例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，求m的值。
分析 我们不妨先求出三个互不相等的合数之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。
解：由于4+6+8=18，故下面我们就来证明m的最大整数是17。
当m>18时，若，则m>9
即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和，故m=17
此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。
例2 求满足等式的正整数x、y。
分析 此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2003，因为2003是质数，这也是一个信息。
解：观察式子特点不难得出
故所求的正整数对（x,y）=（1，2003），（2003，1）
此问题考察的重点在于因式分解。
例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。
分析 我们采取分析法，因为是一个完全平方数，所以设，再去推导n和a的关系，使问题不断得到解决。
解：由已知是一个完全平方数，所以我们就设，显然不是3的倍数，于是，从而
即，所以k的最小值是3
此是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个。
例4 设为完全平方数，且N不超过2392。求满足上述条件的一切正整数对（x,y）共有________对。
分析此题与例3有相似之处，但是要难一些。首先用到了性质8，然后再结合不等式解决此问题。
解：，且23为素数，N为不超过2392的完全平方数
所以共有（1，19），（2，15），（3，11），（4，7），（5，3）以及（1，88），（2，84），…，（22，4）
故满足条件的（x,y）共有5+22=27对
此问题用到了数论里常用的方法��不等式法。把一个整数问题转化为不等式问题，就会求出上（下）界，从而限定出所求数的范围，同时又是整数，故而使问题得以解决。
例5 已知方程的根都是整数，求整数n的值。
分析 已知方程的根是整数，所以先把根求出来，所以根号下的数就应该是完全平方数，故此问题得以解决。
解：由求根公式解得
因为方程的根都是整数
所以是完全平方数
设，则有
所以，分别解得整数n的值为10，0，－18，－8
此题的难点在于知道是完全平方数之后，如何分解它，实际上是在解一个不定方程问题。
例6设四位数是一个完全平方数，且，求这个四位数。
解：设
由于67是质数，故与中至少有一个是67的倍数
此问题值得注意的是我们在设未知数的时候，采取整体代换，即把看成整体，从而使问题简化。
例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
分析 此类型问题在考试中出现多次，它的方法基本上是设出之后做差，然后运用平方差公式分解，最后去解不定方程。
解：设此自然数为x，依题意可得
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
此问题是比较典型的，两个式子三个未知数，感觉没有办法解决，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些问题中我们经常把几个式子做差或者做和，来发现其中的奥妙。
在解决数学问题时，我们要以不变（知识）去应万变（问法），不断去探索，有时候我们可以用特值去验证结论，这样就会有一个大致的方向，再通过不断的把问题转化，从而解决数学问题。
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