一元二次方程的基本解法有开平、配、公式法和国式分解法．
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即
当△＜0时，方程无实数根．
分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．
因为
所以
例2已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．
解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，
(x+1999)(x-1)=0，
故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000
例3解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．
分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，
所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．
解(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，
(x-1)(x+2)=0，
所以x1=1，x2=-2．
例4解方程：x2-3｜x｜-4=0．
分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．
解法1显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．
所以原方程的根为x1=4，x2=-4．
解法2由于x2=｜x｜2，所以
｜x｜2-3｜x｜-4=0，
所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，
所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．
所以x1=4，x2=-4．
例5已知二次方程
3x2-(2a-5)x-3a-1=0
有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．
解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以
3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，
故a=3．原方程为
3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，
例6解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．
分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．
当c=0时，x1=x2=0；
当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．
例7若k为正整数，且关于x的方程
(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0
有两个不相等的正整数根，求k的值．
解原方程变形、因式分解为
(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，
[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，
即
4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．
例8关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．
解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得
｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6， 符合要求，所以m2≤1．
解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球
此时正方形共有(x-2)2个球，所以
即x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．
因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．
例9有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．
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