【—实数的重要】按性质分类是：正数、负数、0，按定义分类是：有理数、无理数。

　　实数

　　实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

　　公理的方法

　　设 R 是所有实数的集合，则：

　　集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

　　域 R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数 x, y 和 z：

　　若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

　　若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。

　　集合 R 满足完备性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

　　最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5;但是不存在有理数上确界(因为 √2 不是有理数)。

　　实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

　　相关性质基本运算

　　实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

　　四则运算封闭性

　　实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

　　实数集有序性

　　实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab.

　　实数的传递性

　　实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.

　　实数的阿基米德性

　　实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.

　　实数的稠密性

　　实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.

　　实数唯一性

　　如果在一条直线(通常为水平直线)上确定O作为原点，指定一个方向为正方向(通常把指向右的方向规定为正方向)，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点;反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。

　　完备性

　　作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：

　　所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

　　有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

　　极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

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