直线平行的条件(一)
目标
1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力.
2.经历探究直线平行的条件的过程,掌握直线平行的条件,领悟归纳和转化的数学思想方法.
重点、难点
探索并掌握直线平行的条件是本课的重点也是难点.
过程
一、复习引入
1.填空:经过直线外一点 ,________与这条直线平行.
2.画图:已知直线AB,点P在直线AB外,用直尺和三角尺画过点P的直线CD,使CD∥AB.
3.反思:在用直尺和三角形画平行线过程中,三角尺起着什么样的作用.
学生讲出是为画∠PHF,使所画的角与∠BGF相等.
教师指出既然两个角相等与两条直线平行能联系起来, 那么这两个角具有什么样的位置关系,我们是否得到了一个判定两直线平行的方法?这是本课要研究的内 容之一.
二、探索直线平行的条件
1.画出课本图5.2-5的简化图形,分析∠1、∠2的位置关系.
(1)让学生先描述∠1、∠2的方位.
(2)教师指出像∠1、∠2这样分别位于直线CD、AB的下方,又在直线EF的右侧, 也就是位置相同的两个角叫做同位角.
(3)让学生识别图中其他的同位角,并标记出它们,要求正确而又不遗漏.
(4)教师强调:同位角是具有特殊位置关系的两个角, 它不同于对顶角和邻补角.同位角都有一条边在截线EF上.
2.归纳利用同位角判定两条直线平行的方法.
(1) 学生根据同位角的意义以及平推三角尺画出平行线活动中叙述判定两条直线平行的方法.
教师引导学生正确表达平行线的判定方法1,并板书.
方法1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单记为:同位角相等,两条直线平行.
(2)教师引导学生,结合图形用符号语言表达两直线平行的判定方法1: 如果∠1=∠2,那么AB∥CD.[
教师强调判定两直线平行方法1的条件中有两层意思:第一层这两个角是这两条被第三条直线所截而成的一对同位角;第二层这两个角相等两者缺一不可.
(3)简单应用.
①教师表演木工用每尺画平行线过程,让学生说出用角尺画平行线的道理(结合P15图5.2-7).
教师规范说理过程:因为∠DCB与∠FEB是直线CD、EF被AB所截而成的同位角,而且∠DCB=∠FEB,即同位角相等,根据直线平行判定方法,从而CD∥EF.
3.利用教具模型认识内错角和同旁内角.
(1)教师展示教具模型,并在黑板上画出右图图型,指出在直线a、b被直线c所截成的角中,∠1和∠2是同位角,∠2与∠3、∠2与∠4虽然不是同位角, 但是它们又是具有某种位置关系的两个角,大家能叙述∠2与∠3有怎样的位置关系?∠2和∠4呢?
教师引导学生正确地叙述,如∠2与∠3位在直线a,b的内部,又分别位于直线c的两侧,∠2与∠4位在直线a,b内部,都在直线c的右侧(同侧).
(2)教师转动直线a或者直线b,再问学生∠2与∠3,∠2与∠4 的度数是否发生变化?它们之间的位置是否发生改变?
学生回答后,教师指出像∠2和∠3这样的两个角叫做内错角,像∠2和∠4这样的两个角叫做同旁内角.
(3)让学生识别图中其他的内错角和同旁内角,标记出它们.
(4)学生概括由直线a、b被直线c所截成的八个角中有四对的同位角, 两对的内错角、两对的同旁内角.
4.探索两条直线平行的其它方法
(1)演示教具,使学生直觉当内错角相等时,两条直线平行.
(2)让学生思考:为什么内错角相等时,两条直线平行?你能用学过的两直线平行的 判定方法1来说明吗?
学生若有困难,教师可提示学生通过内错角和同位角之间的关系把条件∠2=∠3转化为∠1=∠2.
教师规范说理过程:因为∠2=∠3,而∠3=∠1(对顶角相等),所以∠1=∠2, 即同位角相等,因此a∥b.
(3)师生归纳判定两条直线平行的方法2,教师板书:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单记为:内错角相等,两直线平行.
教师引导学生结合图形用符号语言表达方法2:如果∠2=∠3,那么a∥b.
(4)讨论:同旁内角数量上满足什么关系时,两直线平行?
①学生猜想,可借 助于教具.先排除相等,当∠4是锐角时,∠2是钝角才有可能使a∥b,进一步观察发现:如果同旁内角互补时,两条直线平行,即如果∠2+∠4=180 °,那么a∥b.
②学生利用平行判定方法1或方法2来说明猜想正确.
教师根据学生说理,再准确地板书:
因为∠4+∠2=180°,而∠4+∠1=180°,根据同角的补角相 等 ,所以有∠2=∠1, 即同位角相等,从而a∥b.
因为∠4+∠2=180°,而∠4+∠3=180°,根据同角的补角相等,所以有∠3=∠2, 即内错角相等,从而a∥b.
③师生归纳两条直线平行的判定方法3,教师板书:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单记为:同旁内角互补,两直线平行.
综合图形,用符号语言表达:如果∠4+∠2=180°,那么a∥b.
三、巩固练习
课本P17练习.
四、作业
1.作业P18.1,2,3,4.
2.补充设计:
一、判断题
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么内错角也相等.( )
2.两条直线被第三条直线所截,如果内错角互补,那么同旁内角相等.( )
二、填空
1.如图1,如果∠3=∠7,或______,那么______,理由是__________;如果∠5=∠3,或笔________,那么________, 理由是______________; 如果∠2+ ∠5= ______ 或者_______,那么a∥b,理由是__________.
(1) (2) (3)(
2.如图2,若∠2=∠6,则______∥_______,如果∠3 +∠4+∠5+∠6=180°, 那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD∥BC;如果∠9=_____,那么AB∥CD.
三、选择题
1.如图3所示,下列条件中,不能判定AB∥CD的是( )
A.AB∥EF,CD∥EF B.∠5=∠A; C.∠ABC+∠BCD=180° D.∠2=∠3
2.右图,由图和已知条件,下列判断中正确的是( )
A.由∠1=∠6,得AB∥FG;
B.由∠1+∠2=∠6+∠7,得CE∥EI
C.由∠1+∠2+∠3+∠5=180°,得CE∥FI;
D.由∠5=∠4,得AB∥FG
四、已知直线a、b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a、b的位置关系,并说明理由.
答案:
一、1.∨ 2.∨
二、1.∠1=∠5求∠2=∠6或∠4=∠8,a∥b,同位角相等,两直线平行,或∠2=∠8,a∥b,内错角相等,两直线平行,180°,∠3+∠8=180°,同旁内角互补,两条直线平行. 2.BC∥AD,AD∥BC,∠BAD,∠BCD
三、1.D 2.D 四、a∥b,可以用三种平行线判定方法加以说明,其一:因为∠1+∠2=180°,又∠3=∠1(对顶角相等)所以∠2+∠3=180°,所以a∥b(同旁内角互补,两直线平行),其他略.
5.2.2直线平行的条件(第2课时)
直线平行的条件(二)
教学目标
1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.
2.经历分析题意,说理过程,能灵活地选用直线平行的规定方法进行说理.
重点、难点
重点:直线平行的条件的应用.
难点:选取适当判定直线平行的方法进行说理是重点也是难点.
教学过程
一、画图实践活动
1.回忆怎样用移动三角尺的方法画两条平行线的, 其中直尺和三角尺的作用是什么?
师生交流后得出:直尺与已知直线构成等于三角尺度数的角∠1, 确定第三条直线即截线的位置,移动三角尺再形成一个与∠1相等的同位角∠2.
2.教师提出问 题:学习了平行线后,大家还能想出过一点画一条直线的平行线的新方法吗?
学生思考、小组交流,教师根据学生的想法在全班交流每种画法的方法步骤、 定义.如果学生没有想到的,教师可按课本P36李强、张明、王玲同学的做法,组织学生分析做法要点和合理性,正确性.
对于李强画法,教师使学生明白,画过点P的直线b是确定直线b的位置和确定∠1的大小,其次点P为顶点,作与∠1相等的同位角∠2,从而画出过点P的直线c, 根据平行判定1,可知c∥a.
对于张明做法,学生应明确本做法就画一个一边在直线a的长方形PQRS, 由于长方形的对边平行,从而b∥a.
对于王玲做法,学生应明确第一次折纸是过点P作直线a的垂线b, 第二次折纸是过点P作直线b的垂线c,至于a∥c的理由在例题讲解中说明.
3.教师再提出问题:你还有其他方法吗?动手试一试与同学们交流一下. 教师发现学生新的做法,组织学生交流,并归纳新的方法主要是:
(1)用尺规画过点P的与∠1相等的内错角∠3,达到作c∥a;
(2)再尺规画有别于李强的其他对同位角,达到作c∥a;
(3)用直尺、三角尺画出与王玲一样的线条,达到作c∥a.
在解释学生做法的合理性时,要求学生能利用“同位角相等,两直线平行”或“内错角相等,两直线平行”去说明.
二、例题讲解
例:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?
教师:这个问题的研究,就是回答了王玲折线方法的合理性.
首先王玲对折直线a,使折线过点P,于是把一个平角分成两个相等的∠1、∠2, 因为∠1+∠2=180°,所以∠1=∠2=90°.
其次王玲再对折折线b,使折线c过点P,很显然∠3=90°.
由垂直定义,可知a⊥b,c⊥b.
以上分析使学生明了垂直与直角总联系在一起.至于要判定两条直线是否平行,先考虑学过哪些判定平行线的方法,题中的条件与某种判定方法的条件是否相同?
学生先口述判断与理由,教师纠正.并规范板书两步推理过程:
如课本P17图5.2-10.
因为b⊥a,c⊥a,
所以∠1=∠2=90°,
从而b∥c.
教师说明:这个道理过程有两个因为……所以……. 第一个“因为”“所以”是根据垂直定义，第二个只写出“所以”的内容b∥c，中间省略一个“因为”的内容，这个内容就是第一个“所以”中的∠1=∠2.这样处理是使说理表达更简练, 第二个“因为”、“所以”是根据同位角相等,两直线平行.
例题讲解后,师提问:你还能利用其他方法说明b∥c吗?
教师鼓励学生模仿课本方法用图(1)内错角相等的方法写出理由,用图(2) 同旁内角互补的方法写出理由.
(1) (2)
如果∠1,∠2不是同位角,也不是内错角、同旁内角,如图(3), 教师启发学生用化归思想将它转化为已知问题来解决,并且有条理地陈述理由:
如图(3),
因为a⊥b,c⊥a,
所以∠1=90°,∠2=90°.
因为∠3=∠1=90°,
从而b∥c(同位角相等,两直线平行). (3)
三、巩固练习
1.课本P18思考,教师要求学生说出尽可能多的判别方法和理由.
2.已知:如图,直线a、b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,那么直线a与b平行吗? 为什么?
四、作业
1.课本作业P19.5,6,8,9,10,12.
2.补充作业:
一、填空题.
1.如图,点E在CD上,点F在BA上,G是AD延长线上一点 .
(1)若∠A=∠1,则可判断_______∥_______,因为________.
(2)若∠1=∠_________,则可判断AG∥BC,因为_________.
(3)若∠2+∠________=180°,则可判断CD∥AB,因为_____ _______.
(第1题) (第2题)
2.如图,一个合格的变形管道ABCD需要AB边与CD边平行,若一个拐角 ∠ABC=72°,则另一个拐角∠BCD=_______时,这个管道符合要求.
二、选择题.
1.如图,下列判断不正确的是( )
A.因为∠1=∠4,所以DE∥AB
B.因为∠2=∠3,所以AB∥EC
C.因为∠5=∠A,所以AB∥DE
D.因为∠ADE+∠BED=180°,所以AD∥BE
2.如图,直线AB、CD被直线EF所截,使∠1=∠2≠90°,则( )
A.∠2=∠4 B.∠1=∠ 4
C.∠2=∠3 D.∠3=∠4
三、解答题.
1.你能用一张不规则的纸(比如,如图1所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗?与同伴说说你的折法.
2.已知,如图2,点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗?试用两种方法说明理由.
答案:
一、1.(1)CD∥AB, 同位角相等,两直线平行 (2)∠C,内错角相等, 两直线平行 (2)∠EFB,同旁内角互补,两直线平行 2.108°
二、1.C 2.D
三、1.把四边形纸某条边分两次折叠,那么两条折线是两条平行线;如果要求折出两条平行线分别过某两点,那么首先过这 两点折出一条直线L,然后分别过这两点两次折 叠直线L, 则所折出的线就是所求的平行线 2.平行 提求:第一种先说理∠2=∠C, 第二种说明∠DBC与∠C互补.
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