桂林十八中12级高二下学期开学考试卷(理科)数 学注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。考试时间： 120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。2.选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。3.主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1.直线的斜率是AA. B. C. D.2.不等式的解集为BA. B. C. D.3.在等差数列中，已知，则AA. B. C. D.4.正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为DA． B． C． D．5．若 ， 且 ，则与的夹角是BA. B. C. D.6.已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：）几何体 B. C. D. 7.双曲线的渐近线方程为CA. B. C. D.8.三个数的大小顺序是DA. B. C. D.9.执行如右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为DA. B. C. D.10.在中，是的A.充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件11.若实数满足，则的取值范围是AA. B. C. D.12.若函数满足：，则的最小值为BA. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线的焦点坐标是_____________. 14.同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.15．若正三棱柱的棱长均相等，则与侧面所成角的正切值为______.16.函数的值域是__________________.三、解答题（本题包括6小题，共70分）17．（10分）解关于的不等式.18．（12分）在中,角所对的边分别为,已知,,,求.19．（12分）已知是公比为的等比数列，且成等差数列.⑴求的值；⑵设是以为首项，为公差的等差数列，求的前项和.20．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.⑴求证：直线平面；⑵若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.21．（12分）已知在处取得极值，且在点处的切线斜率为.⑴求的单调增区间；⑵若关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.22．（12分）已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且 为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.桂林十八中12级高二下学期开学考试试卷数学答案一、选择题二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17．（10分）解关于的不等式.解：原不等式可化为即，也即所以原不等式的解集为17．（本小题满分10分）设的内角所对的边分别为，若.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值.17．解：（Ⅰ），由余弦定理，得，而则（Ⅱ）的最大值为19．（12分）已知是公比为的等比数列，且成等差数列.（1）求的值；（2）设是以为首项，为公差的等差数列，求的前项和.解： 或（舍去） （2） 20．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.解：方法一：（1）证明：取的中点， 则，故平面又四边形正方形，∴，故平面∴平面平面, ∴平面（2）解：由底面，得底面则与平面所成的角为∴, ∴和都是边长为正三角形,取的中点，则，且 ∴为二面角的平面角在中　，，∴∴二面角的余弦值方法二：（1）设，因为，，，∴以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系， 取的中点， 则各点坐标为：，，，，，∴，，∴， ∴， ∴平面（2）由底面及，得与平面所成角的大小为∴,∴,，，取的中点， 则因，∴ 则，且 ,∴为二面角的平面角∵　　∴二面角的余弦值附:1.求出得3分;2.求法向量时公式1分,全对共2分;3.参照以上解法给分.21．（12分）已知在处取得极值，且在点处的切线斜率为.（1）求的单调增区间；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.解：（1） 由题意，得,由得的单调增区间是（2）由（1）知令则,由得当变化时，的变化情况如下表：0+极小值当时，关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根的充要条件是, 22．（12分）已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.（1）求曲线的方程；（2）设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且 为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（1）设，则，由得，即所以轨迹方程为（2）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①（Ⅰ）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点（Ⅱ）时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点 所以由（Ⅰ）（Ⅱ）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.广西桂林十八中2015-2016学年高二下学期开学考数学理试题
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