马德志 刘雅琴 张立兵
长期以来，中学数学的教学内容为初等数学的基础知识，这些基础知识源远流长，不可能再有什么创新，更不太可能要求学生发明创造什么新的初等数学的结论．因此，我们数学教师普遍对定理、公式课的教学重视不够，在数学课堂中更多地重视“解题训练”，习惯了“满堂灌”的模式，致使学生更多地靠背诵数学的结论和公式，盲目地机械地去进行模仿，在茫茫的题海中漫游，学生不知不觉地成了知识的容器．在这样的课堂上，学生思维的时间和空间无情地失去了．长此下去，学生很用功，书本知识很纯熟，但动手能力差，学生对数学问题根本不可能进行深入的思考和探究，更不可能有创新思维和创新精神．
事实上，数学中的定理、公式是揭露和反映数学概念本质属性及属性间的联系的一种重要形式．而
定理、公式课的教学，不单纯是让学生知道和了解定理和公式本身，定理、公式的探索、产生过程，更是学生思维提升和思维训练的良好素材，这就要求我们在数学教学中要加强定理、公式课的教学．为了更加有效地组织定理、公式课教学，我们分析了定理、公式课的特点，结合“自主互助学习型”课堂教学的教学理念，把定理、公式课分为两种基本模式：“自学交流式”和“探究交流式”．
模式一自学交流模式
对于教学内容中的定理、公式比较明显，探究的价值并不大，这时不必再过多地强行进行“探究”，
而是利用此教学内容进行自主学习方式的培养，更多地采用自主学习与互助交流的形式．
一、教学流程图
二、教学环节解读
(一)课前准备阶段
“课前准备”分为三部分：①为了本节课的顺利进行，围绕本节课的定理、公式以及要解决的问题，结合以前学的知识与方法，设计一个知识链接的前期台阶；②为了本节课的顺利进行，根据本节课的需求所做的课前准备；③有效的课前自主学习(预习)活动．
例如，在学习“平方差公式”这一节课时，由于这个公式内容比较简单，其课前准备可如下：
第一部分：安排学生复习整式的乘法，为学习平方差公式做好知识的衔接，复习以下两点：
1．整式乘法的法则有哪些?
2．在进行多项式乘以多项式时，易错点有哪些?如何克服?
第二部分：教师课前精心准备自学提纲，设置自主学习的题目和问题．本节课的自学提纲具体设计如下：
1．如图，边长为20厘米的大正方形中有一个边长为8厘米的小正方形，请表示出图中阴影部分
面积：
图1的面积为：??
图2的面积为：??
结论：20×20－8×8=202－82=336
(20+8)(20?8)=336
(20+8)(20－8)=202?82
你有什么发现?
2．利用多项式的乘法法则，计算下列各题：
(1)(x+2)(x－2)
(2)(1+3a)(1－3a)
(3)(x+5y)(x－5y)
(4)(5+b)(5－b)
(5)(2x+1/2)(2x－1/2)
(6)(－x+2)(－x－2)
3．观察以上算式及其计算结果，你发现了什么规律?大胆猜测得出一个一般性的结论．
第三部分：预习课本，形成对本节定理、公式的初步要求认识．
(二)课上探究阶段
课上探究阶段要注重课堂教学的四个重要环节，也就是课堂教学的十六字方针“自主学习，合作
探究(交流)，精讲点拨，有效训练”．
四个环节分别为：
环节一：自主学习
1．明确学习目标
(1)基本目标：这是每个学生都应达到的，通过看书学习，了解定理的内容，能用语言表述出来；根据定理学习例题，然后能模仿例题运用定理或公式做简单的题目．
(2)综合目标：能对定理有深入认识，理解定理的本质含义，会用定理解决有一定综合性的问题．
2．提出符合本定理的学习方式要求
3．自主学习
学生通过自学课本完成或借助学案独立完成上述目标．
4．检测结果
由学生自评、互评，小组内督促没有完成的同学完成，学生尽可能完成高层次的目标要求．
例如，在教学“平方差公式”这一课时，可这样安排学生进行自主学习．
(1)分发学案，结合课本，要求学生独立完成学案的“自学提纲”部分(时间6分钟)．
通过完成“自学提纲”的1、2两组题目，使学生自主发现这些运算结果的规律，然后在自学提纲指导下进一步引导学生根据特例进行归纳、建立猜想、尝试用符号语言表示，为证明这一结论做好铺垫．在这个重要的数学探索过程中，要让学生体会符号运算对证明猜想的作用，同时引导学生体会“数形结合”思想的重要性．而这一切都不是老师直接告诉他们的，而是学生在一步步的练习与探究中自主发现的，这是在此环节追求的最佳效果．
(2)在完成“自学提纲”的基础上，个人探究公式的严密性，即推证公式．数学知识有着严密的系统性和逻辑性，根据这一特点，要用联系的观点、转化的观点、发展的观点指导学生通过看书自学和动手演算，抓住新课中的主要内容，在重点、难点、关键处多下工夫．在新旧知识的连接点上，教师要在学案中设计一些富有启发性的问题(注意设计的问题要有梯度)，让学生探究研讨，释疑解惑．
(3)简单应用，让学生模仿例题运用此公式做简单的题目：
例1计算下列各题：
(1)(5+6x)(5－6x)
(2)(2x+5y)(2x－5y)
例2计算
(1)(－m+n)(－m－n)
(2)(－2x－5y)(－2x+5y)
(3)(ab+8)(－ab+8)
例3计算：1998×2002
当然，由于学生水平的差别，在以上自主学习的过程中，学生完成的质量和收获可能不一样，在下一环节“合作交流”中就会得到解决．教师应要求学生把自学中有疑问的问题做好记录，让学生带着问题进行交流合作．这样做，一方面能逐步培养学生自主学习的能力，另一方面，又能使学生逐步养成良好的预习习惯和正确的自学方法．而良好的预习习惯和正确的自学方法一旦形成，往往能使学生受益终身．
环节二：合作交流
1．小组内部交流
此环节的小组交流，是解决在“自主学习”中没有解决的定理、公式“理解”问题，而不是单纯地记住定理、公式；是纠正做题时定理、公式的使用错误；是纠正思维方法错误和解题运算错误．因此，课堂上此环节的合作交流，必须建立在学生独立思考的基础上，学生如果没有独立思考就参与交流，则交流无实效．有些问题能独立解决的，就让学生自己解决；可以两人解决的，就两人解决；能在小组内解决的就不在班上解决．要建立一个“1?2?4?8一n”的合作交流秩序．在此环节中必须充分发挥小组的监督机制．组内每位同学先和自己的同桌讨论学案中的有关问题，对一些简单、易懂的内容只需一带而过，而教学中的重点、难点问题则应展开讨论交流，在组内达成共识．
例如，学习“平方差公式”这一节课时，通过小组交流学生就会发现在预习任务中的一些分歧，如：例2(3)．(ab+8)(－ab+8)的结果就会出现争议，通过交流辩论，有的小组就会找出问题所在，从而就会引发他们去思考：此公式的特点是什么?容易出错的地方或者在运用时应注意什么?这都可以作为每个小组的探究结果，作为各个小组认为“最有价值”的问题在下一环节进行交流．
2．组际交流(班内展示)
组际交流采用学生说或做为主的交流形式，让学生说出对定理的理解问题，定理使用中注意的问
题，定理的拓展与变化问题等．要在课堂中引起讨论，展现学生的思维过程，让学生从本质上理解定理等．具体可这样操作：让每个小组的报告员代表本组向全班进行学习成果汇报，了解每个小组学习的情况，同时注意了解每个小组学习有困难学生的掌握情况．对于每个小组提出的疑问，可以请其他小组介绍解决办法．经验表明：一节使学生收获较大的课，其交流的问题一定会是有深度的，尤其是在问题被提出时，往往有一定的争议性．
例如，教学“平方差公式”一节时，通过组际的交流，全班要达成的共识是：
平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2
公式的特点：
(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项是完全相同项，另一项是互为相
反项．
(2)公式右边是相同项的平方减去相反项的平方．
(3)此环节可以给出几个变式：
(－a+b)(－a－b=a2－b2；(a－b)(－a－b)=b2－a2．
变式的目的是使学生明确“左边一项相同一项相反，右边是相同项的平方减去相反项的平方”．
另外，通过组内及组间交流，学生对自主学习阶段的例题1、2、3的解答进行了核对，查漏补缺，进一步完善，这样也进一步加深了对平方差公式的理解．总之，组际交流时教师需要做好充分的准备，要“收”“放”得当，要抓住有利的时机，恰当地进行精讲点拨．
环节三：精讲点拨
对于上述环节中出现的重要问题，以及本课的难点，教师要及时进行引导、点拨．精讲点拨是一个归纳、发展与提升的过程．
精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲．
教师在精讲过程中，力争做到以下几点：
1．精讲点拨的语言、内容要精练，点到为止．
2．精讲应具有针对性，切忌面面俱到，应根据学生自学、讨论交流过程中反馈的信息展开．
3．精讲点拨应具有启发性，学生经过老师的适当点拨能解决的问题应尽量让学生自主解决，最大限度地发挥学生学习的积极性，培养学生的思维能力．
4．教师还应对学生讨论交流过程中提出的具有独创性的问题给予表扬，对比较幼稚的问题不应讥
笑、挖苦，以保护学生参与课堂活动的积极性．
例如，“平方差公式”一节的精讲点拨：
点拨1在班级交流过程中，教师点拨学生对公式的形式、特点以及公式的变形进行研究．
点拨2在应用公式时，引导学生归纳出题目的条件与公式有差异时的解决办法．
环节四：有效训练
有效训练的目的是夯实双基，及时巩固运用所学定理和公式解决实际问题，以确保目标达成．因
此，要精心设计训练题．设计训练题时要做到：①训练题设计要有层次，体现不同水平学生的需求；②训练题设计要围绕教学重点；③训练题设计要注意疑点、难点和易错点；④题目要有代表性和可拓展性．
有效训练后，要进行课堂小结．课堂小结是一节课的总结与提升，是教学目的落实的重要环节．对于定理、公式课的总结，完全可以放手让学生来做．在开始的时候，老师要教给他们怎样总结，总结什么．如：教给他们要总结的主要内容是本节课自己的收获．这些收获包含对定理、公式的理解，规律的总结，解题方法、技巧的运用，今后学习应该注意的问题等等．
例如，“平方差公式”一节的小结：你本节课的收获是什么?(2分钟)
首先让学生进行总结，强化对新知识的感知，锻炼学生的归纳能力和表达能力．其次由老师引领总结出：本节课学了什么内容?它有什么用处?在运用此公式时应注意的地方等内容．如：
(1)平方差公式是特殊的多项式乘法，要理解并掌握公式的结构特征．
①左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反项．
②右边是相同项的平方减互为相反项的平方．
(2)在混合运算中，用平方差公式直接计算，所
得的结果可以写在一个括号里，以免发生符号错误．
三、课后延伸阶段
课后延伸包括以下几点：
1．分层次的课后作业．作业要分层次，分为必做与选做．尽量布置一些探究性作业，要为以后的学习与发展起作用．
2．作业要建立在必要的复习巩固之后完成．
3．课后的相关的探究活动或研究性学习等．
模式二探究交流模式
对于教学内容中的定理与前面学过的定理相似或可以类比前面的定理时，可以应用类比的方法让学生去探索新定理；对于一些可以通过事例归纳出的定理、公式等，可以通过用学案的形式或提供学生解决事例的办法，由学生探索得到结论；具有比较明显的探究价值的定理和公式，要经常采用探究学习与互助交流的形式．
一、教学流程
二、环节解读
(一)课前准备阶段
“课前准备”分为三部分：①是为了本节课的顺利进行，围绕本节课的定理、公式以及要解决的问题，结合以前学的知识与方法，设计一个知识链接的前期台阶；②是为了本节课的顺利进行，根据本节课的实验、操作、演示等需求所做的课前准备；③是有效的课前自主学习(预习)活动．
例如，学习“1．4等腰三角形”一节时，可以做如下的课前准备：
1．知识链接的前期台阶：
(1)回顾以前学习的各种形式三角形的特征；
(2)复习角平分线的有关性质．
2．学生每人准备白纸做的一个等腰三角形．学生准备三角板、圆规、直尺等．
(二)课上探究阶段
本部分内容的课上探究阶段采用自主探究、合作交流、精讲点拨、有效训练四个重要环节进行，更注重自主探究和小组合作互助相结合．例如：
环节一：自主探究
教师提供与探究定理、公式有关的事例，包括前面学过的定理、一组有关事例、一系列有关的数或式子等．教师提出要求，由学生用类比、归纳、推理等方法自己得出结论．在教学中，教师要转变观念，转换角色，要把自己置于学生学习活动的组织者、引导者和合作者的地位．做到充分相信学生，为学生营造自主探究的氛围，搭建自主探究的平台，创设自主探究的时空，依据教学目标，设计可操作的活动，让学生自主探究新知，使其大胆去发现，“无拘无束”进入自主探究的过程，在探究的舞台上尽展身手．把“教数学”变成学生自主地“学数学”．
例如，在学习“等腰三角形”一课时，可事先建议学生准备一个等腰三角形，让学生折叠图形，发现等腰三角形的各个有关结论．
学生探究活动设计主要有：
1．观察你所做的等腰三角形
通过测量、折叠等方式，观察、分析你得到的结论，要尽可能多的结论；
2．学生将得到的结论写在预习本上；
3．学生将得到的结论选出重要的来；
4．教师巡回指导，参与过程；得到的结论为后面的合作交流做准备．
环节二：合作交流
1．小组交流
小组交流是在学生独立思考的基础上进行的．小组交流解决在探索中得到的不完善的结论，使结
论趋于完善．在教学中，教师也应参与到小组交流中去，但一般应以旁观者、建议者的身份出现，不应说得太多．但是，教师应不断地各组巡回，要保证小组交流给每一位学生创造成功的机会；要对学生交流过程中的点滴成绩，给予及时的表扬鼓励；要正视学生之间的差异，实施有针对性的分层评价．如：你的想法很有价值；你的思维真活跃，能从不同的角度来思考问题；你能用数学的眼光来看待问题，真不错；你观察得真仔细，还能对观察到的现象结合生活实际认真进行分析吗……使每个学生都能体验到探究成功的喜悦和面对失败的勇气，从而激发更强烈、更主动的学习欲望．
对学生在交流活动中表现出的自主性、主动性、创造性，教师应组织学生进行民主评价，使学生准确、充分和大胆地表述他们的想法和见解．如：我和他(他们)的想法是一致的；我想为某同学(小组)做一点补充；我是这样想的，我可以为他(她)提一点建议吗?对于这个问题我有不同的想法……优化学生的评价语言，就能使学生自然、流畅地展现内心的思维过程，同时增强了被评价者参与探究的自信和乐趣
2．组际交流(班内展示)
组际交流采用学生说或做为主的交流形式，让学生说出用类比、归纳、推理等方法得出的结论，然
后由学生完善结论，并通过证明等办法将结论升华为定理、公式等，最后进一步探讨定理的拓展与变化问题等．要在课堂中引起讨论，展现学生的思维过程，让学生从本质上理解定理等．具体可这样操作：让每个小组的报告员代表本组向全班进行学习成果汇报，教师要了解每个小组学习的情况，同时注意了解每个小组学习有困难学生的掌握情况；对于每个小组提出的疑问，可以请其他小组介绍解决办法．如果各小组均出现这样的难点，这就该轮到我们老师出手了，此时也不宜给学生一股脑地讲出来，而是引导、点拨，使他们突破思维障碍，经历柳暗花明的感觉，这是我们所追求的效果．
如教学“等腰三角形”一节，在小组讨论的基础上，通过组际交流，学生们在老师的引导点拨下，归纳总结出了等腰三角形的性质．
如：等腰三角形ABC沿底边上的中线．AD对折后得到：
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)等腰三角形两底角相等；
(3)AD是顶角平分线；
(4)AD底边上的高；
(5)顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合；
(6)等腰三角形沿底边上的中线对折后，两个直角三角形重合；
(7)三角形．ABC是等边三角形时，各角为60。；
(8)三角形ABC是等腰直角三角形时，沿中线AD对折后得到两个等腰直角三角形；
(学生还可以归纳出很多条)
环节三：精讲点拨
对于重要的问题，教师要及时地引导、点拨，进行拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上解决问题．精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，它是一个归纳、发展与提升的过程．
环节四：有效训练
对于得出的定理、公式等，需要通过适当的练习题来巩固和夯实．巩固训练需要独立完成、小组交流、组际交流等形式．课堂中的重点习题，要研讨解法与思维方法，探讨解决问题的不同方法，对题目要精心设计，同时还要注意进行变式训练与归类比较．
在有效训练后，要进行课堂小结．课堂小结是一节课的总结与提升，是教学落实的重要环节．对于定理、公式课的总结，完全可以放手让学生来做．
如教学“平行四边形的性质”一节时，学生做了如下小结：
(1)这节课我们学习了平行四边形的边、角(对角和邻角)、对角线的基本性质；
(2)学生在“合作交流”环节中探究出的有关矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的一些性质，教师应给予肯定与鼓励；
(3)学生总结了解平行四边形时的识图、用图方法及注意事项．
在这个环节老师要及时反馈，多给学生以鼓励，增加学生学习数学的信心，引导学生注重对数学方法和几何思维的总结．
(三)课后延伸
课后延伸包括以下几点：
1．分层次的课后作业
作业要分层次，分为必做与选做．尽量布置一些探究性作业，要为以后的学习与发展起作用．
2．作业要建立在必要的复习巩固之后完成
3．是课后的相关的探究活动或研究性学习等
如讲“平行四边形的性质”一节课后，我布置了这样一个探究性作业：
同学们，我们课上在研究平行四边形的性质时，已经顺便探究出了一些特殊平行四边形的特性，但是还不够系统、条理，今天回去的作业就是继续探究一些特殊平行四边形的特性，并把它们归纳总结，形成各小组的研究性报告．在下一节课上我们将对此进行交流展示，看看哪个小组做得最棒!
布置此作业可使我们本节课的探究扩展延伸到课下，同时为下节课的探究展示埋下了伏笔，使我们的学习环环相扣，层层推进．
【作者简介】马德志，潍坊市教科院；刘雅琴，张立兵．潍坊市广文中学．
【原文出处】《山东教育》：中学刊(济南)，2010．637～40
来源：凤凰数学
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