衡阳市八中2013年下期期中考试试题高 二 数 学（理） （时间：120分钟 满分100分）注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、号写在答的密封线内．答题时，答案写在答上对应题目的内，选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）1.抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．的渐近线方程为A． B． C． D．，其中正确的是 A． B． C． D．已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为A． B． C． D．中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是 A. B. C. D. 6.椭圆的一个焦点是，那么实数的值为 A． B． C． D．7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果=8，那么＝ A.6 B.8 C.9 D.108.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，在下列条件中，成为的充分条件的是A.，在内的射影分别为，且，，9.如图,已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点、分别是、的中点，则等于A. B. C. D.10.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C.[2, +∞) D.(2,+∞)填空题（每小题4分，共5小题，满分20分）11.曲线在点处的切线的斜率是是单位正交基底，,，那么= .13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上一点P使，则的面积是 .14.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是 .15.抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 .三 解答题（共6小题，满分50分）16.（本题满分8分）设命题：方程没有实数根.命题：方程表示的曲线是双曲线.若命题为真命题，求实数的取值范围.17.（本题满分8分）在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为,且过. （1）求该椭圆的标准方程 （2）若是椭圆上的动点，点，求线段中点的轨迹方程.18.（本题满分8分）已知抛物线的顶点在原点，准线过双曲线的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，又抛物线与双曲线的一个交点为．求抛物线与双曲线的方程.19.（本题满分8分）如图，在正方体中，为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值．20. （本题满分8分）如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，, 分别为的中点。（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。21.（本题满分10分）已知动圆过点，且与圆相内切. （1）求动圆的圆心的轨迹方程； （2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量？若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．答案DS衡阳市八中2013年下期期中考试试题高 二 数 学（理）命题人：周彦 仇武君 审题人：彭学军 （时间：120分钟 满分100分）注意事项：答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答纸的密封线内．答题时，答案写在答纸上对应题目的空格内，的焦点坐标是（ C ）A． B． C． D．的渐近线方程为（ D ）A． B． C． D．，其中正确的是（ C ） A． B． C． D．．已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）A． B． C． D．中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（ A ） A. B. C. D. 6.椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（ D ） A． B． C． D．7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果=8，那么＝（ D ） A.6 B.8 C.9 D.108.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，在下列条件中，成为的充分条件的是A.，在内的射影分别为，且，，9.如图,已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点、分别是、的中点，则等于（ B ）A. B. C. D.10.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( C )A.( 1,2) B. (1,2) C.[2, +∞) D.(2,+∞)填空题（每小题4分，共5小题，满分20分）11.曲线在点处的切线的斜率是是单位正交基底，,，那么=.13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上一点P使，则的面积是 9 .14.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是__.15.抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 8 .解析：以正方体与旋转体的开口面平齐的面的对角线作垂直于水平面的截面，在正方体内的截面为矩形ABCD，在抛物面上截得一条抛物线，如图建立直角坐标系，则AB为正方体的面对角线，AD为棱长。设，则，于是，，故正方体体积为8.三 解答题（共6小题，满分50分）16.（本题满分8分）设命题：方程没有实数根.命题：方程表示的曲线是双曲线.若命题为真命题，求实数的取值范围.解析: 真， (2分) 真, (2分) 真真且真(1分) , 故.(3分)17.（本题满分8分）在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为,且过. （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，点，求线段中点的轨迹方程. 解析：(1)由已知得椭圆的半长轴,半焦距,则半短轴. (2分) 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为 (2分) (2)设线段PA的中点为,点P的坐标是， 由，得 (2分) 因为点P在椭圆上,得, ∴线段PA中点M的轨迹方程是. (2分)18.（本题满分8分）已知抛物线的顶点在原点，准线过双曲线的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，又抛物线与双曲线的一个交点为．求抛物线与双曲线的方程.解析：由题意知，抛物线焦点在轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为，将交点代入得，故抛物线方程为. (4分) 双曲线的一个焦点坐标为，则．又点也在双曲线上，因此有．又，因此可以解得，因此，双曲线的方程为．(4分)19.（本题满分8分）如图，在正方体中，为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值．解析：（1）； （2）平面，所以为平面的法向量， ，设平面法向量为，又，，由即，取， 所以,因二面角为锐角,故.20. （本题满分8分）如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，, 分别为的中点。（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值。解析：（1）证明：连接，分别是的中点， ．中，是的中点，，又平面平面，平面平面， 平面， ，平面．．，，， 设的法向量为，由，，取，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为．过点，且与圆相内切.（1）求动圆的圆心的轨迹方程；（2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量？若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．解析：（1）圆， 圆心的坐标为，半径.∵，∴点在圆内. 设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，即. ∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆. 设其方程为, 则.∴.∴所求动圆的圆心的轨迹方程为. (2)由 消去化简整理得：.设，，则.△. ① 由 消去化简整理得：. 设，则, △. ② ∵，∴，即， ∴.∴或.解得或. 当时,由①、②得 ， ∵Z,∴的值为 ，，; 当，由①、②得 ， ∵Z,∴. ∴满足条件的直线共有9条．湖南省衡阳八中2013-2014学年高二上学期期中考试（数学理）
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