第四 几何图形初步
4.1 几何图形
§ 4.1.1 立体图形与平面图形
一、目标
1、知识与技能
（1）初步了解立体图形和平面图形的概念.
（2）能从具体物体中抽象出长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱等立体图形；能举出类似长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱的物体实体.
2、过程与方法
（1）过程：在探索实物与立体图形关系的活动过程中，对具体图形进行概括，发展几何直觉.
（2）方法：能从具体事物中抽象出几何图形，并用几何图形描述一些现实中的物体.
3、情感、态度、价值观：形成主动探究的意识，丰富学生数学活动的成功体验，激发学生对几何图形的好奇心，发展学生的审美情趣.
二、重点、难点:
教学重点：常见几何体的识别
教学难点：从实物中抽象几何图形.
三、教学过程
1.创设情境，导入新.
让我们一起看看北京奥运会奥运村模型图．（出示前图）

展示丰富多彩的图形世界.

2直观感知，识别图形
（1）对于各种各样的物体,数学中关注是它们的形状、大小和位置.
（2）展示一个长方体教具，让学生分别从整体和局部抽象出几何图形.观察长方体教具的外形，从整体上看，它的形状是长方体，看不同的侧面，得到的是正方形或长方形，只看棱、顶点等局部，得到的是线段、点.
（3）观察其他的实物教具（或图片）让学生从中抽象出圆柱，球，圆等图形.

（4）引导学生得出几何图形、立体图形、平面图形的概念.
我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.比如长方体，长方形 ，圆柱，线段，点，三角形，四边形等.几何图形是数学研究的主要对象之一.
有些几何体的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.如长方体，立方体等.
有些几何图形和各部分都在同一平面内，它们是平面图形.如线段，角，长方形，圆等.
3. 实践探究.
(1) 引导学生观察帐篷,,金字塔的图片,从面抽象出棱柱,棱锥.

(2)你能说说圆柱与棱柱,圆锥与棱锥的区别吗?
(3)你能再举一些圆柱、棱柱、圆锥、棱锥的实例吗？
(4）下图中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连起

4.小结
这节你有什么收获?
5.作业设计
本第123页习题4.1第1、2题；
第125页习题4.1第7、8题。
§ 4.1.1 几何图形（二）
一、教学目标
知识与技能
1．能识别简单几何体的三种视图.
2．会画简单立体图形及其它们的简单组合的三种视图.
3．进一步认识立体图形与平面图形之间的关系.
4．引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题.
5.过程与方法
在从不同方向看立体图形的活动过程中，体验立体图形与平面图形之间的相互转化，从而建立空间观念，发展几何直觉.
6.情感、态度、价值观
1）．通过活动，形成学生主动探究的意识，丰富学生数学活动的成功经验，激发学生对几何图形的好奇心和对学习的自信心.
2）．从实物出发，让学生感受到图形世界的无处不在，提高学生学习数学的热情.
二、重点与难点
重点：
1.在观察的过程中初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的结果.
2.能识别简单物体的三视图，会画简单立体图形及其它们组合的三种视图.
难点：
1.在面和体的转换中丰富几何直觉和数学活动经验，发展空间观念
2.能识别简单物体的三视图，会画简单立体图形及其它们组合的三种视图.
三、教学过程
1.创设情景，引入新
（1）请欣赏漫画并思考 ：为什么会出现争执？

（2） “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐真面目，只缘身在此中.”这是宋代诗人苏轼的著名诗句（《题西林壁》）.你能说出“横看成岭侧成峰”中蕴含的数学道理吗？
2.新学习
（1）不同角度看直棱柱、圆柱、圆锥、球　
让学生分别从正面、左面、右面，上面等各个角度观察：正方体木块，长方体木块，三棱镜，六角扳手，易拉罐，排球,圆锥，由浅入深，体会从不同方向看直棱柱、圆柱、圆锥、球等立体图形得到的平面图形，难点是在体会曲面的透视图，让学生交流、体验，集体作出小结.（可以给出三个视图的名称）
（2）猜一猜，看一看
Ⅰ.左看右看上看下看一个物体都是圆?(猜一物体)
Ⅱ.什么物体左看右看上看下看都是正方形？若是长方形呢？(各猜一物体)
Ⅲ.桌上放着一个圆锥和圆柱，请说出下面三幅图是分别从哪个方向看到的.

(3) 分别从不同方向观察以下实物(茶叶盒、魔方、书、乒乓球等)，你看到了什么图形?
你能一一画下吗7(画出示意图即可)

（4）（从不同角度看简单的组合图形，由少数组合逐步加多）如下图，画出下列几何体分别从正面、左面，上面看，得到的平面图形.（学生独立思考、合作交流，最后从模型上得到验证）

3.实践与探究
（1）

上图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么图形？
(2)再试一试，画出它的三视图．

(3)怎样画得又快又准?
（4）用6个相同的小方块搭成一个几何体,它的俯视图如图所示.则一共有几种不同形状的搭法(你可以用实物模型动手试一试)?

4.参考练习
（⒈）图，桌上放着一个球和一个圆柱，下面a、b、c、d、e这五幅图分别是从什么方向看到的？

（⒉）一个正方体中，截去一个小正方体的立体图如图所示，从左面观察这个图形，得到的平面图形是　　　　　　　（　　）

（3）一个由8个正方体组成的立体图形，从正面和上面观察这个图形时，得到的平面图形如图所示，那么从左面观察这个图形时，得到的平面图形可能是　　　　　　　　　　　　（　　）

（4）如图分别是某立体图形三视图，请根据图说出立体图形的名称

⑴正视图
俯视图
左视图

⑵正视图
俯视图
右视图

5.小结
(1)你对本节内容有哪些认识?
(2)你有什么收获?有什么感想?有什么困惑?
6.作业设计
本第120页练习1 ，本第124页习题4.1第3、4题

§ 4.1.1 几何图形（三）
一、教学目标
知识与技能
⒈了解直棱柱、圆锥等简单立体图形的侧面展开图。
⒉能根据展开图初步判断和制作立体模型。
⒊进一步认识立体图形与平面图形之间的关系。
⒋通过描述展开图，发展学生运用几何语言表述问题的能力。
过程与方法
⒈在平面图形和立体图形互相转化的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。
⒉通过动手观察、操作、类比、推断等数学活动，积累数学活动经验，感受数学思考过程的条理性，发展形象思维。
⒊通过展开与折叠的活动，体会数学的应用价值。
情感、态度、价值观
⒈通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识。
⒉通过探讨现实生活中的实物制作，提高学生学习热情。
二、重点与难点
重点：直棱柱的展开图。
难点：根据展开图判断和制作立体模型。
三、教学过程
1.创设情境，导入题
小壁虎的难题：
如图：一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想尽快吃到蚊子，应该走哪条路径？


学生各抒己见，提出路线方案。
教师总结：
若在平面上，壁虎只要沿直线爬过去就可以了。而在圆桶上，直线不太好找，那么把圆柱侧面展开，就可找出答案。
如图所示：

圆柱侧面展开后是矩形，壁虎只要沿图中直线爬向蚊子即可。若蚊子和壁虎在其他几何体上，如棱锥，正方体…… 它们展开后是什么图形呢？今天我们就讨论它们的展开图。
2、新探究：
（1）正方体的表面展开图
教师先演示正方体的展开过程，提醒沿着棱展开，且展开图必须是一个完整的图形。然后让学生拿出学具正方体纸盒（或是前准备好的正方体纸盒，或现成的正方体包装盒）进行动手操作，得到正方体展开图。
.教师再拿出如下图所示的两个纸片，提问：能否经过折叠围成一个正方体？若不能，如何改变其形状就能围成一个正方体？（要求学生仔细观察，思考，讨论，并动手操作验证猜想）

（2）其他直棱柱的表面展开图
学生从其他直棱柱中任选一种，得到它的展开图，相互交流。教师指导总结。
（特别是圆柱体展开时，体会怎样展开会得到侧面是一个长方形）
（3） 让学生分组研究观察三棱锥的展开图。
归纳：从刚才的实践过程中，大家可能已经感受到，同一个几何体，按不同的方式展开，得到的展开图也不同。
（4）你能想象出下面的平面图形可以折叠成什么多面体？动手做做看。

提问：通过实践，说说以上平面图形叠成什么多面体？
上面的图〈1〉及图〈3〉可以折叠成正三棱锥，所以它们都是正三棱锥的表面展开图。图〈2〉不可以折叠成正三棱锥，所以它不是正三棱锥的表面展开图。
归纳：一些平面图形也可以围成立体图形。
（5）提问：是所有的立体图形都能展开成平面图形吗？
老师引导得出：是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
3.小结
（1）一些立体图形是由平面图形围成的立体图形，沿着它们的一些棱将它剪开，可以把多面体展开成一个平面图形．体现了立体图形与平面图形之间的相互联系。
（2）对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形研究和处理。
4.作业设计
（1）本第124页习题4.1第5题
（2）本第125-126页习题4.1第11、12、14题

§ 4.1.2 点、线、面、体
一、教学目标：
知识技能：
1、进一步认识点、线、面、体的概念.
2、理解点、线、面、体之间的关系.
过程与方法
通过学习点、线、面、体之间的关系，进一步发展学生抽象概括能力和形象思维的能力.
情感、态度、价值观
通过联系现实世界中各种常见的几何体及情景，让学生认识数学与现实生活的密切联系.
二、教学重、难点
重点：点、线、面、体之间的关系.
难点：体会点动成线、线动成面、面动成体
三、教学过程：
1.问题情境
[问题1]
（1）举出一些你所熟悉的立体图形.
（2）① 你知道这些体是由什么围成的吗？它们有什么不同吗？
②面与面相交的地方形成了什么？它们有什么不同呢？
③线与线相交之处又得到了什么？
（3）举出生活实际中分别给体、面、线、点的形象的例子
学生先独立观察、思考，然后再讨论、交流得出以下结论：
（1）体是由面围成的.面有两种，平面和曲面.
（2）面与面相交的地方形成了线，线有直的也有曲的.
（3）线与线相交的地方是点.
教师对以上结论加以总结、完善．得出点、线、面、体之间的关系.即“体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点”.
教师鼓励学生联想身边熟悉的情景，尽可能多的举出例子，并把前准备的挂图和物品等展示出和学生交流.
[问题2]（学生动手操作、思考并回答问题）
（1）①笔尖可以看作是一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么？
② 通过上述运动你得出了什么结论？
③ 你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗？
教师在学生回答问题的基础上总结得到“点动成线”的结论.
学生在组内讨论、交流的基础上，举出更多实例.如：蚂蚁搬家；在一望无际的沙滩上；一个孤独的旅行者留下的一排长长的足迹… …
（2）①汽车雨刷可以看作是一条线，它在档风玻璃上运动时有什么现象？
②通过对上面现象的分析你得出了什么结论？
③你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗？
①教师让学生拿笔或直尺当雨刷在纸上演示，启发学生类比上一个问题.并鼓励学生用自己的语言说出发现的结论.
②学生通过仔细观察图片，动手实践，回答问题.得出“线动成面”的结论.
③学生经讨论、交流后举例.如：夜晚街头闪烁的霓虹灯、利用竹条编织的凉席，用扫帚扫地、用刷子刷油、钟表盘上分针时针的运动… …
（3）①长方形纸片绕它的一边旋转，形成了什么图形？
②通过对上面现象的分析你得出了什么结论？
③你能再举出一些例子进一步说明这一结论吗？
④你能找出它们之间的对应关系吗？
教师演示旋转过程，让学生通过观察，大胆猜测，想象.
学生在观察、猜测、想象之后独立思考得出结论，再通过动手实践加以验证；最后进行小组讨论、交流，回答问题.得出“面动成体”的结论.
学生经小组交流，举出例子.如把三角尺绕其一边旋转形成几何体、一摞壹元硬币……
[问题3]
（1）为什么在中国地图上，北京只是一个点，而在北京市地图上北京几乎占了整个版面？

学生先独立思考后讨论、交流．回答问题，同学们之间可以相互补充、纠正.
（2）观察下面的图片，你有什么发现？构成几何图形的基本元素是什么？

学生观察图片.表述观点.
教师参与学生的交流活动，总结出几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素.
2.小结.
本节是从实际物体中抽象出几何图形、立体图形、平面图形，又进一步抽象出体、面、线、点等基本元素，研究了它们之间的关系之后，又由这些基本元素得到丰富多彩的图形世界.
3.布置作业.
后收集能反映点、线、面、体之间关系的资料、图片及实物模型.

§ 4.2 直线、射线、线段（一）
教学目标
知识与技能
1、在现实情境中理解线段、直线、射线等简单的平面图形。
2、理解两点确定一条直线的事实。
3、掌握直线、射线、线段的表示方法。
4、理解直线、射线、线段的联系和区别
过程与方法
1、通过学习直线、射线、线段的表示方法，使学生建立初步的符号感。
2、通过对直线、射线、线段性质的研究，体会它所在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象。
3、运用对比法、归纳法总结差异。
情感、态度、价值观
通过对直线、射线、线段的性质的探究，使学生初步认识到数学与现实生活的密切联系，感受数学的严谨性以及数学结论的确性。
教学重难点
重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，两点确定一条直线的性质。
难点：直线性质的发现，理解及应用及不同几何语言的相互转化。
教学过程：
一、复习引入：
（1）点、线、面、体是构成几何图形的元素。从运动的观点看，可以说是点动成线，线动成面，面动成体。因此对几何图形的学习我们也可以按点、线、面、体的顺序展开。
（2）点是用表示物体的位置的。点无大小之分。如何表一个点呢？
图形语言 字语言
二、探究新知：
（1）在以前的学习中我们学过哪些线？
直线、射线、线段
（2）生活中有哪些关于直线、射线、线段的形象，试举例说明？
（3）请分别画出一条直线、射线、线段？学生画图，教师在黑板上示范，给出规范的表示方法.
（教师关注：学生是否注意到用两个大写字母表示射线时，端点的字母写在前面）
（4）如何表示一条直线、射线、线段？
图形语言 字语言
（教师关注：学生是否注意到直线、射线、线段都有两种表示方法.）
三、讨论交流：
（1）你能结合自已所画图形寻找出直线、射线、线段的特征吗？你能发现它们之间的区别与联系吗？
直线、射线、线段的联系与区别:

端点个数延伸方向
直线无向两方无限延伸
射线一个向一方无限延伸
线段两个不向任何一方延伸
（2）已知线段AB，你能由线段AB得到直线AB和射线AB吗？

（3）从一条直线上如何得到射线和线段？
归纳：线段和射线都是直线的一部分
4、动手做一做：
（1）过一点可画出多少条直线？
让学生动手画，结合图形描述点和直线的位置关系
（2）过两点可画出多少条直线？
（3）在墙上过定一个板条，你认为至少要几颗钉子？
引导学生得出直线的性质定理：
过两点有且只有一条直线。（两点确定一条直线）
（4）在日常生活和生产中常常用到这个基本事实。如建筑工人在砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉直一条直的参照线。你能举出类似的例子吗？
引申：过三点可以画出几条直线？
引导学生按三个点的相互位置分类讨论。
5、堂练习：
按下列语句分别画也相应的图：
（1）直线EF经过点C；
（2）点A在直线m外；
（3）经过点O的三条线段a、b、c；
（4）线段AB、CD相交于点B.
6、小结：
这节我们学习了哪些知识？（结合具体的图形，突出图形语言和字语言的转化）
思考：1.一条直线上有三个点，它们能组成多少条线段？四个点呢？试想有n个点，则能组成多少条线段？
2.一条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，那么3条直线把平面最多分成几个部分？4条呢？n条呢？
7、作业设计
本132页习题4.2第2、3、4题。
选做134页习题4.2第11题。

§ 4.2 直线、射线、线段（二）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教学目标
知识与技能
1．会画一条线段等于已知线段.
2．结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小.
3．利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用.
4．知道两点之间的距离和线段中点的含义.
过程与方法
通过学习线段大小比较，学习线段中点、三等分点、四等分点等定义，使学生建立初步的符号感.
通过对两点之间线段最短的性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象.
情感态度价值观
培养学生合作交流的意识和探索精神，感受数学的严谨性以用数学结论的确定性.
教学重点：线段大小的比较，线段的性质
教学难点：线段中点、三等分点、四等分点的表示方法及应用.
教学过程：
一、引入
二、画一条线段等于已知线段
如何画一条线段等于已知线段？
教师对学生的回答进行归纳总结.指出画一条线段等于已知线段有两种方法：
（1）如图，作射线AC，在射线AC上截取AB=a.（教师边说边示范尺规作图）

（2）先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.
三、比较线段的大小
（1）怎样比较两位同字的身高？
学生分组活动，讨论、实践、交流.教师参与活动，倾听学生的交流，指导学生完成任务，从而共同总结出两种方法：度量法、叠合法.
（2）怎样比较两条线段的大小？
学生独立思考和讨论的基础上，请学生把自已的方法进行演示、说明。教师对学生的回答进行规纳总结.指出比较两条线段的大小有两种方法.
①度量法：用刻度尺分别测量出它们的长度比较；
②叠合法：把其中一条线段移到另一条线段上作比较.在此基础上教师给出线段大小的数量表示方法.
（3）完成教科书第123页练习.
学生独立完成，教师加以指导.
四、等分线段
1.让学生将一条绳子对折，使绳子的端点重合，你能说说你的感受吗？
学生分组活动、讨论、交流，教师深入小组参与活动，倾听学生交流.
2.线段中点的表示方法.

（1）结合图形，引导学生理解给出线段中点的三种表示方法（由形到数）
A=B； A=B= ； AB=2A=2B．

（2）结合图形若给出相应数量关系也可得到的中点.（由数到形）
3.什么是线段的三等分点？四等分点？
教师边画图，边给出表示方法.
线段的中点只有一个，三等分点有两个，四等分点有三个...
五、两点的距离
问题:（1）教科书第130页思考中的问题.
教师引导小组交流后得出结论“两点的所有连线中，线段最短”简单说成：“两点之间，线段最短”.
（2）你能举出这条性质在生活中的一些应用吗？
（3）什么是两点的距离？
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
注意：两点的距离不是线段，而是线段的长度.
六、堂小结
学完这节你有哪些收获？
学生自已总结，不全面的由其它学生补充完整
七、作业设计
本133页习题4.2第5、7、8题．
134页习题4.2第9、10题。
§ 4.2 直线、射线、线段 （三）练习
教学目标：
1.复习巩固直线、射线、线段的概念.
2.加强图形语言和字语言的相互转化.
3.会运用线段中点的知识解决有关的实际问题
教学重点：
线段、射线与直线的概念，两点确定一条直线的性质；
线段大小的比较，线段的性质。
教学难点：理解及应用及不同几何语言的相互转化。
教学过程：
活动1.如图：已知点A、B、C、D，根据下列语句画图
（1）画直线AB，AD
（2）画射线AC，CB
（3）连结CD，BD

活动2 如图1-1，A，B，C，D为直线l上的四个点．

问：（1）图中以C为端点的射线有几条？把它们分别表示出；
（2）图中共有几条射线？能够用所给出的字母表示的有几条？把它们分别表示出.
（3）图中共有几条线段？把它们分别表示出.

活动3 画图说明以下问题:
(1)过三点可以画一条直线吗?
(2)有A、B、C三点,过其中每两个点画直线,可以画几条直线?
(3)三条直线两两相交,一共有几个交点?
活动4.按下列语句画出图形:
(1)直线EF经过点D,点C在不在直线EF上;
(2)线段AB、CD相交于点B.
(3)P是直线a外一点,过点P有一条线段b与直线a不相交.
(4) P是直线a外一点,过点P有一条直线b与直线a不相交.
4.两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点.这是为什么?画图说明.
活动5 .如图，点C 在线段AB 上，是AC中点，N是CB中点

(1)AC = 2cm，BC = 3cm，求N的长？
(2)A = 1cm，BC = 3cm，求AB的长？
(3)AB = 5cm，C = 1cm，则NB的长？

探究：
（1）如图，点C 为线段AB 上任一点，是AC中点，N是CB中点，且 ，你能猜想 的长度吗？写出你的结论，请说明理由，并用一句简洁的话描述你发现的结论.

（2）若 在线段 的延长线上，且满足 ，是AC中点，N是CB中点，你能猜想 的长度吗？写出你的结论，并说明理由.

参考练习：
一、填空：
1.一条直线有 个端点，一条射线有 个端点，一条线段有 个端点.
2.如图 A、B、C分别是直线上的三点，要有两个大写字母表示这条直线，可以分别表示为
3.如图，E、F是线段BD上两点，图中共有 条线段，它们分别是

4.如图,点A在直线m上,也可以说直线m经过点A.点B、C在直线外,也可以说________________.

二、选择题：
1.下列结论中正确的是（ ）
A.经过两点只能画一条线 B.射线比直线短
C.线段有两个端点 D.射线的端点不包括在射线内
2.下列结论中不正确的是（ ）
A.直线AB和直线BA表示同一条直线
B.射线AB和射线BA表示同一条射线
C.线段AB和线段BA表示同一条线段
D.直线可以表示为直线a
3.如图，PQ为直线，N为线段，OH为射线，则图中两线段相交的是（ ）

4.如图，直线AC和BD相交于点O，下面语句正确的是（ ）

A.射线OA与射线OC是同一条射线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.射线BO与射线BD是同一条射线
D.射线BD与射线OD是同一条射线1．

5．如图，下列结论中不正确的是（）

A．直线AB与直线BA是同一条直线B．射线OA与射线OB是同一条射线
C．射线OA与射线AB是同一条射线D．线段AB与线段BA是同一条线段
三、计算题：
1.已知线段AB，延长AB到C，使AB = 3BC，D是AC中点，DC = 2cm，求AB的长
2.把线段AB延长到C，使BC = 2AB，再延长BA到D，使AD = 3AB，求DC与AB的关系，DC与BC，BD与AB，BD与BC的关系.
3.有一个底面半径为5cm的圆柱形储油器,油中浸有铁球,若从中捞出质量为546πg的铁球,问液面下降多少?(1 的铁的质量为7.8g)
(1)数轴上A,B两点所表示的数分别是－5，1，那么线段AB的长是 个单位长度，线段AB的中点所表示的数是
(2)已知线段AC和BC在一条直线上，如果AC =5.6 cm,BC=2.4 cm,求线段AC和BC的中点之间的距离．

§ 4.3.1 角（一）
教学目标
1.角的定义和相关概念，用运动的观点理解角、直角、平角、周角，掌握角的表示方法；
2.能进行度与度分秒之间的转化，能够作一个角等于已知角．
3.使学生在学习知识的过程中体会研究几何图形的方法和步骤．
教学重点：角的概念及表示方法.
教学难点：角的准确度量及度、分、秒的换算.
教学过程
（一）情景导入
1.、观赏画面（找挂图）和实物，请在画面中的共同点????角.

（二）探求新知：
1、请举出生活中角的实例.
2、归纳、总结角的概念：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点叫这个角的顶点，这两条射线叫做角的边.

提醒：平时画角时，只能将边画成两条线段，即用角的一部分研究角．
3、小学曾接触到角，我们已经有了初步的认识，那么角是如何表示的？角的大小用什么表示呢？用什么工具去度量呢？它的单位是什么呢？
4、结合图形讲解角的表示方法（四种方法）

（1）用三个大写字母：表示角的顶点的字母写在中间∠AOB；
（2）用数字：∠1，∠2；
（3）用希腊字母：∠α，∠β；
（4）用一个大写字母：表示角的顶点的字母∠O．
5. 钟表上的时针与分针是如何构成角的？从中你能得到什么启发？
学生活动设计：观测钟表，发现角是由线旋转而成的，从而可以从运动的观点定义角．
角的第二定义：
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
说明角的始边、终边、角的内部、角的外部、直角、平角、周角等概念，进而得到两种特殊的角：平角和周角．
平角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB在一条直线上时，形成平角；
周角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB重合时，形成周角．

平角 周角
6、角的度量
（1）我们常用量角器度量一个角的度数，度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角分成360份，一份就是1°，把1°分成60份，一份就是1′，把1′分成60份，一份就是1″，以度分秒为单位的角的度量制就是角度制，从角度制不难发现，角的度数在进行运算时，是60进制的．
（2）填空：
1周角= 0 1平角= 0
10= ′ 1′= ″
（三）实践与应用
例 1 如右图：在∠AOB的内部有两条射线OC，OD，请问图中有几个角？（小于平角的角）

例 2 如图：用另一种方法表示角：
（1）∠а表示为 （2）∠FCG表示为
（3）∠r表示为 （4）∠1表示为
（5）∠BDE表示为

例 3 （1）把3.620化为度、分、秒.（2）把50023′45″化成度.
例4 一天24小时中，时钟的时针和分针共组成多少次平角？多少次周角？
（四）小结与收获
1.角的两种定义、
2.四种表示方法；
3.度分秒的转化、角度制
（五）作业设计
本第144页习题4.3第7题。

§ 4.3.1 角（二）
教学目标
知识技能：
（1）会正确使用量角器测量一个角的度数.
（2）会用一副三角板，画出150、300、450、600、750、900、1050、1200、……等特殊角.
（3）会用量角器画一个角等于已知角.
（4）掌握角的和、差、倍、分的计算.
过程与方法：
（1）通过实际操作，培养学生的动手和计算能力.
（2）讨论、研究、探索、归纳法
情感、态度、价值观：
培养学生的求知欲和学习数学的积极性.
教学重难点
重点：画一个角等于已知角和角的计算.
难点：角的和、差、倍、分的计算
教学过程
（一）师生共同探求，解决如下问题
1、量角器的使用方法.（测量一个已知的度数；画出个已知其度数的角）
2、用一副三角板画特殊角.
3、画一个角等于已知角.
4、如问进行角度的有关运算.
（二）例题讲解
例 1 计算
（1）1800 -（78036′- 25027′）
（2）18015′×6
（3）13010′÷4
例 2
（1）若时针由2点30分起到2点55分，问时针、分针各转过多少度数？
（2）钟表上2时15分，时针与分针所成角小于900的角的度数是多少？
例 3 已知∠，如图，画∠AOB，使∠AOB的度数等于∠的度数.

例 4 如图∠1：∠2：∠3=1：2：3，∠4=600，试求∠1、∠2、∠3的度数.

（三）堂活动，强化训练
填空题：
1、计算并填空：
（1）23045′+ 24026′=
（2）55012′- 16037′=
（3）5024′× 3=
（4）25030′÷3=
2、已知∠а=27055′45″，那么3∠а= .
1/3∠а= .
3、由2点整到3点30分，时钟的时针转了 度.

选择题：
1、如果∠а=2∠β，∠r=2∠а，则正确的是（ ）
A、∠β=∠r B、∠β=1/4∠r
C、∠β=4∠r D、∠r=1/4∠β
2、若∠1=75024′，∠2=75.30，∠3=75012′，则（ ）
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3
C、∠1=∠3 D、以上都不对
3、8点30分，这一时刻，时针与分针的度数是（ ）
A、700 B、750 C、800 D、250

解答题：
1、在1点和2点之间,时钟的时针与分针在什么时刻成900角

2、用一副三角板画图，画一个角使这个角等于1350

3.三个角的和为140度，第二个角为第一个角的3倍，第一个角比第一，第二个角的和还大20度，求这三个角的度数.

（四）拓展应用
任意画一个三角形，用量角器量出三个角的大小，并求出这三个角的和；多画几个试试，看看它的结果怎样？你有什么猜想？

（五）小结：
师生共同归纳本节所学的内容
角的和、差、倍、分的计算方法

（六）作业设计
1.本第143页习题4.3第1、2、3题。
2.本第146页习题4.3第14题。

§ 4.3.2角的比较和运算（一）
教学目标
知识与技能
会用两种方法比较两角的大小，知道两角的和、差的意义，了解角平分线的意义，并能用肯定语言表示.
过程与方法
观察、操作、合作交际，画图、比较、归纳
情感、态度、价值观
能通过角的比较等体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段
教学重难点
重点：角的大小的比较方法
难点：角的平分线的表示方法及其应用
教学过程：
一、情景导入
我们前面已经学习了怎样比较两条线段的长短，那么，我们怎样比较两个角的大小呢？
二、探求新知：
1.与线段的比较类似，我们也有两种方法比较角的大小，一种方法为度量法：可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，另一种方法为叠合法：即把他们叠合在一起比较大小.
（1）叠合法比较两角大小时，顶点必须重合，一边必须重合，另一边落在其余一边的同旁.
教师通过活动演示三种情况：
∠DEF=∠ABC，∠DEF＜∠ABC，∠DEF＞∠ABC，如图所示．

演示：移动∠DEF，使其顶点E与∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，出现以下三种情况，如图所示：

∠DEF=∠ABC ∠DEF＜∠ABC ∠DEF＞∠ABC
学生活动
观察教师演示后，同桌也可以利用两副三角板演示以上过程，帮助理解比较两角的大小，回答教师提出的问题．
①EF与BC重合，∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF=∠ABC．
②EF落在∠ABC的内部，∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC．
③EF落在∠ABC的外部，∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC．
强调角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关，以及角的符号与小于号、大于号书写时的区别．
(2)测量法(测量前教师可提问使用量角器应注意的问题．即三点：对中；重合；读数)
角大度数大，角小度数小．
学生活动：请同学们同桌分别画两个角，然后交换用量角器测量其度数，比较它们的大小．
2.如图所示：

同学们能在上图中找到几个角？它们这间有何关系呢？
我们可以容易看出，
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC，
而∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC，
类似我们还有：∠AOC-∠AOB=∠BOC
3. 如图所示，
如果∠AOB=∠BOC，则∠AOC= ∠AOB +∠BOC=2∠AOB =2∠BOC，
即∠AOB=∠BOC= ∠AOC

如这种从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两角的射线，叫做这个角的平分线，类似地还有角的三等分线等.

通过对角平分线的理解，可以得到如下数量关系：
若OC平分∠AOB，则（1）∠1＝∠2；
（2）∠1＝∠2＝ ∠AOB；
（3）∠AOB＝2∠1＝2∠2．
反之结合上图如果角之间满足上面的数量关系也可说明OC是∠AOB的平分线.
4. 如何作一个角的平分线？你能想到什么方法？
方法1度量法；
方法2折纸法??对折角始角的两边重合，折痕就是角平分线．

三、例题讲解
例1 如图：∠AOB是哪两个角的和？∠DOC是哪两个角的和？若∠AOB=∠COD，则还有哪两个角相等？

例2 如图： AOB是一条直线，∠AOC=900，∠DOE=900，
写出∠AOD、∠COD、∠AOC、∠AOB、∠BOD中某些角
之间的两个等量关系.

例3 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，
求∠AOC的度数？

例4 如图：已知O为直线AB上一点，∠AOC的平分线O，∠BOC的平分线为ON，求∠ON的度数？

例5 如图所示，O为∠AOB的平分线，射线OC在∠BO内，ON为∠BOC的平分线，
已知∠AOC=800，求∠ON？

四、小结：
这节你学到了什么？
师生共同归纳本节所学的内容．
通过学习，我们知道了角的比较方法有两种：度量法和叠合法，并且通过自己的动手实验，学会了用三角尺画出一些特殊的角和用折纸方法折出一个角的平分线，同时明白了一个道理：到想真正掌握知识，就必须在学习过程中注意观察，勤于操作，积极思考，主动交流，善于总结．

五、作业设计
1.本第143页习题4。3第2、3、4、5、6题。
2.第144-145页习题4。3第10、11、15题。

§ 4.3.3角的比较和运算（二）
—— 余角和补角
教学目标
1.了解余角和补角的定义和性质，并能熟练应用
2.掌握图形语言和字语言的转化,
3.通过联系实际，让学生在数学活动中发展合作交流的意识，培养数形结合的思想
教学重点：互余、互补等概念和性质
教学难点：理解互余、互补等概念并熟练应用
教学过程：
一、情景导入
1.用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和.

2.说出一副三角尺中各个角的度数.
一幅三角板中，每一块都有一个角是900，且另外两角为300、600和450，450那么它们两者之间作何关系呢？
二、探求新知
1.我们可以看出，在一幅三角板中，除了一个900，我们都有300+600=900，而450+450=900。
因此我们规定如果两个有的和等于900（直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.
如:300、600是互为余角(简称互余),300是600的余角,600也是300的余角。
类似地如果两个角的和等于1800（平角），就说这两个角互为补角（简称互补），其中的一个角是另一个角的补角.
2.互为补角和互为余角的角主要反映角的数量关系,而不是角的位置关系.
3. 一个角是35039’，求它的余角和补角？
（独立完成，个别回答，学生点评）
4． 如图：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠2=∠3，则∠1与∠4相等吗？为什么？

由上例我们可以得出结论： 等角(或同角)的补角相等
类似地，我们还有 等角(或同角)的余角相等
三、实践与应用
例1 如图：OC是 的平分线， 是直角，，图中互余的角有几对，互补的角有几对？把它们写出.

例2已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小120，求这个角余角和补角的度数？
(可运用方程知识求解)

例3 填表后思考，并回答问题：
∠α∠α的余角∠α的补角∠α的补角-∠α的余角
300
60049’
1220
如果00＜α＜900，那么∠α的余角与补角之间有何关系？
练习：
1.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角。
2.本第141页练习
四、小结
这节，使我感受最深的是……
这节，我感到最困难的是……
这节，我学会了……
这节，我发现生活中……
这节，我想我将……
学生自己总结，可在班上或同桌之间交流．
五、作业设计
本第144页习题4.3第7、8题，第13题。
参考练习
1.互补的两个角可以都是 （ ）
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.平角
2.如图，OC是平角∠AOB的平分线，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，图中和∠COD互余的角有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.0
D C E

A O B
3.如图，∠AOC=∠BOD=900，∠AOB=620，求∠COD的度数.
D C B
O A

§ 4.3.3 角的比较和运算（三）
—— 方位角
教学目标：
知识与能力
能正确运用角度表示方向，并能熟练运算和角有关的问题
过程与方法
能通过实际操作，体会方位角在是实际生活中的应用，培养学生的抽象思维.
情感、态度、价值观
能积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心和求知欲
教学重难点：
重点：方位角的表示方法
难点：方位角的准确表示
教学过程
一、情景导入
1.海上，缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只（如图），立即赶往检查．现请你确定缉私艇的航线，画出示意图．并用语言描述出.
A•可疑船

B•缉私艇

2.实际生活中，在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上 述类似问题，即如何描述一个物体的方位。有一种角经常用于航空、航海，测绘中领航员常用地图和罗盘进行这种角的测定，这就是方位角，方位角应用比较广泛，什么是方位角呢？
二、学习新知
方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东300”，“南偏西400”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成“东偏北600，西偏南500”等，但有时如北偏东450时，我们可以说成东北方向.
三、实践与应用
例1 如图：指出图中射线OA、OB所表示的方向.

例2 若灯塔位于船的北偏东300，那么船在灯塔的什么方位？
（要让学生画出相应图形，结合图形回答）
（换成其它的方位角再回答然后找到规律）

例3 如图，货轮O在航行过程中发现灯塔A在它的南偏东600的方向上，同时在它北偏东600，南偏西100，西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、海岛D方向的射线

四、小结
引导学生讨论本节所学知识以及需要注意的问题
五、作业设计
本第144页习题4.3第9题，第12题。

五、参考练习：
1.请使用量角器、刻度尺画出下列点的位置.
（1）点A在点O的北偏东300的方向上，离点O的距离为3cm.
（2）点B在点O的南偏西600的方向上，离点O的距离为4cm.
（3）点C在点O的西北方向上，同时在点B的正北方向上.

2. 如图，若已知∠1+∠2=900，∠2+∠3=900，问∠1和∠3是什么关系？为什么？若∠2和∠4相等，则∠1和∠4要满足什么关系？为什么？

3.如图，O是直线AB上一点，∠AOB=∠FOD=900，OB平分∠COD,图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？


教学后记：

第四《图形初步认识》复习（一）
教学目标
知识与技能
1．使学生理解本的知识结构，并通过本的知识结构掌握本全部知识；
2．对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识；
过程与方法
经历相关内容的归纳、总结，巩固对图形的直观认识，了解图形的分割和组合，探索学习空间与图形的方法
情感、态度、价值观
在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验
教学重难点
重点是理解本的知识结构，掌握本的全部定理和公理；
难点是理解本的数学思想方法．
教学过程
一、引导学生画出本的知识结构框图

二、具体知识点梳理
（一）多姿多彩的图形
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
1、几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆等.
主（正）视图---------从正面看
2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
3、立体图形的平面展开图
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.
（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.
4、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
体：几何体也简称体.
（2）点动成线，线动成面，面动成体.
（二）直线、射线、线段
1、基本概念
直线射线线段
图形
端点个数无一个两个
表示法直线a
直线AB（BA）射线AB线段a
线段AB（BA）
作法叙述作直线AB；
作直线a作射线AB作线段a
作线段AB
连接AB
延长叙述不能延长反向延长射线AB延长线段AB；
反向延长线段BA
2、直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简单地：两点确定一条直线.
3、画一条线段等于已知线段
（1）度量法 （2）用尺规作图法
4、线段的大小比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等
定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.

图形：

A B
符号：若点是线段AB的中点，则A=B= AB，AB=2A=2B.
6、线段的性质
两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.
7、两点的距离
连接两点的线段长度叫做两点的距离.
8、点与直线的位置关系
（1）点在直线上 （2）点在直线外.
（三）角
1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
2、角的表示法（四种）：
3、角的度量单位及换算
4、角的分类
5、角的比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
6、角的和、差、倍、分及其近似值
7、画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
8、角的平线线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.
图形： 符号：
9、互余、互补
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.
10、方向角
（1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向
（3）东（西）北（南）方向
四、练习
1、下列说法中正确的是（ ）
A、延长射线OP B、延长直线CD C、延长线段CD D、反向延长直线CD

2、下面是我们制作的正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问题：
（1）和A面所对的会是哪一面？

（2）和B面所对的会是哪一面？

（3）面E会和哪些面相交？

3、 两条直线相交有几个交点？
三条直线两两相交有几个交点？
四条直线两两相交有几个交点？
思考:n条直线两两相交有几个交点？

4、 已知平面内有四个点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可画多少条直线，
最多可画多少条直线？画出图．
5、已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，CD=2．5厘米，请你求出线段AB、AC、AD、BD的长各为多少？

6、已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，求PB的长．
五、作业设计
本第152~153页复习题4第1~6题

第四《图形初步认识》复习（二）
教学目标
知识与技能
应用本知识解决一些实际问题
过程与方法
通过实验、操作，提高对图形的认识能力，探索学习空间与图形的方法
情感、态度、价值观
在解决一些实际问题的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验。
教学重难点
重点是理解本的知识结构，掌握本的全部定理和公理；
难点是理解本的数学思想方法．
教学过程
一、例题讲解
例1如图1-1，正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点，画出蚂蚁爬行的最短线路
.
分析：正方体是空间图形，解决空间图形的问题，经常是将空间图形转化为平面图形，这正是转化思想的体现.
解：将正方体展开成平面图形，如图1-2所示，因为两点之间线段最短，所以，在图1-2中，BD1就是所要求的最短线路.
例2一个角的补角是它的3倍，这个角是多少？
分析：设这个角的度数为x，则它的补角为180－x，根据题意，可列出一元一次方程求解.
解：设这个角的度数为x，则有180－x＝3x.解这个方程，得x＝45°.所以这个角是45°.
例3如图2，点O是直线A上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB 的平分线，
求∠DOE的度数.
分析：在解决线段的中点和角的平分线问题时，某个环节整体处理，能化难为易，轻松求解.
分别求出∠DOC、∠EOC的度数，再相加得到∠DOE的度数，是不可能的，可将∠DOE作为一个整体考虑.

解：因为OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，
所以∠COD＝ ∠COA，∠COE＝ ∠COB，
而∠COA＋∠COB＝180°，
所以∠DOE＝ （∠COA＋∠COB）＝ ×180°＝90°.
例4 如图3-173所示，回答下列问题。
图3-173
（1）图中有几条直线？用字母表示出；
（2）图中有几条射线？用字母表示出；
（3）图中有几条线段？用字母表示出。
解：（1）图中有1条直线，表示为直线AD（或直线AB，AC，BD，BC，CD）；
（2）共有8条射线，能用字母表示的有射线AB，AC，AD，BC，BD，CD，不能用字母表示的有2条，
二、堂练习
１. 已知平面内有四个点　A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可画多少条直线，最多可画多少条直线？画出图并说明理由．
２．已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，CD=2．5厘米，请你求出线段AB、AC、AD、BD的长各为多少？

3．已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，求PB的长．
4．计算下列各题:
（1）23°30′＝____°;13．6°＝____°____′；
（2）52°45′－32°46′＝____°____′；
（3）18．3°+26°34′＝____°____′．
5．由图形填空 :
∠AOC＝______+______ ；
∠AOC－∠AOB ＝_________ ；
∠COD＝ ∠AOD－_______ ；
∠BOC＝ _____－ ∠COD ；
∠AOB+∠COD＝_____－______．

第5题 第6题
6．如图，A、B、C在一直线上，已知 １＝53°, 2＝37°．CD与CE垂直吗？
三、堂小结
根据复习练习情况小结
四、作业设计
本第153~154页复习题4第7~12题

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