中山市高二级2015—2015学年度第一学期期末统一考试一、选择题：ADACB CBACD二、填空题：11. 162； 12. ； 13. 8； 14. ②④.15. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴ =3x2－6x，……………………………（3分）当时，；当时，. …………………………………（6分）∴ 当x=2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分）（2）由=3x2-6x >0，解得x2， …………………………………………（11分）∴ 递增区间是，. ………………………………………………（13分）16. 解：（1）中， . ………………………………（2分）中， . ………………………………………………（4分）∴ 的面积为 . ………………（6分）（2）中， ……………（9分） = = ………………………………………………（11分） = =. ……………………………………………………………………（13分）17. 解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以， …………………………………………（3分）即，解得或. ………………………………………（6分）（2）因为数列的公差，且, 所以， …………………………………………（9分）即，解得. ………………………………（13分）18. 解：设每天食用kg食物A，kg食物B，总花费为元，则目标函数为，且满足约束条件， ………（3分）整理为， ………（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示. ………………（7分）将目标函数变形为. 如图，作直线，当直线平移经过可行域，在过点M处时，轴上截距最小，即此时有最小值. ………………………………（9分）解方程组，得点M的坐标为. ……………………（12分）∴ 每天需要同时食用食物A约kg，食物B约kg. ……………………（13分）19. 解：（1）由，得. …………………（2分）令，得. ………………………………………………………………（4分）与随x的变化情况如下: ……………………………………………………（6分）所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值. ……………………………………………………………………………………（7分）（2）因为曲线在点处与直线相切，所以，， ……………………………………（10分）解得，. ……………………………………………………………（14分）20. 解：（1）抛物线的方程化为，所以，. ………（2分）∴ 抛物线C的焦点坐标为. ……………………………………………………（4分）（2）联立方程组，解得点A坐标为. ………………………………（6分）联立方程组，解得点B坐标为. ……………………………………（7分）所以直线AB的方程为， ……………………………………（8分）令，解得. ∴ 点M的坐标为. …………………………………（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点. ………………………………………（10分）证明如下：设过抛物线的顶点的一条直线为 （），则另一条为联立方程组，解得点A坐标为. ………………………………（11分）联立方程组，解得点B坐标为. ………………………………（12分）所以直线AB的方程为， ………………………………（13分）令，解得. ∴ 直线AB恒过定点. ………………………………（14分）学优高考网！！广东省中山市2015-2016学年高二上学期期末考试（数学文）扫描版
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