤a＜8 ．
【解答】解：解不等式2x?a≤0，得：x≤ ，
∵其正整数解是1、2、3，
所以3≤ ＜4，
解得6≤a＜8，
故答案为：6≤a＜8
19．（3分）如图，△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，若∠ABC=25°，∠ADB=110°，则∠DAC的度数是 90° ．
【解答】解：∵△ABC沿直线AB向下翻折得到△ABD，
∴∠C=∠D=110°，∠ABC=∠ABD=25°，
∴∠DAC=360°?110°?110°?25°?25°=90°
故答案为90°；
20．（3分）如图，任意一个凸四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边的中点，图中阴影部分的两块面积之和是四边形ABCD的面积的 ．
【解答】解：分别连接OB、OA、OD、OC，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴S△AOH=S△DOH，S△AOE=S△EOB，
S△BOF=S△COF，S△DOG=S△COG，
S△AOH+S△AOE+S△COF+S△COG= S四边形ABCD，
即图中阴影部分的总面积为= S四边形ABCD，
故答案为 ．
三．解答题：（共60分）
21．（8分）先阅读，然后解方程组 ．
解方程组时，可由①得x?y=1③，然后再将③代入②得4×1?y=5，求得y=?1，从而进一步 求得 这种方法被称为“整体代入法”．
请用这样的方法解方程组 ．
【解答】解： ，
由①得2x?y=2③，
将③代入②得 +2y=12，
解得y=5，
把y=5代入③得x=3.5．
则方程组的解为 ．
22．（8分）解下列不等式组：
（1）2（x+1）＞3x?4
（2） ．
【解答】解：（1）2（x+1）＞3x?4，
2x+2＞3x?4，
2x?3x＞?4?2，
?x＞?6，
x＜6；
（2）
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥?2，
∴不等式组的解集是?2≤x＜2．
23．（7分）如图所示，按要求画出图形：
（1）将图形向右平移6个单位长度，画出平移后的图形；
（2）将（1）中得到的图形向上平移5个单位长度，画出平移后的图形；
（3）将（2）中得到的图形向左平移7个单位长度，画出平移后的图形．
【解答】解：（1）所画图形如图（1）所示；
（2）所画图形如图（2）所示；
（3）所画图形如图（3）所示．
24．（7分）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？
【解答】解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50?x）台，
由题意，得：1000x+2000（50?x）≤77000
解得：x≥23．
∴该公司至少购进甲型显示器23台．
（2）依题意可列不等式：x≤50?x，
解得：x≤25．
∴23≤x≤25．
∵x为整数，
∴x=23，24，25．
∴购买方案有：
①甲型显示器23台，乙型显示器27台；
②甲型显示器24台，乙型显示器26台；
③甲型显示器25台，乙型显示器25台．
25．（10分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x?y＞?3，求出满足条件的m的所有非负整数解．
【解答】解：在关于x、y的二元一次方程组 中，
①?②，得：x?y=?3m+6，
∵x?y＞?3，
∴?3m+6＞?3，
解得：m＜3，
∴满足条件的m的 所有非负整数解有0，1，2．
26．（10分）某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个 工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．
1．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m的代数式表示）
2．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务？
【解答】（1）解：设x人加工G型装置，y人加工H型装置，由题意可得：
解得： ，
6×32÷4=48（套），
答：按照这样 的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品．
（2）由题意可知：3（6x+4m）=3（80?x）×4，
解得： ．
‚ ×4=240（个），
6x+4m≥240
6× +4m≥240．
解得：m≥30．
答：至少需要补充30名新工人才能在规定期内完成总任务．
27．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA= ，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 150 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 PA2+PC2=PB2 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 4PA2•sin2 +PC2=PB2 ．
【解答】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA= =30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∴PA2+PC2=PB2，
故答案为：150，PA2+PC2=PB2；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，
∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA= =60°，
∴∠APC=120°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=30°，
∴PD= PA，
∴PP′= PA，
∴3PA2+PC2=PB2；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
∴∠APP′=90°? ，
∵∵∠PAC+∠PCA= ，
∴∠APC=180°? ，
∴∠P′PC=（180°? ）?（90°? ）=90°，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∵∠APP′=90°? ，
∴PD=PA•cos（90°? ）=PA•sin ，
∴PP′=2PA•sin ，
∴4PA2sin2 +PC2=PB2，
故答案为：4PA2sin2 +PC2=PB2．
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