福建师大附中2012-2013学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）命题：“?x∈R，x2?x+2≥0”的否定是（　　）　A．?x∈R，x2?x+2≥0B．?x∈R，x2?x+2≥0C．?x∈R，x2?x+2＜0D．?x∈R，x2?x+2＜0考点：命题的否定．.分析：利用含量词的命题的否定形式是：将“?“改为“?”结论否定，写出命题的否定．解答：解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“?x∈R，x2?x+2≥0”的否定是“?x∈R，x2?x+2＜0”故选C点评：考查含有全称量词的命题的否定．注意与否命题的区别．　2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（　　）　A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”　B．命题“若x=y，则x2=y2”的逆否命题是假命题　C．命题“若a2+b2≠0，则a，b全不为0”为真命题　D．命题“若α≠β”，则cosα≠cosβ”的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用；四种命题．.专题：阅读型．分析：根据否命题的定义，写出否命题判断A是否正确；根据命题与其逆否命题同真、同假，通过判定命题的真假来判断B是否正确；根据命题的条件与结论，判断C是否正确；写出否命题，根据否命题与逆命题是互为逆否命题，来判断D的真确性．解答：解：对A，否命题应是：若x2≠1，则x≠1，∴A错误；∵命题是真命题，∴其逆否命题也是真命题，故B错误；∵若a2+b2≠0，a、b可有一个为零，∴C错误；对D，否命题是：若α=β，则cosα=cosβ．是真命题，∴D正确．点评：本题考查命题的真假判断及四种命题关系．　3．（5分）抛物线y=ax2的焦点坐标为（　　）　A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将抛物线方程化成标准形式，得到其焦点在y轴上．再分a的正负进行讨论，分别对照焦点在y轴上抛物线的标准形式，即可得到该抛物线的焦点坐标．解答：解：∵抛物线y=ax2的标准形式是x2=y∴y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线，而焦点在y轴的抛物线的标准方程为x2=2py或x2=?2py，（p＞0）①当a＞0时，2p=，可得=，此时焦点为F（0，）；②当a＜0时，2p=?，可得=?，∵焦点为F（0，?），∴该抛物线的焦点坐标为F（0，）综上所述，抛物线的焦点为F（0，）故选：C点评：本题给出抛物线的方程含有字母参数a，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．　4．（5分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（　　）　A．x=1，y=1B．x=1，y=C．x=，y=D．x=，y=1考点：棱柱的结构特征；空间向量的加减法．.专题：计算题；作图题．分析：画出正方体，表示出向量，为+的形式，可得x、y的值．解答：解：如图，++（）．故选C．点评：本题考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题．　5．（5分）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（　　）　A．?B．?C．D．考点：异面直线及其所成的角．.专题：计算题；空间角．分析：取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，用三角形的中位线和平行线的传递性，证出EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角．然后在△DEF中求出各边的长，再利用余弦定理即可算出异面直线DE与AC夹角的余弦值．解答：解：取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，∵正方形ABCD?A1B1C1D1中，A1A∥C1C且A1A=C1C∴四边形AA1C1C是平行四边形，可得A1C1∥AC又∵△A1C1D1中，EF是中位线∴EF∥A1C1，且EF=A1C1．由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角设正方体的棱长为a，则△DEF中DF=DE==a，EF=A1C1=a由余弦定理，得cos∠DEF==＞0可得∠DEF是锐角，因此∠DEF是异面直线DE与AC所成的角，余弦值为故选：D点评：本题在正方体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于基础题．　6．（5分）过点P（2，?2），且与有相同渐近线的双曲线方程是（　　）　A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设所求的双曲线方程是 =k，由点P（2，?2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．解答：解：由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，∵点P（2，?2）在双曲线方程上，所以，∴k=?2，故所求的双曲线方程是，故选B．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是 =k，属于基础题．　7．（5分）“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（　　）　A．B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．1＜m＜3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，先求出“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件对应的取值集合A，再将集合A的不等式范围与各个选项加以对照，即可得到所求充分不必要条件．解答：解：设条件P：“方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆”，P的充要条件对应m的取值集合为A则A的不等式为：3?m＞m?1＞0，解之得1＜m＜2∴A={m1＜m＜2}∵条件P的充分不必要条件对应的取值集合必定是集合A的真子集，∴对照各个选项，可得A项是符合题意的选项故选：A点评：本题给出含有字母参数的椭圆，求它表示焦点在y轴上椭圆的充分不必要条件，着重考查了椭圆的标准方程和充分必要条件的判断等知识，属于基础题．　8．（5分）已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于（　　）　A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；三角形中的几何计算．.专题：计算题．分析：由题意得PB?PA=8，AB=2，再利用正弦定理进行求解．解答：解：由题意得：PB?PA=8，AB=2，从而由正弦定理，得．故选C．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意正弦定理的合理运用．　9．（5分）已知抛物线y2=?4x上的焦点F，点P在抛物线上，点A（?2，1），则要使PF+PA的值最小的点P的坐标为（　　）　A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，将点P（m，n）到焦点F的距离PF转化为它到准线l：x=1的距离，利用不等式即可求得答案．解答：解：∵抛物线y2=?4x的焦点F，∴F（?1，0），其准线方程为l：x=1；∵点P在抛物线上，点A（?2，1），设点P在准线l：x=1上的射影为P′，则PF=PP′，∴PF+PA=PA+PP′≥AP′=3（当A，P，P′三点共线时取“=”）．此时P点的纵坐标为n=1，由12=?4m得：m=?．∴点P的坐标为（?，1）．故选A．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想与不等式思想，属于中档题．　10．（5分）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为（　　）　A．B．C．D．1考点：点、线、面间的距离计算．.专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：利用题设条件推导出BD∥平面EFG，从而得到BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离，作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．解答：解：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∵HC∩GC=C，∴EF⊥平面HCG．∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴AC=4，HO=，HC=3．∴在Rt△HCG中，HG==．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK===．即点B到平面EFG的距离为．故选B．点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．解决此类问题应该注意从三维空间向二维平面的转化，从而找到解题的捷径．　11．（5分）椭圆的四个顶点A，B，C，D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（　　）　A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．.专题：计算题．分析：根据题意，设出直线AB的方程，利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，可得原点到直线AB的距离等于半焦距，从而可求椭圆的离心率．解答：解：由题意，不妨设点A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为：即bx+ay?ab=0∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点∴原点到直线AB的距离为∴a2b2=c2（a2+b2）∴a2（a2?c2）=c2（2a2?c2）∴a4?3a2c2+c4=0∴e4?3e2+1=0∴∵0＜e＜1∴故选C．点评：本题重点考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，得到原点到直线AB的距离等于半焦距．　12．（5分）双曲线的实轴长和焦距分别为（　　）　A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的实轴与双曲线的交点，求出a，利用双曲线的渐近线方程求出焦距即可．【解析版】福建师大附中2012-2013学年高二上学期期末考试数学理试题
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