余姚中学 高二数学期中考试试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 . 若,则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D.2 . 已知向量,,且与互相垂直，则的值是 ( )A.1B. C. D.3．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的直线方程是(　　)A．x－2y－2＝0 B．x－2y＋2＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 某三棱锥的侧视图和俯视图如图1所示，则该三棱锥的体积为(　　)图1A．4 B．8C．12 D．24下列命题中错误的是A. 如果平面平面，平面平面，，那么如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于，则直线与椭圆的位置关系是 ( )A.相交B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能7．已知l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是 (　　)A．lα，lβ B．αγ，βγ C．mα，lα，mβ，lβ D．lα，mβ，lm8．已知是平面上不共线的三点，是三角形的重心，动点满足,则点一定为三角形的（ ） A.边中线的中点 B.边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.边的中点9．是双曲线：（）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若 则双曲线的离心率为 ( ) …gkstkA． B． C．2 D．10．单位正方体在一个平面内的投影面积的最大值和最小值分别为（　）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11 . 在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 . 12 . 直线经过椭圆 (a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于. 13 . 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为，到直线：的距离相等，则实数的值等于 . 15．已知直线的方向向量是，平面的法向量分别是若且，则与的关系是：的右顶点A作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为 . 17．棱长为的正在空间直角坐标系中移动，但保持点分别在轴、轴上移动，则原点的最距离为已知圆，是轴上的动点，、分别切圆于、 两点.（1）如果=，求直线的方程；（2）求动弦的中点的轨迹方程.19.（本题满分14分）在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．(1)求证：BD⊥EG；()求二面角C－DF－E的余弦值．的三棱柱中，侧面底面，．（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（2） 已知点满足，在直线上是否存在点，使？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．21. （本题满分15分）已知椭圆的左顶点，过右焦点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点，求证：为定值．22. （15分）如图，是离心率为的椭圆的左、右焦点，直线：将线段分成两段，其长度之比为．设是C上的两个动点，线段的中垂线与C交于两点，线段AB的中点M在直线上．（） 求椭圆的方程；（） 求的取值范围．余姚中学 高二数学期中考试试卷（理科） 一、DCCAD,ADBAA.二．11. 12. 13. 14. 或 15. 与重合.16. 或 17.三、解答题：18 .答：（1）∵ ∴∴ ∴ ∴ -------------（3分）∴直线的方程为 -…gkstk ---------------（7分）（2）设∵，弦的中点为∴ ∴∴ ∴ ---------------------------------------（14分）19.(1)证明：EF⊥平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EF⊥AE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)．＝(2,2,0)，＝(－2,2,2)．?＝－2×2＋2×2＝0.⊥. …………………………………………（7分）(2)由已知得＝(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量．设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，－1,2)，＝(2,1,0)，即令z＝1，得n＝(－1,2,1)．设二面角C－DF－E的大小为θ，则cosθ＝cos〈n，〉＝－＝－.二面角C－DF－E的余弦值为－.底面，作于点，∴平面.又，且各棱长都相等，∴，，. ---------（2分）故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，．--（4分）设平面的法向量为，则 解得. ---（6分）由． 而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为． -------（8分）(2)∵，而 ∴又，∴点的坐标为． -------（10分）假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．∵，为平面的法向量，由，得． --------（12分）又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点． --------（14分）21. 解：（1），设过右焦点且垂直于长轴的弦为，将代入椭圆方程，解得， …………（2分）故，可得． …………（4分）所以，椭圆方程为． ………（6分）（2）由题意知，直线斜率存在，故设为，则直线的方程为，直线的方程为．可得，则． …………（8分）设，，联立方程组，消去得：，…gkstk，， 则． ……（11分）设与椭圆交另一点为，，联立方程组，消去得，，所以． …………（13分）故．所以等于定值． ------------（15分）22.．解：（）设F2（c，0），则=，所以c=1．因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆C的方程为． （6分）（）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=?，此时P（，0）、Q（，0），．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（?，m） （m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则?1+4mk=0，∴k=此时，直线PQ斜率为k1=?4m，PQ的直线方程为，即y=?4mx?m．联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2?2=0．所以，．于是=（x1?1）（x2?1）+y1y2=x1x2?（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，1＜t＜29，则．又1＜t＜29，所以．综上，的取值范围为[?1，）．（15分）yBDFCGAEzx2103学年度第一学期（第20题）BDFCGAEF2F1BAOyx2103学年度第一学期浙江省余姚中学2015-2016学年高二上学期期中考试（数学理）
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