2015年高二数学文科上学期期末试题(附答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网



数 学(文科)
  满分:100分(必考Ⅰ部分)    50分(必考Ⅱ部分)
  时量:120分钟
  (考试范围:选修1-1及1-2)
 
  得分:______________
  
  必考Ⅰ部分
  一、:本大题共8个小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
  1. 若复数z=(1+ai)?(2+i)是纯虚数,则实数a的值为
  A.2 B.- C. D.-2
  2.如图所示是数列一章的知识结构图,下列说法正确的是
  
  A.“概念”与“分类”是从属关系
  B.“等差数列”与“等比数列”是从属关系
  C.“数列”与“等差数列”是从属关系
  D.“数列”与“等比数列”是从属关系,但“数列”与“分类”不是从属关系
  3.下列说法中错误的是
  A.对于命题p:?x0∈R,sin x0>1,则?p:?x∈R,sin x≤1;
  B.命题“若0<a<1,则函数f(x)=ax在R上是增函数”的逆命题为假命题;
  C.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题;
  D.命题“若x2-x-2=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-x-2≠0”.
  4.“1<k<7”是“方程+=1表示双曲线”的
  A.充分不必要条件
  B.必要不充分条件
  C.既不充分也不必要条件
  D.充要条件
  5.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据:
x3456
y2.5344.5
  据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这组样本数据的回归直线方程是
  A.=0.7x+0.35 B.=0.7x+1
  C.=0.7x+2.05 D.=0.7x+0.45
  6.三角形的面积为S=(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为
  A.V=abc
  B.V=Sh
  C.V=(S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4为四个面的面积,r为内切球的半径)
  D.V=(ab+bc+ac)h,(h为四面体的高)
  7.函数f(x)=x5-x4-4x3+7的极值点的个数是
  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
  8.已知椭圆+=1,F1、F2分别为其左、右焦点,椭圆上一点到F1的距离是2,N是F1的中点,则ON(O为原点)的长为
  A.1 B.2 C.3 D.4
  答题卡
  
题号12345678得 分
答案
  二、题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
  9.已知复数z=1+,则=____________.
  10.读下面的程序框图,当输入的值为-5时,输出的结果是________.
  
  11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:
  
  则第n个图案中的白色地面砖有______________块.
  12.曲线f(x)=xsin x在点处的切线方程是______________.
  13.已知双曲线-=1(a,b>0)的顶点到渐近线的距离等于,则双曲线的离心率e是________.
  三、解答题:本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
  14.(本小题满分11分)
  在某测试中,卷面满分为100分,60分及以上为及格,为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响,特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计,数据如下表所示:
分数段[29~40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
午休考生
人数23473021143114
不午休考
生人数1751671530173
  参考公式及数据:K2=
P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005
k02.7063.8415.0246.6357.879
  (1)根据上述表格完成列联表:
及格人数不及格人数总计
午休
不午休
总计
  (2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系?对今后的复习有什么指导意义?
  15.(本小题满分12分)
  已知:a,b,c>0.求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc.
  
  
  16.(本小题满分12分)
  已知抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,过焦点的直线与抛物线交于不同两点A,B,直线OA(O为原点)交准线l于点,设A(x1,y1),B(x2,y2).
  (1) 求证:y1y2是一个定值;
  (2) 求证:直线B平行于x轴.
  
  
  必考Ⅱ部分
  一、题:本大题共1个小题,每小题5分,共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
  1.从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为,且P=5,设抛物线的焦点为F,则△PF的面积为________.
  二、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
  2.已知定义在R上的函数f(x)的导数是f′(x),若f(x)是增函数且恒有f(x)>0,则下列各式中必成立的是
  A.2f(-1)<f(-2) B.3f(-2)>2f(-3)
  C.2f(1)>f(2) D.3f(2)>2f(3)
  三、解答题:本大题共3小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
  3.(本小题满分13分)
  已知函数f(x)=-x3+3x.
  (1)求函数f(x)的单调区间和极值;
  (2)当x∈[0,a],a>0时,设f(x)的最大值是h(a),求h(a)的表达式.
  
  
  4.(本小题满分13分)
  (1)证明:xln x≥x-1;
  (2)讨论函数f(x)=ex-ax-1的零点个数.
  
  
  5. (本小题满分14分)
  
  如图,已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b>0)有一个内含圆x2+y2=,该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点,N,且⊥(O为原点).
  (1)求b的值;
  (2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.
  求证:⊥,并求AB的取值范围.
  
  
  湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题
  数学(文科)参考答案
  必考Ⅰ部分(100分)
  6.C 【解析】△ABC的内心为O,连结OA、OB、OC,将△ABC分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r,底边长分别为a、b、c;类比:设四面体A-BCD的内切球球心为O,连接OA、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以O为顶点,以原面为底面的四面体, 高都为r,所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.
  7.B 【解析】f′(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6),
  所以f(x)有两个极值点x=-2及x=6.
  8.D 【解析】据椭圆的定义,由已知得F2=8,而ON是△F1F2的中位线,故ON=4.
  二、填空题
  9.
  10.2 【解析】①A=-5<0,②A=-5+2=-3<0,③A=-3+2=-1<0,
  ④A=-1+2=1>0,⑤A=2×1=2.
  11.4n+2 【解析】第1个图案中有6块白色地面砖,第二个图案中有10块,第三个图案中有14块,归纳为:第n个图案中有4n+2块.
  12.x-y=0
  13. 【解析】由题意知=tan 30°=?e==.
  ∵K2≈5.7>5.024,
  因此,有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系,即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系.(10分)
  对今后的复习的指导意义就是:在以后的复习中,考生应尽量适当午休,以保持最佳的学习状态.(11分)
  (2)据题意设A,(-1,y),(8分)
  由A、、O三点共线有=?y1y=-4,(10分)
  又y1y2=-4
  则y2=y,故直线B平行于x轴.(12分)
  必考Ⅱ部分(50分)
  一、填空题
  1.10 【解析】设P(xP,yP),∵P=PF=yP+1=5,∴yP=4,
  则xP=4,S△PF=PxP=10.
  二、选择题
  2.B 【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性,而f′(x)>0且f(x)>0,则当x<0时′=<0,
  即函数在(-∞,0)上单调递减,故选B.
  三、解答题
  3.【解析】(1)f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)
  列表如下:
x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)递减极小值递增极大值递减
  所以:f(x)的递减区间有:(-∞,-1),(1,+∞),递增区间是(-1,1);
  f极小值(x)=f(-1)=-2,f极大值(x)=f(1)=2.(7分)
  (2)由(1)知,当0<a≤1时,f(x)在[0,a]上递增,
  此时fax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)
  当a>1时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,a)上递减,
  即当x∈[0,a]时fax(x)=f(1)=2(12分)
  综上有h(a)=(13分)
  4.【解析】 (1)设函数φ(x)=xln x-x+1,则φ′(x)=ln x(1分)
  则φ(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,(3分)
  φ(x)有极小值φ(1),也是函数φ(x)的最小值,则φ(x)≥φ(1)=1×ln 1-1+1=0
  故xln x≥x-1.(5分)
  (2)f′(x)=ex-a(6分)
  ①a≤0时,f′(x)>0,f(x)是单调递增函数,又f(0)=0,
  所以此时函数有且仅有一个零点x=0;(7分)
  ②当a>0时,函数f(x)在(-∞,ln a)上递减,在(ln a,+∞)上递增,
  函数f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)
  ?.当a=1时,函数的极小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0
  则函数f(x)仅有一个零点x=0;(10分)
  ?.当0<a<1或a>1时,由(1)知极小值f(ln a)=a-aln a-1<0,又f(0)=0
  当0<a<1时,ln a<0,易知x?-∞时,ex?0,-ax-1?+∞,
  故此时f(x)?+∞,则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根;
  当a>1时,2ln a>ln a>0,计算f(2ln a)=a2-2aln a-1
  考查函数g(x)=x2-2xln x-1(x>1) ,则g′(x)=2(x-1-ln x),
  再设h(x)=x-1-ln x(x>1),h′(x)=1-=>0
  故h(x)在(1,+∞)递增,则h(x)>h(1)=1-1-ln 1=0,
  所以g′(x)>0,即g(x)在(1,+∞)上递增,则g(x)>g(1)=12-2×1×ln 1-1=0
  即f(2ln a)=a2-2aln a-1>0,
  则f(x)还必恰有一个属于(ln a,2 ln a)的正根.
  故0<a<1或a>1时函数f(x)都是恰有两个零点.
  综上:当a∈(-∞,0]∪{1}时,函数f(x)恰有一个零点x=0,
  当a∈(0,1)∪(1,+∞)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)
  5.【解析】(1)当N⊥x轴时,N的方程是x=±,
  设,N
  由⊥知y1=,
  即点在椭圆上,代入椭圆方程得b=2.(3分)
  (2)当l⊥x轴时,由(1)知⊥;
  当l不与x轴垂直时,设l的方程是:y=kx+,即kx-y+=0
  则=?32=8(1+k2)(5分)
  ?(1+2k2)x2+4kx+22-8=0,
  Δ=16k22-4(1+2k2)(22-8)=(4k2+1)>0,
  设A(x1,y1),B(x2,y2)
  则,(7分)
  x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+2
  -+2xkb1.co
  ==0,即⊥.
  即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)
  (2)当l⊥x轴时,易知AB=2=(10分)
  当l不与x轴垂直时,AB==
  =(12分)
  设t=1+2k2∈[1,+∞),∈(0,1]
  则AB==
  所以当=即k=±时AB取最大值2,
  当=1即k=0时AB取最小值,
  (或用导数求函数f(t)=,t∈[1,+∞)的最大值与最小值)
  综上AB∈.(14分) 来



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