益阳市一中2013年下学期期中考试 高二理科数学试题 时量120分钟 总分150分 命题人：李立明 审题人：石宏波一、选择题 （每小题5分，共40分）1、“ 粗缯大布裹生涯, 腹有诗书气自华。2、“对任意，都有”的否定为A.对任意，都有 B.不存在，都有 C.存在，使得 D.存在，使得3、正方体ABCD(A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值是A. B. C. D. 4、 双曲线与抛物线有一个公共焦点F，过点F且垂直于实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于A. B. C. D.5、 已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A. B. C. D.6、 已知椭圆的焦点为，的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为 A. B. C. D.7、设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为A.或 B.或 C.或 D.或 8、在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中，,则满足. A. B. C. D.二.填空题 （每小题5分，共35分）9、如图，在正方体中，.分别是.的中点，则异面直线与所成角的大小是_______10、已知条件；条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是__________.11、给出下列命题：①命题“若b2－4acb>0，则>>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.12、 已知点...，则向量在方向上的投影为是________________________.13、已知抛物线方程，则它的焦点坐标为_______14、抛物线上的点到抛物线准线距离为，到直线的距离为，则的最小值是15、设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且，若AB=4，，则椭圆的两个焦点之间的距离为________三.解答题 （共75分，16~18每题12分，19~21每题13分）16、已知命题p：函数是R上的减函数；命题q：在时，不等式恒成立，若pvq是真命题，求实数a的取值范围.17、 设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围. 18、已知双曲线C：与直线:x + y = 1相交于两个不同的点A、B.(1) 求双曲线C的离心率e的取值范围；(2) 设直线与y轴交点为P，且，求的值19、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB＝4，PA＝3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.（1）求证：AG∥平面PEC；（2）求AE的长；（3）求直线AG与平面PCA所成角的正弦值.20、如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9。（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值。21、已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点.(1)证明：直线的斜率互为相反数； (2)求面积的最小值；(3)当点的坐标为，且.根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线的斜率是否互为相反数？ ②面积的最小值是多少？益阳市一中2013年下学期期中考试高二理科数学试题参考答案（仅供参考）12345678ADBACDCD8. 作图知，只有，其余均有，易知应选D二.填空题答案:9.90。 10. 11. ①②③ 12. 13. (0, ) 14. 15. 三.解答题答案:16. p：∵函数是R上的减函数∴0＜2a－5＜1， ……3分故有＜a＜3 ……4分q：由x2－ax＋x＜0得ax＞x2＋2，∵1＜x＜2，且a＞在x∈（1，2）时恒成立， ……6分又 ∴a≥3 ……9分p∪q是真命题，故p真或q真，所以有＜a＜3或a≥3 ……11分所以a的取值范围是a＞ ……12分17. 解:(1)依题意知, ∵,. ∴所求椭圆的方程为. ……3分（2）∵ 点关于直线的对称点为，∴ 解得：，. ∴. ……10分∵ 点在椭圆:上,∴, 则.∴的取值范围为. ……12分18. （1）由曲线C与直线相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的解，消去y并整理得： 得且双曲线的离心率∵∴即离心率e的取值范围为. ……6分（2）设∵,∴，得由于是方程①的两个根，∴即， 得，解得 ……12分19. 解（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，又PD⊥AG ∴AG⊥平面PCD …………2分作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ∴EF⊥平面PCD ∴EF∥AG又AG 面PEC，EF 面PEC，∴AG∥平面PEC ………………4分（2）由（1）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD∴AE∥GF ∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF …………5分∵PA＝3，AB＝4 ∴PD＝5，AG＝，又PA2＝PG?PD ∴PG ……………………6分又 ∴ ∴ ………………8分（3）∵EF∥AG , 所以AG与平面PAC所成角等于EF与平面PAC所成的角 ，过E作EO⊥AC于O点，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF是EF在平面PAC内的射影∴∠EFO即为EF与平面PAC所成的角 ……10分， 又EF＝AG ∴ 所以AG与平面PAC所成角的正弦值等于 ………………13分20. (1)证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴。在正方形中，，∵，∴平面.∵平面，∴平面平面。 ……………………………………………6分（2）∵平面，平面，∴。∴为圆的直径，即.设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，。 ∴。过点作于点，作交于点，连结，由(1)知平面。∵平面， ∴。∵，，∴平面。∵平面，∴。∴是二面角的平面角。…………………………………10分在△中，，，，∵，∴。 在△中，，,∴。故二面角的平面角的正切值为。 …………………………13分21.（1）设直线的方程为.由 可得 .设，则.-------3分∴ ∵.又当垂直于轴时，点关于轴，显然.综上，. ----------8分（2）=.当垂直于轴时，.∴面积的最小值等于. -----------11分（3）推测：①；②面积的最小值为. ----------- 13分4. （1）由题意可得点M（x,y）到两定点F1（0，）、F2（0，-）的距离和为4，故轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为 x2+=1.（2）显然x=-2与曲线C无交点，故直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=k(x+2),并设点A、B的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）.由得（4+k2）x2+4 k2x+4 （k2-1）=0△=16k4-16（4+ k2）（k2-1）=-16(3 k2-4)＞0 k2＜∴x1+x2=- ① x1x2= ②∵=+ ∴四边形OAPB为平行四边形若存在直线L使得四边形OAPB为矩形，则?=0∴x1x2+ y1y2=（1+ k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0 ③将①②代入③解得k2=设P（x0,y0），则x0= x1+x2=-,故点P不在直线x=-上即不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形.另解提示:解答第(2)题时,如果先利用OP中点即为AB的中点,可以求得k2=.与上面的解法一样还可求得k2=,这是不可能的,所以不存在这样的直线L使得四边形OAPB为矩形PAGDCBEEBCDGAPoF湖南省益阳市一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文）试题
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